德扎格

 

辽宁师范大学 赵林峰

 

  德扎格,G(DesarguesGirard)1591221日生于法国里昂;166110月卒于法国.数学.

  德扎格出生在法国里昂的一个教会人员家庭,早期教育可能就是在那里接受的.他后来到了巴黎,曾在1626年向巴黎地方当局建议用机械装置提升塞纳河的水,供应城内.这是我们知道的德扎格的第一次科学活动.

  1628年,德扎格作为军事工程师参加了包围拉罗舍尔(LaRochelle)的战斗,在那里结识了笛卡儿,并成为朋友.大约在1630年,住在巴黎的德扎格又同那时法国的几个领头的数学家——M.梅森(Mersenne)P.加桑迪(Gassendi)C.米多尔热(Mydorge)等成为朋友.随后,德扎格经常出席梅森的“巴黎学会”(Academie Parisienne,这是一个科学史上著名的学术团体,后来逐渐演化为法国科学院)的活动.同时参加的还有E.帕斯卡(Pascal)、米多尔热、C.阿尔迪(Hardy)GP.罗贝瓦尔(Roberval)以及P.卡尔卡维(Carcavi)B.帕斯卡(Pascal).此外,德扎格和著名的数学家P.费马(Fermat)也有交往.上述这批人的活动和所取得的成就,使法国成为17世纪上半叶世界数学史上最辉煌的国度,也为1819世纪形成世界的数学中心打下良好的基础.身处这一旋涡的德扎格以其新颖的思想和独特的数学方法,开辟了数学的一个新领域,成为射影几何学的先驱.

  1636年,德扎格出版了他的第一本几何学著作《关于透视绘图的一般方法》(Exemple de lune des manieres universelles duSGDLtouchant la pratique de la perspective,以下简称《透视法》).在这本只有12页的小册子中,他主要介绍了自己的透视绘图方法,最后一段写有他对平行和相交直线的新见解.此时,他的射影思想已露端倪,而巴黎的学者们却被另外的两本书所吸引,一本是1636年出版的J.博格朗(Beaugrand)的《大地静力学》(Gèostatique),另一本是16375月出版的笛卡儿的《方法论》(Discours de la méthode).德扎格也积极参加了讨论,并由此和博格朗成为论敌.在争论中,他赢得了笛卡儿、梅森、费马、罗贝瓦尔和E.帕斯卡(Pascal)等人的尊敬.

  当人们醉心于笛卡儿处理几何问题的代数方法时,德扎格正顽强地向独辟的蹊径前进.1639年,他最重要的著作《试图处理圆锥与平面相交结果的草稿》(Brouillon Projet dune atteinteaux événements des rencontres du cone avec un plan,以下简称《草稿》)出版了.这本书集中体现了德扎格的新思想、新方法,是射影几何早期发展的代表作.该书在当时只印了大约50本,德扎格把它们分送给朋友和熟人.他原想听取这些人的意见,加以修改后重新出版.这一点可以从笛卡儿于1639619日、博格朗于1639725日给德扎格的信中看到.遗憾的是,由于该书难以阅读,博格朗等人又进行敌意的攻击,称该书结果完全可由阿波罗尼奥斯(Apollonius)的方法得到,以此贬低德扎格的创见,再加上人们对综合法处理几何不重视,这本书只得到笛卡儿、帕斯卡等少数人的支持.随着解析几何和后来的微积分的迅猛发展,该书逐渐被遗忘了.直到1845年,法国几何学家、数学史家M.沙勒(Chasles)才在巴黎的一个旧书店里发现这本书的手抄本,此时射影几何正处于复兴时期,人们才认识到德扎格这本著作433 的价值.1950年前后,在巴黎国立图书馆又找到它的原版本,历经300余年的沧桑岁月,它终于在诸多数学名著中有了一个适当的位置.

  博格朗死后,对德扎格的攻击和批评仍在继续,德扎格也不时地予以反击.同时,他没有放弃对“普遍的”或统一的方法的追求,又陆续写了几篇文章,介绍他的方法.在1640年或1641年,他写了关于圆锥曲线的一篇论文,指出圆的射影性质可一般地推广到各种形式的圆锥曲线,但这篇文章至今没被发现.另外的文章也都和圆锥曲线有关.

