沃利斯

徐州师范学院 侯德润

  沃利斯,J(WallisJohn)1616123日生于英国肯特郡阿西福特村;1703118日卒于牛津.数学.

  沃利斯的父亲是一位牧师,1603年前后担任阿西福特村的圣餐礼执行者.沃利斯是他第二个妻子J.查普曼(Chapman)的第三个孩子.

  沃利斯年仅6岁时,父亲就因病去世.在母亲的照顾之下,他在1625年进入肯特郡坦特登(Tenterden)村的一所文法学校,接受了拉丁文的完善的训练.16311632年间,他又就读于埃塞克斯(Essex)郡菲斯台德(Felsted)村的马丁·霍尔拜克学校.除了进一步学习拉丁文和希腊文以外,还学过一点希伯来语以及逻辑学原理.1632年圣诞节前后,作为一个自费生进入剑桥的伊曼纽尔(Emanuel)学院攻读传统的大学课程,1637年获得文学学士学位.他在剑桥期间,钻研过神学、物理学、解剖学、天文学及地理学.1640年获得文学硕士学位,然后担任温切斯特(Winches-ter)的主教职务.为了谋生,他还曾在伦敦当过几年私人牧师和圣餐礼执行者.1644年当过威斯敏斯特牧师协会的秘书,并担任剑桥大学女王学院评议员约一年.1645年与苏珊娜·格利得(Susanna Glyde)结婚,婚后放弃了评议员职位.

  1649614日,沃利斯出人意料地被委任为牛津的萨弗尔几何教授,他保持这一职位直到去世.1654年,他被授予神学博士学位.在当时,几乎没有什么人能预见到在以后的不多几年内,一个年轻的神学家能成为他那个时代的领头数学家之一.

  担任萨弗尔教授的前20年是沃利斯一生中最富有创造力的时期.以后他就逐渐转向编辑校订其他科学家的著作和他自己的早期著作,以及准备历史的和神学的讲演.按照他所担任的讲座主席一职的规定,沃利斯必须对欧几里得(Euclid)的《几何原本》)(Elements),阿波罗尼奥斯(Apollonius)的《圆锥曲线论》(Conics)以及阿基米德(Archimedes)的所有著作作公开讲演.他以一种罕见的精力和坚韧性对于在牛津的萨弗尔和波得兰图书馆中可以得到的一切重要数学文献都进行了系统的研究.他的讲演的成果之一是他的《一般数学,或算术》(Mathesis universalisseu opus arithmeticum1657)一书.该书强调有一种建设性的、统一的符号体系的巨大优越性.

  沃利斯一生著述颇丰.1648年,他在W.乌特勒(Oughtred)《数学入门》(Clavis mathematicae)一书的基础上,整理出《角截线论》(Treatise of angular sections),于1685年出版.1655年,他出版了《圆锥曲线》(De sectionibus conicis)一书,在该书中,他抛弃了传统的综合法,用R.笛卡儿(Descartes)引进的解析方法来处理这一经典主题,这在当时属于一种新的方法.1656年,他发表了他的代表作《无穷算术》(Arithmetica infinitorum),因而作为一个数学家享誉四方.该书来自对E.托里切利(Torri-celli)的《几何运算》(Opera geometrica1644)的深入研究.1659年,他写了《论摆线及蔓叶线》(Tractatus duode cycloideet de cissoide),将他所熟悉的解析法又往前推进了一步.16691671年,他发表了长篇巨著《力学,或关于运动的几何学》(Mechanica sive de motu tractatus geometricus,下简称《力学》).该书第一部分用严格的几何方法,即欧几里得的方法讨论了各种不同形式的运动,一开始先下定义,继之以许多命题.第二部分是该书的主要部分,讨论了有关计算重心的问题.第三部分中,他不仅根据古代的传统讨论了简单机械,更重要的是详细探讨了振动中的几个问题,研究了弹性与非弹性物体的特性.该书在力学问题的数学化方面,取得重大进展.1685年,他发表了《论组合、交错与整除部分》(Discourse of combinationsalternationsand aliquot parts)一书,讨论了数论中的一些问题.这是他在《无穷算术》发表后,为了回答Pde费马(Fermat)等法国数学家的挑战而写的,其解决问题的程序和他在《无穷算术》中所用的有相似之处.

  沃利斯的最后一部数学著作是《历史的和实用的代数学》(Treatise of algebraboth historical and practical1685).这本书写于1673年,但一直到1685年才用英文出版.它是第一本严格地叙述英国数学史的著作,首次把有关代数学的详尽评论和它的历史联系起来.全书分100章.开始14章追溯了直至F.韦达(Vieta)为止的代数的历史,重点讨论数字记数法的发展.第1563章是实用代数学.几乎全是基于乌特勒的《数学入门》,T.哈里奥特(Harriot)的《实用分析艺术》(Artis analyticae pra- xis)和《代数学引论》(An introduction to algebra)等书.第6472章是代数问题的几何表示法,包括虚数的一种几何表示法.在最后28章,他专门研究了穷竭法和不可分量法的问题,同样和《无穷算术》有关.这本书还包括无穷级数方法的解释,以及I.牛顿(Newton)的一些开拓性成果.

