雅格布·伯努利

山东教育学院 仝素勤 许义夫

  伯努利,J(BernoulliJakob)16541227日生于瑞士巴塞尔;1705816日卒于巴塞尔.数学、力学、天文学.

  雅格布·伯努利(Jakob Bernoulli)出生在一个商人世家.他的祖父是荷兰阿姆斯特丹的一位药商,1622年移居巴塞尔.他的父亲接过兴隆的药材生意,并成了市议会的一名成员和地方行政官.他的母亲是市议员兼银行家的女儿.雅格布在1684年与一位富商的女儿结婚,他的儿子尼古拉·伯努利(NikolausBernoulli)是艺术家,巴塞尔市议会的议员和艺术行会会长.

  雅格布毕业于巴塞尔大学,1671年获艺术硕士学位.这里的艺术是指“自由艺术”,它包括算术、几何、天文学、数理音乐的基础,以及文法、修辞和雄辩术等七大门类.遵照他父亲的愿望,他又于1676年取得神学硕士学位.同时他对数学有着浓厚的兴趣,但是他在数学上的兴趣遭到父亲的反对,他违背父亲的意愿,自学了数学和天文学.1676年,他到日内瓦做家庭教师.从1677年起,他开始在这里写内容丰富的《沉思录》(Meditationes)1678年雅格布进行了他第一次学习旅行,他到过法国、荷兰、英国和德国,与数学家们建立了广泛的通信联系.然后他又在法国度过了两年的时光,这期间他开始研究数学问题.起初他还不知道L.牛顿(Newton)GW.莱布尼兹(Leibniz)的工作,他首先熟悉了R.笛卡儿(Descartes)及其追随者的方法论科学观,并学习了笛卡儿的《几何学》(La géometrie)J.沃利斯(Wallis)的《无穷的算术》(Arithmetica Infinitorum)以及Ⅰ.巴罗(Barrow)的《几何学讲义》(Geometrical Lectures).他后来逐渐地熟悉了莱布尼兹的工作.16811682年间,他做了第二次学习旅行,接触了许多数学家和科学家,如J.许德(Hudde)R.玻意耳(Boyle)R.胡克(Hooke)C.惠更斯(Huygens).通过访问和阅读文献,丰富了他的知识,拓宽了个人的兴趣.这次旅行,他在科学上的直接收获就是发表了还不够完备的有关彗星的理论(1682)以及受到人们高度评价的重力理论(1683).回到巴塞尔后,从1683年起,雅格布做了一些关于液体和固体力学的实验讲课,为《博学杂志》(Jounal des scavans)和《教师学报》(Actaeruditorum)写了一些有关科技问题的文章,并且也继续研究数学著作.1687年,雅格布在《教师学报》上发表了他的“用两相互垂直的直线将三角形的面积四等分的方法”,这些成果被推广运用后,又被作为FV.斯霍滕(Schooten)编辑的《几何学》(Geometrie)的附录发表.

  1684年之后,雅格布转向诡辩逻辑的研究.1685年出版了他最早的关于概率论的文章.由于受到沃利斯以及巴罗的涉及到数学、光学、天文学的那些资料的影响,他又转向了微分几何学.在这同时,他的弟弟约翰·伯努利(Johann Bernoulli)一直跟其学习数学.1687年雅格布成为巴塞尔大学的数学教授,直到1705年去世.在这段时间,他一直与莱布尼兹保持着通信联系.

  1699年,雅格布被选为巴黎科学院的国外院士,1701年被柏林科学协会(即后来的柏林科学院)接受为会员.

  雅格布·伯努利是在1718世纪期间,欧洲大陆在数学方面做过特殊贡献的伯努利家族的重要成员之一.他在数学上的贡献涉及微积分、解析几何、概率论以及变分法等领域.

  微积分学 雅格布和他的弟弟约翰经常一起研究莱布尼兹的文章,迅速接受了莱布尼兹微积分的学说,并对他的文章大力加工,使之能够较易被人接受.伯努利兄弟也对微积分做了大量的新发展,成为17世纪继牛顿和莱布尼兹之后,最先发展微积分的人.莱布尼兹承认,他们在微积分方面的工作和他一样多.