  德扎格是一个为了满足实际需要而进行理论研究的数学家,他所写的书,大多跟实际应用有关.他曾写过一些绘图方面的书,介绍运用透视原理的新方法.于是那些偏爱旧方法的人们,又向他发动非难.激烈的争论不仅影响了德扎格的工作,也影响了他的自信心.他让雕刻家A.博斯(Bosse)去传播他的数学方法,而自己从1645年起就一心从事建筑师的工作,很少再关心数学上的问题.1648年,博斯出版了《运用德扎格透视法的一般讲解》(Maniere universelle de Mr Desaugues pour pratiquer la persPective).其中除了重印德扎格1636年的《透视法》之外,还附加了德扎格的三个几何定理,其中之一便是著名的德扎格定理.

  大约在16491650年间,德扎格回到了他的故乡里昂,1657年又回到巴黎.这个期间,他仍继续他的建筑师工作,设计建造了一些精美的建筑物.1660年,德扎格重新出现于巴黎的学术圈内,荷兰科学家C.惠更斯(Huygens)曾在1660119日的一次聚会上听过德扎格的讲话.第二年,德扎格就离开了人世.关于他去世的确切日期和地点及去世原因都不清楚.但从1661108日在里昂宣读他的遗嘱一事,人们推断他死于10月的头几天.

  在数学史上,17世纪是一个具有重大转折的世纪.几何方面的突破主要表现在两个不同的方向,一个是利用代数方法来研究几何,这就是笛卡儿的解析几何;另一个则是继续采用综合法,但却在更一般的情形下研究几何,这便是德扎格等人的工作.

  德扎格在数学上的贡献集中体现在他的上述两书以及博斯书后附录中的3个几何定理,特别是他的代表作《草稿》,该书涉及到射影几何的许多基本理论.可以说,德扎格是早期射影几何的奠基者.他的主要贡献如下:

  1.提出无穷远点和无穷远线的概念,从而使平行和相交完全统一

  德扎格以前的几何,今天被我们通称为欧氏几何,它在处理直线间的平行和相交关系时是分别对待的.当由于绘画和建筑等实际问题需要而提出透视问题,要研究在透视对应下图形的变化及其性质时,传统的观念就成为束缚了.因为在透视对应下,直线间的平行关系不再保持.例如,一个在地面上的大正方形ABCD,被分割成许多小的正方形(1).当用透视法将其画在纸上时,平行直线ABCD以及和它们平行的所有直线都相交于一点O,而直线ADBC以及与之平行的所有直线仍保持平行(见图2).当然在另外的情形下,直线ADBC等的平行性也可能消失.关于这一点,德扎格在他1636年发表的关于透视法的小册子中就有阐述.他详细讨论了在什么情况下,经过透视后,平行直线变成相交直线;在什么情况下,平行直线仍保持其平行性.这就是说,德扎格已经认识到,直线的平行关系在透视下是要改变的.

  既然平行线束可以变换为相交线束,那么平行线束和相交线束就应视为一致.但这在欧氏几何中是无法解释的.因为按照欧氏几何的观点,相交线束交于同一点,而平行线束却没有交点.冲破原有的观念,解决这一矛盾,或许就是德扎格引入无穷远元素的初衷,这也是欧氏几何与射影几何的重大区别之一.德扎格在他的《草稿》一书中,一开始就引进了无穷远点的概念.与欧几里得有意避开无穷的做法形成对照的是,德扎格首先就允许直线向两个方向无限延长,这无疑是一种认识上的进步.接着,德扎格在平行线束上引入无穷远点,把它看成是这些平行线的交点,由此得出同一平面上任意两条直线都相交的结论.这个结论在射影几何中是至关重要的,是射影几何理论体系赖以建立的基本观点.值得注意的是,著名的德国天文学家、数学家J.开普勒(Kepler)在他的《对维泰洛的补充,给出天文学的光学部分》(Ad Vitellionem paralipomena quibus astronomiae pars optica traditur1604)一书中也提出了无穷远点的思想.但是开普勒是否对德扎格具有影响,我们还没有证据.此外,德扎格还在他的著作中,在平行平面上引入了公共的无穷远直线,并且得出平行平面组都相交于同一直线的结论.这样,在德扎格的思想中,平行被看作是相交的特殊情形,初步确立了不同于欧氏空间的射影空间的原始概念.这些思想为德扎格研究各种射影性质带来极大的方便,也表现了德扎格非凡的独创精神.