  沃利斯的创造性精神表现在很多方面.他在《无穷算术》中,根据一个大胆而聪明的插入程序,得出了他的著名结论

  尽管这个方法不为诸如费马和C.惠更斯(Huygens)等大数学家所接受,但结果还是被数字计算证实是正确的.沃利斯的主要兴趣不在于演示算法,而在于深入研究其思想,他实际上是在求如下积分的值:

  他考察广义积分

  它的倒数是1I(kn).沃利斯首先把kn的整数值列成表(他用符号表示.于是在处相交的每行或列的第二个值是的某一分数倍.假设在他的表里,所有的行数和列数不断增加,沃利斯就能分别推导出的上限和下限的两个数列.当这两个数列无限增加时,就可得出著名的无限积.

  沃利斯的插值法是以连续性的设想为依据的.这似乎和他过去所熟悉的破译密码的程序有关.为了保持这种连续性和由此得出的表格中的数学基本规则,沃利斯走向了极限.他承认

  型的分数倍数,认为A在此处必须是无穷大,这样得出来的乘积值才可能是个有限数.

  在《无穷算术》及《力学》等书里,还记录了其他有关这一方面的更杰出的成果.例如,可以通过代换xyk,把积分I(kn)转换成β积分的标准形式.沃利斯不久后就用解析法得出了椭圆弧长的积分,并将其化作椭圆积分.更重要的是,他掌握了与传统的几何观点形成对比的分析观点.

  牛顿于16641665年冬研究《无穷算术》时,深受该书影响.牛顿将积分I(kn)的上限定为可变的,于是用沃利斯的插值程序得出了二项式定理.在一些例子中,二项展开式可以由代数除法和开方求根法进行检验.但是,如同沃利斯乘积的情形一样,只有待数学方法进一步发展后,才能得到严格的证明.

  沃利斯是第一个用几何方法解释虚数的数学家.他在《历史的和实用的代数学》一书第6668章中详细阐述过这个问题.他认为,虽然要使任何一个实数的平方成为负数是不可能的,但正如人们曾一度认为负数是不可能的一样,只要正确理解新数,并赋予其合理的解释,那末,新的数就既不是无用的,也不是荒谬的.他仿照对负数的解释方法,提出既然从一条直线上的某一定点出发,规定一个方向为正,另一个方向为负,那么也可以把同样的情况推广到平面.他举例说,如果围垦海滩以获得土地,在一个地方获得30英亩,另一个地方损失40英亩.则整个获得了-10英亩,即-1600平方杆.如果这块土地是正方形的,则其边可表为+b-c-b+c之间的比例中项.既然可以用有向线段来表示正负数,就可以用作图表示比例中项的办法来表示虚数.虽然沃利斯提出的方法是烦琐的,远不如以后由C.韦塞尔(Wes-sel)J R.阿尔冈(Argand)提出的方法更易于为人们所接受,但是沃利斯的思想是积极的.

  关于负指数和分指数的概念,N.奥雷姆(Oresme1360)N.许凯(Chuquet1484)M.施蒂费尔(Stifel1544)A.吉拉尔(Girard1629)已有不同程度的认识,但真正把这一主题推广到有理指数的,还是沃利斯.他在《无穷算术》命题106中,所举的例子便给出指数运算规则:

  这里的mn包括正整数和负整数.在《历史的和实用的代数学》中,他把牛顿在1665年和1671年两次研究过的将二项式定理推广到分数和负数的情形加以详细阐述.他指出,在(ab)m中,如果m是正整数,其展开式的系数呈对称形式并终止于1;但如m是分数或负数,则其展开式将是一个无穷级数,展开式的项数越多,它的值就越接近于所要求的值.

  1645年前后,沃利斯参与创建了皇家学会这一重要学术团体.当时他住在伦敦,结识了一群热衷于“新哲学”或“实验哲学”的科学家.这对沃利斯后来从事的许多科学工作具有极重要的意义.他们当中的一些人约定,每周聚会一次,讨论哲学问题和物理、解剖、几何、天文、航海、统计、磁学、化学、力学等自然科学问题,以及血液循环、彗星的实质、木星的卫星、太阳斑、月的盈亏、空气的比重、生理欲望及其机能、重物下落及其加速度等大自然中的现象.16481649年,这些人中的一部分包括沃利斯转移到牛津,并继续这样的聚会,把这些研究变成那儿的热门.随着若干博学多才、德高望重的新成员的加入,队伍逐渐庞大,并以皇家学会为名组成团体.17世纪80年代,沃利斯当选为该学会的主席,努力使它与苏格兰的一些类似团体之间建立密切的联系.伦敦皇家学会的秘书H.奥尔登伯格(Oldenburg)首先创办了《哲学会会报》 (Philosophical Transactions),从而提供了一种较个人联系和每周讨论一次这种形式长远得多的科学交流手段.沃利斯充分利用了《会报》,并于1666年至1702年间发表了近60篇论文和书评.评论所涉及的是数学书籍,而论文的内容远为广泛.作为皇家学会早期成员中的一个重要科学家,沃利斯还为推动学会发展作出了积极的努力.在多数学者对所进行的科学实验及其背后的复杂理论并未真正理解的情况下,沃利斯实属凤毛麟角.

