辽宁师范大学 王青建

 

  韦达,F(VièteFrancois)1540年生于法国普瓦图地区[Poitou,今旺代省的丰特奈-勒孔特(Fontenayle-Comte)];16031213日卒于巴黎.数学.

  韦达的名字应译为“维埃特”,因其著作均用拉丁文发表,故名字常用拉丁文拼法Vieta,译音是韦达,沿用至今.

  韦达的父亲艾蒂安(E tienne)是丰特奈的律师.韦达早年在家乡接受初等教育,后来到普瓦捷(Poitiers)大学学习法律,1560年获法学学士学位,成了一名律师.1564年放弃这一职位,做了一段秘书和家庭教师工作.157310月受查理九世委派任雷恩(Rennes)布列塔尼(Brittany)地方法院律师.闲暇期间钻研各种数学问题.15803月在巴黎成为法国行政法院审查官,后任皇室私人律师.1584年遭政敌陷害被放逐,5年后又被亨利三世召回宫中,充任最高法院律师.在法兰西与西班牙的战争期间(15951598),韦达为亨利四世破译截获的西班牙密码信件,卓有成效.后来几年辗转于丰特奈和巴黎.1602年被亨利四世免职,次年去世.

  韦达是法国16世纪最有影响的数学家.他在毕业以后(15641568)和从政在野期间(15841589)曾潜心探讨数学,并一直将这一研究作为业余爱好.为了把研究成果及时发表,还自筹资金印刷和发行自己的著作.由于他的论著内容深奥,言辞艰涩,故其理论当时并没有产生很大影响.直到1646年,由荷兰数学家Fvan斯霍滕(Schooten)在莱顿出版了韦达全部著作的文集,才使他的理论渐渐流传开来,得到后人的承认和赞赏.

  平面三角学与球面三角学

  《应用于三角形的数学定律》(Canon mathematicus seu ad triangula cum appedicibus,巴黎,1579)是韦达最早的数学专著之一,也是早期系统论述平面和球面三角学的著作之一.该书于1571年付印,共有4个部分,但最后只有前两部分于1579年出版.书中的第一部分列出6种三角函数表,第一个表和第六个表以分和度为间隔,给出6条三角函数线精确到5位和10位小数的值,其他的表则列出与三角值有关的乘法表、商表等.第二部分给出造表的方法,解释了三角形中诸三角线量值关系的运算公式,其中有韦达自己发现或补充的公式,如正切定律

  和差化积公式

等.他将这些公式汇于一个总表中,使得任意给出某些已知量后,可以从表中得出未知量的值.该书以直角三角形为基础.对斜三角形,韦达仿效古人的方法化为直角三角形来解决.对球面三角形,则使用与平面三角形相仿的记号化为球面直角三角形,给出计算的完整公式及其记忆法则,如提出涉及钝角的余弦定理

cosA=-cosBcosCsinBsinCcosa

  韦达在三角学方面不仅多有创见,而且运用灵活.1593年亨利四世为解答一个45次方程召见韦达.该方程是由比利时数学家Avan罗门(Roomen)提出的,即

45y-3795y395634y5-…+945y41-45y43y45=c

  罗门以此向全世界的数学家提出挑战,征求解答.荷兰驻法大使对亨利四世说,法国人不具备解决这一问题的能力.韦达来到后看出这个


角学知识,几分钟后就用铅笔写出了一个解.第二天他已找到了该方程的全部23个正根,而当时并不承认其负根,认为正弦值为负是难以理解的.两年后韦达发表了“回答”(Responsum1595)一文,解释了他的方法.韦达根据45=3·3·5,首先将一个角5等分,然后再将每一份3等分两次,使之分别与五次方程和三次方程相对应,则上述问题可如下求解,先用3x-x3=C的根xt3t-t3=x;再根据方程5y-5y3y5=tsinnθ用sinθ表示的问题.后来,韦达又专门写了一篇论文“截角术”(Ad angularium sectionum),初步讨论了正弦、余弦、正切弦的一般公式,首次把代数变换应用到三角学中.他考虑含有倍角的方程,具体给出了将cosnx表示成cosx的函数(n11),并给出一个确定系数的表.就其应用的方法来看,韦达已能给出当n等于任意正整数的倍角表达式了.“截角术”在他生前没有发表,直到1615年才由安德森(Anderson)印刷所出版.