  雅格布在微积分方面的工作,同牛顿和莱布尼兹一样,也是从关于求曲线的弧长、曲率、法包线(曲线的法线的包络线)、拐点等基本的微积分课题开始.他把牛顿和莱布尼兹的结论扩展到各种各样的螺线、悬链线和曳物线.1687年,关于“定长悬挂曲线的确定” (The determination of the curve of constant descent)已被莱布尼兹当作一个问题提出.1690年雅格布在《教师学报》中也提出类似的问题:一根柔软而不能伸长的绳子,自由悬挂于两个固定点,求这绳所形成的曲线,即悬链线(catenary)形状的确定问题.莱布尼兹立即指出这个问题的深远意义,并主动解决这个问题,他的结果发表在1691年的《教师学报》上,同期约翰·伯努利、惠更斯也都各自发表了这个问题的解答.雅格布自己当时却没有能解决这个问题,所以使约翰感到莫大的骄傲.1691年与1692年间,雅格布和约翰解决了更普遍的问题,即悬挂着的变密度非弹性软绳、等厚度的弹性绳,以及在每一点上的作用力都指向一个固定中心的细绳的形状的问题.1694年,雅格布也研究了受力细杆(弹性物)所具有的形状问题.对一组端点条件,他发现曲线的方程为

  这里涉及到无理函数的积分问题.1695年关于悬链线的研究被应用到了悬置桥梁的建筑中.

  雅格布在1691年获得两项突出的成果.他检验了抛物螺线

  具有特殊的对称性;对数螺线(logarithmic spiral)在极坐标中为r=aθ,雅格布对对数螺线有深入的研究,他发现对数螺线经过各种变换后,结果还是对数螺线.如对数螺线的渐屈线和渐伸线都是对数螺线;自极点至切线的垂足的轨迹也是对数螺线;以极点为发光点经对数螺线反射后得到的无数根反射线,和所有这些反射线相切的曲线叫回光线(catacaustic),它还是对数螺线.他在惊叹欣赏这曲线神奇巧妙之余,效仿阿基米德(Archi-medes),在遗嘱里要求他的后人将对数螺线刻在他的墓碑上,作永久纪念,并附以颂词:“虽然改变了,我还是和原来一样”(Eademmutata resurgo)

  1694年,雅格布出版了一本论文集《微分学方法,论反切线法》(Specimen caluli differentialisde methodo tangentiuminversa).这本著作用通俗易懂的语言去解释微分法的原理,因而使莱布尼兹的微积分思想得到很大范围的普及.

  微分方程 雅格布在分析学中,使专用术语“积分”第一次被赋予数学意义而使用.他也是用微积分求一阶常微分方程分析解的先驱者之一.16905月,他在《教师学报》上发表了关于等时问题的解答.这个问题是:求一条曲线,使得一个摆沿着它作一次完全的振动都取相等

  解答:

  这曲线是摆线.1691年雅格布研究了跟踪曲线问题,导出了跟踪曲线的微分方程.在求解一阶常微分方程时,雅格布在1695年的《教师学报》中提出了求解方程

的问题.这方程后来被称为“伯努利方程”.莱布尼兹在1696年证明了利用变量替换z=y1-n,可以把方程化为线性方程(yy′的一次方程)来解.雅格布和约翰都各自给出了它的解法.雅格布还研究了船帆在风力下的形状问题,而且导出了一个二阶微分方程:d2x/ds2=(dy/ds)3,这里s为弧长.

  级数 雅格布在级数方面的大量工作,使他在级数理论方面成为当时的权威.16891704年间他写了5篇论文,共有60个命题,这些论文中大多数是讨论函数的级数表示的,其目的是求函数的微分和积分,以及求曲线下的面积和曲线的长度.他求级数和的一些方法及判别级数收敛性的方法是值得注意的,例如比较判别法就得到了成功的运用,对级数的研究起了很好的作用.但是这些命题的表述,并没有显现出他的独创性,也出现了一些相悖的结论.

  在第一篇论文(1698)中,他讨论了一些无穷级数的和,证明了

  一项均大于或等于最后一项.但是

  

  因此就有

  

  他说,这样我们可以把项一组接一组的归并起来,使得每一个组的和大于1,于是我们能够得到有限多个项,其和大于任意指定的正数,从而是有限数,承认自己还不能求出它的和的精确值(欧拉在1737年首先得到成功),但是他知道关于优级数

  可以求出它的前n项和.在命题24中,写出

  

  地应用了比较判别法.第二篇论文主要是在三次曲线不完全分类的基础上,根据它们的形态划分成33种不同类型.第三篇论文中的命题,对于双曲线求积分应用对数级数(命题42)