  在数学以外的许多其他领域中,沃利斯也展示过聪慧才华.早在青年时代,他就为议会党人破译被捕获的密码字母提供过有价值的服务.以后许多年,他都继续为政府做这项工作,并在进入老年时把这门技术传授给他的孙子W.布莱恩柯威(Blencowe).但是当 GW.莱布尼茨(Leibniz)为了自己的政府,要求他提供这方面的信息时,他却严守秘密,拒绝作答.他还是一位优秀的档案资料保管员,16571658年在牛津大学被选举担任这一职务,并保持终身.他把归他保管的、属于大学的文献及其他资料安排得井井有条,以至像RL.普尔(Poole)这样成功的保管员也称赞他说:“他在档案宗卷上以无数副本的形式留下了他的痕迹,更重要的是在1664年,他根据吐恩(Twyne)先生列的表制定了全部藏书的标准目录,一直沿用至今.”实际上,沃利斯所制定的编目分类法一直用到20世纪.

  在语言学方面,他的最成功的著作是《英国语言文法》(Grammatica linquae anglicanae),附以一篇论文“实用语法”(Paraxis grammatica)及另一篇关于语言发声成因的论文“论语言”(De loguela).该书初版于1652年,第六版于1765年在英国出版,在欧洲大陆上也出版过这部著作.他在语言学方面的研究为他教聋哑人说话的先驱性尝试奠定了一套有用的理论基础.

  虽然他不是职业音乐家,但也写出了一些关于音乐理论的论文,刊登在《哲学会会报》上.例如,他写过一篇报告他对和弦颤动的观察的论文,还作过关于音阶间隔及由此而产生的在调整风琴或其他键盘乐器时所需要的平均律的数学讨论.在为托勒密(Ptolemy)的《和声》(Harmonics)作的一篇附录里,沃利斯试图解释古代音乐(他用现代音符把它们翻译过来)所具有的那种惊人的效果,并在另一篇单独发表的论文里讨论过这些效果.他还为T.萨蒙(Salmon)的《关于用完美的、数学的比例方法演奏音乐的建议》(Proposal to perform musickin perfect and mathematical proportions1688)一书撰写过长篇评论.

   1690年到 1692年期间,沃利斯接连发表了 8封信和3篇关于圣三位一体的教义的布道,矛头直接指向唯一神教派的教徒们.为了解释这个教义,他从数学中引用了一个类比:一个有着长、宽和高三维的立方体类似于这个神秘的三位一体.他说:“长、宽、高统一在一个体里面,一个立方体具有这三维,实为一体.同样,圣父、圣子、圣灵,虽为三者,实为一个上帝.”沃利斯关于三位一体的论证获得了神学领域的赞同.他的布道及其他神学著作常因其通俗明朗的语言而倍受称道.

  沃利斯的一生都是精力旺盛的.他才力超群,以善于公开辩论而著称.他具有一种非常好争论的性格,多次卷入狂烈的争辩,他总是津津乐道地鼓吹自己的成就,并喜欢借用别人的思想,使之进一步发展,但却不总是承认前辈给他的好处.更糟的是,他经常发脾气,以对批评容忍不了的态度来还击别人的批评.和他争论最厉害的是T.霍布斯(Hobbes),他们的争吵持续了近四分之一个世纪之久.这一方面固然是由于霍布斯数学知识的浅薄,声称已解决了数学史上的重大难题“倍立方”问题和“化圆为方”问题,更重要的是他竞敢批评沃利斯的《无穷算术》.这场争吵逐渐恶化成恶意的敌视,最后以1679年霍布斯的去世而告终.尽管如此,沃利斯还是有不少忠实的朋友,例如 T.史密斯(Smith)、牛津的玛格达莱(Magdalem)学院副院长和伦敦科顿图书馆的管理员,以及S.佩皮斯(Pepys),后者曾请人给沃利斯绘过一幅肖像置于牛津大学.

  沃利斯是他那个时代的最有才能和最有独创精神的数学家之一,也是牛顿在英国的直接前辈之一.他推动英国数学界的发展长达半个多世纪,在这段时间中,他为了促使数学在英国能享有与在欧洲大陆相同的显赫地位而作出了极大努力.正因为有了沃利斯的准备工作和牛顿的天才,才使数学研究的中心从法国和荷兰转移到英国,并保持了一段时间.后来通过莱布尼茨、伯努利家族和L.欧拉(Euler)的努力,这个中心才又移回欧洲大陆.