  符号代数与方程理论

  《分析方法入门》(In artem analyticem isagoge,图尔,1591)是韦达最重要的代数著作,也是最早的符号代数专著,书中第1章引用了两种希腊文献:帕波斯(Pappus)的《数学文集》(Mathe-matical collection)7篇和丢番图(Diophantus)的《算术》(Arithmetica),他将帕波斯提出的几何定理与问题和丢番图著作中的解题步骤结合起来,认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧,并自信希腊数学家已经应用了这种分析术(arsanalytice),他自己只不过将这种分析方法重新组织.韦达不赞成用algebra(代数)这个词,因为它是一个外来语,在欧洲语言中没有意义,建议用analyse(分析)来代替它.

  韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想,试图创立一般的符号代数.他引入字母来表示量,用辅音字母BCD等表示已知量,用元音字母A(后来用过N)等表示未知量x,而用A quadratusA cubus表示x2x3,并将这种代数称为“类的运算”(logistice speciosa),以此区别于用来确定数目的“数的运算”(logistice numerosa).对这种“类”,他在第2章中借用了欧几里得(Euclid)《几何原本》中对量所作的规定,如:整体等于部分之和;相等的两个量分别加上相等的两个量结果仍相等;以及某些运算性质,例如:若ab=cd(a+c)(b+d)=ab=cd;若ac=b2(ad=bc)ab=bc(ab=cd)等.从而使类的运算法则符合于通常数的四则运算法则.这样,他的“分析方法”对数和几何量在使用上就没有差别了,韦达以此为根据展开了关于代数方程的讨论.

  书中第5章在列举了方程的构成方法及类型后,给出了解方程的基本步骤.如将方程一边的某一项移至另一边;用方程中每一项都有的“类”除各项,降低方程的阶;消去最高项的系数,将方程变成比例的形式等.第6章处理了一些涉及综合法的问题,第7章讨论了几何量与数之间的关系,若事物本身能表示成长度、面积或体积,则在方程中能用一个数表示这个量.韦达拘泥于希腊人的齐性(homogeneity)原则,即认为一个数表示线段,二数之积表示面积,三数之积表示体积,它们之间是不能混合运算的.因此在韦达列举的方程中,要求每一顶的已知量与未知量的乘积次数相等,称之为均匀性或齐次性(homogeneous),使整个方程表示同一种几何意义(例如将三次方程y3+py+q=0记为x3A2x=B3).最后一章即第8章中韦达讨论了各种可能出现的方程的表示方法,共有29条规则.其中给出了方程的定义:一个方程是一个未知量与一个确定量的比较.

  在数学中,代数与算术的区别在于代数引入了未知量,用字母等符号表示未知量的值进行运算.韦达之前,已有不少数学家用字母代替特定的数,但并不常用,韦达是第一个使之系统化的人.虽然他选用的符号并不优良(相等、相乘等概念在运算中仍用文词表示),没有沿用下来,现在用abc表示已知量,xyz表示未知量的习惯用法是R.笛卡儿(Descartes)继韦达之后提出的,可是当韦达提出类的运算与数的运算的区别时,就已规定了代数与算术的分界.这样,代数就成为研究一般的类和方程的学问,这种革新被认为是数学史上的重要进步,它为代数学的发展开辟了道路,因此韦达被西方称为“代数学之父”.

  1593年,韦达又出版了另一部代数学专著——《分析五篇》(Zeteticorum libri quinque,亦称《发现五篇》, 5卷,约1591年完成),用具体实例将类运算与丢番图的《算术》相比较,并试图将后者在几何形式下的代数恒等式重新推导出来,如a33a2b+3ab2+b3=(ab)3


cubo”]等,还包含有二次和三次不定方程的解,其中有34个问题引自丢番图的《算术》(包括13个有同样数值的问题),而解题方法却是韦达的分析术.

  《论方程的识别与订正》(De aequationum recognitione etemendatione1615)是韦达逝世后由他的朋友 A.安德森(Anderson)在巴黎出版的,但早在1591年业已完成.其中得到一系列有关方程变换的公式,给出了G.卡尔达诺(Cardano)三次方程和L.费拉里(Ferrari)四次方程解法改进后的求解公式.例如,对方程x33B2x=2Z3,韦达设y2yx=B2(B2可理解为一个矩形的面积,该矩形的小边为y,大边与小边的差额为x),则有(B2-y2)/y=x,代入原方程,得

  (B6-3B4y23B2y4-y6)/y3(3B4-3B2y2)/y=2Z3

  将所有项都乘 y3,并适当合并,得y6+2Z3y3=B6,这个方程有一个二次

Z6=D3就得到(B2-D2)/D为所求的x.在处理四次方程时,韦达同样使用其化简原理,首先消去含x3的项,化为方程x4+a2x2b3x=c4,然后将含有x2x的项移到方程的右边,并在方程两边同时加上x2y2+y4/4,则方程变为

  然后选择适当的y,使方程右边变成完全平方数,代换y值,求出两边的平方根,于是得到关于x的两个二次方程,再解之.他还推出了一般二次方程的求根公式,类似于现在的结果.