  (命题44),以及级数对于圆面积和二次曲线的扇形面积的解释(命题4546).雅格布1698年以前关于悬链线及有关问题的见解,关于抛物线求长法及对数曲线求长的见解等分别作为命题49、命题41和命题52增补进去.第三篇论文有雅格布对二项式定理的证明,尽管牛顿在1676年曾经陈述过这个定理,并用一些仔细挑选出来的例题说明它,但没有给出任何证明,雅格布所补充的证明是最早的,然而他只限于指数是正整数的情况.大约在60年后,欧拉才想出了一个适用于指数为非正整数的证明.在命题55中出现了待定系数法.命题5658以及命题60

  布尼兹的信中,我们看出在命题59中他应用了J.克里斯托弗(Christophe)FD.丢勒(Duillier)的改进收敛性的思想.他的侄子尼古拉第一(16871759)把所有这些命题作为雅格布的名著《猜度术》(Ars conjectandi)的附录发表.

  解析几何 在解析几何方面,1691年雅格布在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章,所以通常认为他是极坐标的发明者之一.他引入了“极坐标”的概念,并说明了某些高次曲线应用极坐标可以比较容易地画出来.在研究它们的性质时,用极坐标表示它们的方程比用直角坐标表示更方便.1694年,雅格布在《教师学报》发表的论文中,提出了“伯努利双纽线”(lemniscateof Bernoulli),并讨论了它的性质.如图,设F1F2是平面上的两点,且F1F2=2a(a0),平面上一动点P使得

PF1·PF2=b2(b是正常数)

  成立的轨迹称为一条卡西尼(Cassini)卵形线.当b=a时得双纽线.双纽线在直角坐标系中的方程是

(x2+y2)2=a2(x2-y2)

  在极坐标系中的方程是

ρ2=a2cos2θ.

   它是等轴双曲线的切线与垂直于切线并通过中心的直线的交点之轨迹.双纽线ρ2=a2cos2θ所围成的面积是a21691年,雅格布和约翰给出了曲线的曲率半径的公式.雅格布称之为“黄金定理”,并写作

z=dxdsddy=dydsddx

   其中z是曲率半径,如果用ds2除每一个比的分子和分母,得到

  雅格布也给出了在极坐标下曲率半径的公式.

  变分法 1696年约翰向欧洲数学家挑战,提出了一个难题:最速降线问题,雅格布作为还击,16975月又提出另一个难题:等周问题.对于这些问题的研究和解决,使他们成为新的数学分支——变分法的重要奠基者.

   变分法是微分学中处理单变量函数极大极小问题的一种推广.对变分法的产生和发展有巨大影响的有下列几类问题:最速降线问题、等周问题、测地线问题以及最小旋转面问题.1718世纪,力学的迅速成长刺激了这类问题的发展.伯努利兄弟与前面三个问题的解决都有关系,特别是最速降线问题的提出和解决,认为是对变分法的创立有决定的意义.1696年约翰提出的最速降线问题是:确定一条连结不在同一铅直线上的两点AB的曲线,使质点只受重力的作用由A点沿曲线滑向B点,所用时间最短(介质的阻力和摩擦力不计).这问题的困难之处在于它和普通的极大极小值的求法不同,它是要求出一个未知函数(曲线),来满足所给条件.这个问题提出后,数学家们立即被它的新颖性所陶醉.雅格布、约翰、莱布尼兹、洛比达和牛顿都研究了这个问题,各用不同的方法得到了相同的答案,这条曲线是旋轮线(亦称圆滚线或摆线).雅格布的解法是比较浅显的,1700年他在《教师学报》上发表了“等周问题实解”(Solution propria problematis isoperimetrici)一文,文中包括了他对“最速降线”的解答.

   雅格布在16975月的《教师学报》上,提出了一个包含几种情形的相当复杂的“等周问题”,向其弟弟约翰挑战.约翰最初给出的解都没有获得成功,雅格布在1700年的“等周问题实解”一文中,给出了正确的答案.

  1698年,雅格布在关于变分法的第三个典型问题——测地线问题上,作出了新的贡献,他解决了柱面、锥面和旋转面的测地线问题.

  概率论 《猜度术》(Arc conjectandi)是雅格布一生中最有创造力的著作,这本书是在他死后8年,即1713年才出版的.这本书的出版是概率史上的一件大事,它是把数学的又一分支——概率论建立在稳固的数学基础上的首次认真的尝试.在这部著作中他提出了概率论中的“伯努利定理”以及在数论中很有影响的“伯努利数”和“伯努利多项式”等基本内容.“伯努利定理”是“大数定律”的最早形式.由于“大数定律”的极端重要性,191312月彼得堡科学院曾举行庆祝大会,纪念“大数定律”诞生200周年.