  2.建立点列的对合定义,获得一些重要结果

  在《草稿》一书中,德扎格先讨论了直线上的点列,然后进行射影平面上有关内容的讨论,最后是圆锥曲线的射影性质的讨论.在这本书中,关于对合的内容占了较大的篇幅.在德扎格创用的所有术语中,也只有对合(involution)这个词沿用下来.德扎格的对台定义是这样的:


形被德扎格称为BHGF是四点对合.四点BHGF是对合的,也就意味着BH调和分割线段FG.德扎格还发现,当这四个点中的一个,比如说H是无穷远点,就相当于B平分线段FG的特殊情形.

  活跃于公元1世纪的希腊数学家门纳劳斯(Menelaus)曾提出一个有关球面三角形的定理,该定理的证明要依据平面三角形的相应定理(即门纳劳斯定理).门纳劳斯没有证明后一个定理,而它在德扎格的许多证明中具有重要地位,因此在进行射影平面内某些性质讨论前,德扎格3.这里采用了德扎格的提法及其所用的符号).他过KHG的平行线,然后利用三角形平行截线定理来证明.门纳劳斯定理的逆也真,

  在证明了门纳劳斯定理之后,德扎格立即用它证明了一个重要定理:如果BHDFCG是在不通过K的一直线上的三对对合点,bhdfcgBKHK等直线和另一直线的交437 点,那么bhdfcg也是3对对合点(见图4).换句话说,一直线上对合的6个点,经一点射影变换到另一直线上的映象也是对合的.德扎格看到,当K是无穷远点时,定理是显然的,因为那时BKHK等互相平行.他还研究了另外的特殊情形.至于4点对合的类似定理,德扎格也是作为特殊情况看待的,因此德扎格相当于给出了调和点列经射影变换后仍为调和点列的结果.他还利用上一定理,给出了已知直线上的3个点,寻求第4调和点的简单作法.

  对合的定义,今天已经是射影几何的一个重要概念了.德扎格关于对合的这些结果,是在前人研究的基础上,采用射影的观点进行一般化处理,因而具有较普遍的意义.

  3.提出圆柱和圆锥的统一思想,并且第一个采用射影的方法,统一研究圆锥曲线问题

  圆锥曲线问题是德扎格研究的一个重要课题.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》(Conics)对圆锥曲线问题作了完整的总结,使后人若无思想上的突破,便几乎没有插足之地.德扎格第一个认识到所有的非退化圆锥曲线(椭圆、抛物线、双曲线)和圆是射影等价的,从而可以利用射影法统一处理圆锥曲线,得出许多重要的新定理.

  圆柱截面问题在阿波罗尼奥斯的著作中没有讨论.公元4世纪的埃及数学家塞里纳斯(Serenus)在他的著作《圆柱截线》(On the section of a cylider)和《圆锥截线》(On the sectionof a cone)中也只得到“已知一个圆锥(圆柱),可以找到一个圆柱(圆锥),使同一平面能截出相等的椭圆”这样的结果.德扎格远远超过前人,他首先将圆柱视为圆锥的特例.由于引进了无穷远点,德扎格就可以同时考察圆锥和圆柱,而且在他看来,圆柱不过是顶点在无穷远点的圆锥,这样就把圆柱和圆锥统一起来了.

  按现代的观点,德扎格是把一个圆锥的两个截面看作以圆锥顶点为射影中心的射影对应下的两圆锥曲线,把一个圆柱的两截面看作仿射对应下的两椭圆,而仿射变换乃是以无穷远点为射影中心的射影变换.而且,德扎格认为抛物线、双曲线和椭圆一样是闭合的,只不过是在无穷远点处闭合.他进一步认为所有的(非退化)圆锥曲线是(射影)等价于圆的,就是说圆所具有的射影性质,对其他各种类型的圆锥曲线全都适用.虽然德扎格的这些思想并非十分明确,但在他的《草稿》一书中都有不同程度的表现.

