辽宁师范大学 梁宗巨

  巴罗,I(BarrowIsaac)163010月生于英国伦敦;167754日卒于伦敦.几何学、光学.

  巴罗的父亲托马斯·巴罗(Thomas Barrow)是一个富有的亚麻布制品商,和王室素有联系.巴罗幼年时,母亲安妮(Anne)便已去世.他早年在查特豪斯学校就读,后来到费尔斯特(Felsted)接受经院式的教育,学习希腊语、拉丁语、逻辑学与修辞.1643年,作为国王的拥护者,巴罗被送进剑桥大学三一学院.在校的12年间,承受反皇家的强大压力而幸存下来.1648年毕业,获学士学位.1649年被选为研究员.1652年取得硕士学位,就任学院的讲师和主考人.1655年,克伦威尔政府剥夺了他就任教授的权利,他愤而出走欧洲大陆.1660年回到英国,正值斯图亚特(Stuart)王朝复辟,查理二世登上王位.巴罗成为牧师,并立即就任剑桥大学“钦定讲座教授”(Regius Professor),还兼伦敦格雷沙姆(Gresham)学院几何及天文学教授.

  1663年,巴罗被选为第一任卢卡斯教授(Lucasian professor).这是遵照H.卢卡斯(Lucas)的遗嘱设立的一种荣誉数学教授职位,每年有若干津贴.担任此职不需要再担任神职,也不许再兼其他学校的教授.巴罗在以后的6年间致力于三个系列的演讲,并编写了著名的讲义:《数学讲义》(Lectiones mathematicae,写于16641666年,1683年在伦敦出版)、《光学讲义》(Lectionesopticorum…,1669)和《几何讲义》 (Lectione geometricae1670)

  I.牛顿(Newton)可能听过巴罗的课,并协助他修改讲义.巴罗在《几何讲义》第10讲的末尾说他介绍这种作切线的方法是“由于一位朋友(指牛顿)的建议”.(文献 6],p132)

  16691029日,39岁的巴罗主动将卢卡斯教授的职位让给26岁的牛顿.他认为牛顿担任此职更加合适,而自己则转向神学研究,不久即任皇家牧师.“巴罗让贤”,一时传为佳话.4年之后,国王指派他为三一学院院长,1675年升任剑桥大学的副校长.巴罗终身未婚,他身材瘦小,但很健康,后来不幸服用过量的药而早逝,年仅47岁.现剑桥大学三一学院教堂内有巴罗的全身雕像,位于牛顿雕像之北.

  在数学上,巴罗是以微积分先驱者闻名于世的.他提出一种切线的作法,并给出相当于微积分基本定理的一种几何关系.

  切线的求法

  17世纪,切线问题是数学家讨论最热烈的问题之一.在过去的欧几里得几何中,直线与圆相切被定义为直线与圆相接触,但延长后并不相交.R.笛卡儿(Descartes)创立解析几何以后,曲线与方程有了对应关系,人们开始追求曲线的分析(即代数)作法.笛卡儿本人曾给出一种“圆法”(利用圆及方程重根的关系),不过比较麻烦.Pde费马(Fermat)J.许德(Hudde)RF.斯吕塞(Sluse)也都提供过方法.

  巴罗的方法,实际上相当于引入微分三角形或特征三角形,其步骤如下:

  设有曲线f(xy)0,求作M(xy)点处的切线(1).在 MN看成一样.MN(xeya)都在曲线上,坐标应满足方程,即

f(xeya)f(xy) 0

  略去式子中ea的高次幂,再解出a/e,这就是切线的斜率.△MRN相当于以dxdyds为边的微分三角形,不过当时还未形成这样的概念,记次切线TPt,则

  以笛卡儿叶形线f(xy)x3y33xy0为例,由

  (xe)3(ya)3 3(xe)(ya)

x3y33xy

  3x2e3xe2e33y2a3ya2a3

3xa3ye3ea0

  舍弃ae的高次项,解出斜率,得

  这和用现代微分法求出的结果是一样的.

  巴罗方法的实质是把切线看作当ae趋向零时割线的极限,而极限是通过舍弃ae的高次幂取得的.但他没有说明为什么可以或者必须略去这些高次幂,只是说“这些项没有什么价值”.

  微积分基本定理

  当时数学的另一个引人注目的问题是求积,这是积分学的中心问题.所谓微积分基本定理,是架设在切线问题(微分学的中心问题)和求积问题之间的桥梁,揭示了两者的互逆关系.巴罗在《几何讲义》的第10讲和11讲中用几何形式给出面积与切线的某种关系,已得到基本定理的要领(文献[4],p257).下面用现代术语来叙述.

  建立坐标系XOY,使OY向下.现有增函数yf(x),在坐标系中表示为曲线BGE(2) D(x0)OX上任一点,曲线BGEOD及纵线BOED所围的面积(即曲边梯形面积)x的函数,记作S(x).为了便于比较,以OY的反方向为OZ,建立坐标系XOZ.作出函数zS(x)的曲线OIFF(xS(x))ED延长线与曲线的交点.在OX上取T点,使得

(1)

  巴罗断言直线TFOIFF点的切线(原话是TF仅在F点与OIF相接触).要证实这一点,可在F附近曲线上任取一点I(x1S(x1)),过IIKLGPI平行坐标轴,进而证明TFIKL的交点KI点的右方.事实上,由(1)

KL·EDLFDFDLDFPI

S(x)S(x1)PD·ED

  最后取不等号是因为f(x)是增函数.于是

KLPDIL

  KI的右方.若I点取在F的右方,情况也类似.

  巴罗的结果一直被认为是微积分基本定理的早期形式.如果明确指出TF是在分析意义下面积函数S(x)的切线,同时适当地定义斜率,则上述结论相当于

  这便是微积分基本定理.但巴罗似乎未意识到这一问题的重要性,也没有进一步利用这关系去解决问题.在完成《几何讲义》之后,他立即转向神学及行政工作了.

  数学史家DT.怀特赛德(Whiteside)认为,牛顿和巴罗的学术交流在历史上是不清楚的[5].巴罗自己说切线的作法出自牛顿的建议,而牛顿在著作中从未提到哪些内容得自巴罗的教导.牛顿在乡间躲避瘟疫期间,在1665520日的手稿上已有微积分的记载(在更早的1664年已得其要旨)166610月的文章明确地提出借助反微分去计算面积,比巴罗的结果更接近现代的微积分基本定理.在时间上也不晚于巴罗的《几何讲义》.因此微积分的真正创立仍应归功于牛顿.

  翻译工作

  巴罗精通希腊文、拉丁文,对希腊数学深有研究.在思想方法上也颇受希腊的影响.他翻译过欧几里得(Euclid)、阿基米德(Archimedes)、阿波罗尼奥斯(Apollonius)等人的著作,并将欧几里得《几何原本》从希腊文译成拉丁文,1655年在伦敦出版.后来又译成英文《几何原本,十五卷全书》(Elementsthe whole fifteen books)1660在伦敦出版,此书在18世纪重印多次,影响很大.伟烈亚力(Alexander Wylie)与李善兰合译的《几何原本》后9(中译本,1857),可能就是以巴罗的英译本为底本.