   早在雅格布的《猜度术》出版之前,Pde费马(Fermat)E.帕斯卡(Pasccal)以及惠更斯等人就对概率论问题作过一些研究,获得某些成果.雅格布本人也在《教师学报》(1685)上写过一些论文,提出了有关赌博游戏中的输赢次数问题,对这些问题他在《猜度术》中也做出了解答.《猜度术》这部巨著中提出的大数定律是在随机现象的大量重复中往往出现的必然规律的总称,是对大量经验观测中呈现的稳定性的刻划.雅格布对大数定律的陈述与现代的标准概率论著作十分一致,“随着观测数目的不断增加,那记录在案的有利事件与不利事件的比接近真实比的概率也不断增加,以致这概率将最终超过所要求的任意的确定的度”.这一陈述对大量观测的复杂结构提出了一个简明的假设,并且证明了这一假设.如在掷钱币的游戏中,每次出现正面或反面虽是偶然的,但在大量重复时,出现正面次数与总次数之一.大数定律第一次试图在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立演绎关系,成为概率论通向更广泛的应用领域的桥梁.

  “伯努利数”是雅格布在研究求自然数正整数次幂之和的公式时引入的.若

Sn(k)=1n+2n+3n++(k-1)n

  n=3时,有S3(k)=1323++(k-1)3

….

  一般地,雅格布给出公式

  这里Crn=n(n-1)(n-r+1)/r!.雅格布对其中的系数B2B4B6,…很感兴趣,他计算出

  而且还给出了计算这些系数的递推公式.现在人们通常把B2B4B6,…称为“伯努利数”.设f(x)是一个单变量实函数,在研


出现在《猜度术》一书中,被称为“伯努利多项式”.

  《猜度术》共有四篇,各篇的主要内容是:第一篇基本上是重新提出惠更斯问题;第二篇是排列组合理论的详尽论述.他以V.斯霍滕(Schooten)(1657)、莱布尼兹(1666)、沃利斯(1685)J.普列斯特(Prestet)的《初等数学》(Elemens de mathematiques)的有关贡献为基础.主要结果是给出了关于指数级数的严格推导.这一篇的第四章和第五章的许多内容,即使拿到近代论著中也无不当之处;第三篇是给出了“机会对策”中所产生的各种各样新问题的解答,共有24个例题,有些例题很简单,也有一些很复杂的例题;第四篇是关于概率论在道德和经济等问题上的应用.“大数定律”就是在这篇中提出的.这部分还包括了雅格布特有的哲学思想,他是为回答匿名嘲笑者关于1686年在诡辩的逻辑问题上争论的需要而写的.《猜度术》一书鼓舞了一些学者研究这门诱人的学问,PRde蒙莫尔(Montmort)A.棣莫弗(de Moivre)使这本书中的问题更加具体.雅格布关于概率论的思想,对于这个领域的进一步发展有决定性的贡献.

  此外,雅格布·伯努利在物理学上也做了一些工作,如在关于一个半圆镜上平行入射光线的焦散线的研究中,提出了测量法包线的基本步骤;独立地发现了被风鼓起的帆的外形可以用微分方程
图书馆里还收藏有雅格布没有发表的关于固体和液体力学的讲演稿(手稿),《大学实验学报》(Acta collegii experimen-talis)翻译了其中的一部分.但令人遗憾的是,雅格布对力学的贡献几乎没有在正式文献中提到过.

   雅格布、约翰经常与莱布尼兹、惠更斯以及其他数学家通信.约翰在格罗宁根工作期间,他们兄弟之间也经常互相通信.通过书信提出问题,研究解决问题,他们经常在相同的领域里工作,也相互争论.伯努利兄弟自悬链线问题上就产生了分歧,以后争论加剧.这些争论无疑会促进科学的发展.但由于双方过分敏感自尊,性格暴躁,相互批评指责又过于尖刻,使兄弟之间时常造成不快.甚至双方的家庭也都卷入了争论,其后果之一是当雅格布死后,他的《猜度术》的手稿被他的遗孀和儿子在外藏匿多年,直到他死后8(1713)才得以出版,几乎使这部经典著作的价值受到损害.

   雅格布·伯努利一生致力于数学研究,他是高等分析的正规方法的最重要的创建者之一,对17世纪下半叶近代数学的发展产生了巨大的影响.