  在该书第8章,韦达给出卡尔达诺三次方程不可约情形的三角解法:若x3-3a2x=a2b,其中ab/2,则利用三角恒等式(2cosα)3-3(2cosα)=2cos3α,令x=2acosα,由b=2acos3α确定3α,可得出方程的三个根

  韦达只给出一个根,其方法为后人沿用.

  《论方程的识别与订正》的另一成就是记载了著名的韦达定理,即方程的根与系数的关系式.韦达给出4个定理,论述了在二次方程中如果第二项的系数是两数和的相反数,第三项的系数是这两数的乘积,那么这两个数就是这个方程的根.此外,韦达在最后一章中试图将多项式分解成一次因子,如从二次到五次方程中分解出x-xk,但没有成功,只是在进行过程中较早得到代数方程(x)=0的形式.

  韦达还探讨了代数方程数值解的问题,1591年已有纲要,1600年以《幂的数值解法》(De numerosa potestatum)为题出版.其中给出的求方程的近似根与求一般根的方法一致,其过程与I.牛顿(Newton)近似方法相仿,由估值开始,经过逐次迭代求得结果.该方法到1680年前后才被普遍使用.

  几何学的贡献

  1593年韦达在《分析五篇》中曾说明怎样用直尺和圆规作出413 导致某些二次方程的几何问题的解.同年他的《几何补篇》(Su-pplementum geometriae)在图尔出版了,其中给出尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识,从直线的截距公设开始,用已给两线段的比例中项及圆弧和截距间的关系式,较早地将倍立方和三等分角问题转化为解三次方程的问题,并给出两个用三角方法解三次方程的命题.后来他又得到用给定线段求解倍立方作图问题的解答(发表于1646).《几何补篇》中还有6个命题研究了圆内接正七边形的作图法,指出这种作图亦可导致三次方程,即x3=ax+a.韦达在同年出版的《各种数学解答》(Variorum de rebusmathematicis responsorum)的前半部分又重述了倍立方体、三等分角及圆内接正七边形问题,并以对偶形式讨论了割圆曲线、平面和球面三角形、阿基米德螺线等问题,给出无穷几何级数的求和公式等结果.此外,在第18章中韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式

  即π的第一个解析表达式.这是在考虑单位圆内正多边形时发现圆面积为

  而得到的.他还利用圆内接正393216边形得到π的精确到10位小数的近似值,被认为是当时西方最好的圆周率值.韦达强调10进分数(小数)优于欧洲罗马时代流传下来的60进分数,而且创造了一套10进分数表示法,促进了记数法的改革.

  1600年,韦达又发表一部关于阿波罗尼奥斯(Apollomus)几何作图相切问题的专著.该问题原意是:任给三个圆形(可以是点、直线或圆),求作一个圆过给定的点并切于给定的直线或圆.因为求作一圆与已给的三个圆相切为最难,后人常以此代称为阿波罗尼奥斯相切问题.阿波罗尼奥斯的原著已失传,解法也无从知晓.韦达在此试图收集已散失的论文,并亲自解了这道相切题.他通过单独处理该题10种特殊情形的每一种,严格陈述了求解方法,给出应用两个圆相似中心的欧几里得解法,得到同时代数学家的赞赏.他还在附录中列举解法的几何构造及其注释,为后人对这一问题的研究提供了帮助.当韦达解决了比利时数学家罗门提出的45次方程后,作为礼尚往来,他把阿波罗尼奥斯问题回敬给罗门,后来还帮助罗门化简了这一问题的求解方法.韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承,发展成为解析几何学.

  韦达崇尚古代学者的功绩,认为自己的工作只是用新的方法、技巧或新的形式恢复古人的工作,如使用字母、方程求解等,而对一些概念上的革新持冷漠态度.他在研读卡尔达诺有关三次方程的著作时借鉴了其中的解法,却对卡尔达诺解出的负根置之不理,而且在自己的论著中自始至终不承认负根.另外,韦达对哥白尼的天文学理论抱有成见,在格列高利十三世(Pope Gregory XIII)的历法改革中坚持错误观点,与其他科学家进行了长期争论.但韦达在数学上的巨大成就引导了一大批后继数学家.他在《分析方法入门》的结尾写下这样一句座右铭“没有不能解决的问题”(Nullum non problema solvere),这不仅对代数学家是一种鼓舞,而且对所有从事数学工作的人来说都是一种极大的鞭策.