  以德扎格的名字命名的德扎格对合定理的证明体现了德扎格运用射影思想处理问题的独特方法.设 BCDE是四边形的四个顶点,对边BCED交于NBECD交于FBDCE交于R,则这些线与任意一条直线l6个交点是对合的(见图5).进一步,任何通过BCDE的圆锥曲线和四边形的任意两对边与直线l6个交点也是对合的.定理的前半部分是希腊数学家帕波斯(Pappus)的一个结果,德扎格利用门纳劳斯定理证明了这一部分.定理的后半部分完全是德扎格的,而且是体现德扎格射影方法的杰作.证明时,德扎格首先假设通过四边形BCDE的圆锥曲线是一个圆,运用圆的割线定理和上半定理证明中的一些结果,证明了在圆的情形下定理成立.然后,假设过BCDE的圆锥曲线是任意的,由于这一圆锥曲线可视为一圆锥的截面,将其经圆锥顶点射影变换到另一截面是圆的平面上,因为对合是射影不变的,所以定理仍真.这种利用射影变换思想进行证明的方法,不仅避开了各种复杂情况,简化了证明过程,而且把所有的圆锥曲线的射影性质统一起来.作为这个定理的推论,德扎格还得到BCDE平行时的结果.

  在德扎格的其他定理中,我们还应提到他关于圆锥曲线的极点和极线的几个定理.极点和极线问题在阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》中作过讨论.但德扎格的定理更具一般性,并有新的结439 果.在证明中,他总是先对圆的情形证明结论成立,然后再通过射影不变性得出最后结论.借助这些定理,德扎格还发现了寻找一点关于圆锥曲线的极线的作法以及圆锥曲线的切线作法,这些方法都比阿波罗尼奥斯的作法简单.

  对圆锥曲线的研究,显示了德扎格射影方法的优越,使得一些带有普遍性的问题的证明变得极其简洁.这可能就是德扎格所要追求的统一的或普遍的方法.这种为德扎格首先使用的方法,现已成为射影几何中的基本方法.

  4.提出并证明了德扎格定理

 

  在博斯书后附录中的德扎格三个几何定理的第一个便是著名的德扎格定理:如果两个三角形ablDEK对应顶点的连线aDbElK共点(H),那么它们的对应边的交点cfg共线.其逆定理也成立(6.需要说明的是,图形基本保持博斯书中的原状,字母也相同,只是定理的叙述为了简明而采用现代方式).德扎格在共面(二维)和不共面(三维)的情形下分别给出了正定理和过定理的全部证明.有趣的是,三维情形要比二维情形的证明简单.

  欧氏几何是一种度量几何,它跟图形的度量性质有关,比如线段的长度、角的大小等.射影几何则是一种非度量几何,它主要研究图形的位置关系,比如相交、共线、共点等.而三角形又是射影几何中的基本图形,因此,德扎格定理在射影几何中就具有重要意义.

  德扎格在射影几何学上的贡献可以说是开创性的,他的无穷远元素的思想及射影的证明方法是是射影几何学的基本内容.

  德扎格的著作难以阅读且难以见到,这是他之所以在后来的很长时期默默无闻,他的工作长达150余年无人知晓的原因之一.德扎格在他的著作中采用了一些由植物学借用来的术语,比如不同情形的线或线段,他分别用“树干”(tronc) “枝条”(rameau)等表示;不同情形的点,他又用“结”(noeud)、“根株”(souche)等表示.这些术语的使用,原意可能是想使文章通俗易懂,而且又和传统的术语相区别.但结果反而增加了阅读的困难,也降低了他的著作的影响力,阻碍了他的方法的传播.

  虽然由于各种原因,德扎格在当时和以后的影响远低于他的成就,但也有少数数学家接受了他的思想和方法,继续为射影几何做出贡献.B.帕斯卡(Pascal)便是最突出的一位.帕斯卡跟随其父E.帕斯卡参加了梅森的数学团体,从中受到德扎格的直接影响.在德扎格的鼓励下,帕斯卡投入到射影几何的研究,天才地获得了许多出色的成就.稍后,P.拉伊尔(La Hire)也开始运用德扎格的射影方法研究圆锥曲线.拉伊尔的父亲是德扎格的学生,拥有德扎格《草稿》一书的印本.拉伊尔将其手抄下来,这一手抄本后来被沙勒发现,才使德扎格的著作重见天日.拉伊尔仔细阅读了德扎格的著作,因而深受影响,他在此基础上为射影几何做了相当多的工作,取得一些较为重要的结果.

  在德扎格、帕斯卡等人之后,射影几何早期研究便被汹涌而起的解析几何、微积分的浪潮所吞没,直到19世纪才重新兴起并正式创立这一数学分支。遗憾的是,这时的数学家们还不知道德扎格的工作而不得不重新做起.

  作为数学史上的一个重要人物——德扎格,曾被历史所忘记,可是一旦被人们重新认识,他的数学功绩就会永存!