卡尔达诺

辽宁师范大学 王青建

 

  卡尔达诺,G(CardanoGirolamo)1501924日生于意大利帕维亚(Pavia)1576921日卒于罗马.数学、医学、物理学、哲学、星占学.

  卡尔达诺姓名的英文拼法是CardanJerome,译为“卡当”,常以此通用.例如解一般三次方程的“卡当公式”等.

  卡尔达诺是一个法官和一个寡妇的私生子.自幼体弱多病,备受歧视和虐待,性格冷漠倔强.父亲法齐奥(Fazio Cardano14441524)博闻饱学,在米兰讲授过法学和医学,曾与意大利文艺复兴时期的著名画家、科学家达·芬奇(Leonardo da Vinci)为友.受父亲的鼓励,卡尔达诺开始学习古典文学、数学和星占学.1520年在帕维亚上大学时又学习医学.后转学于帕多瓦,1526年毕业,取得医学博士学位,继而在帕多瓦附近的一个小镇萨科隆戈(Saccolongo)行医近6年.1531年与L.班达雷妮(Bandareni)结婚,生有二子一女.

  婚后不久,卡尔达诺因收入微薄,难以支撑不断扩大的家庭,被迫搬到米兰居住以谋公职.但由于他是私生子,米兰医学协会认为这是出身卑贱,拒绝他加入该协会.卡尔达诺只好独自开业行诊,生活十分拮据.1534年由父亲的一个贵族朋友举荐,卡尔达诺成为米兰专科学校的一名数学教师,在那里讲授几何学.同时任贫民院的医生,生活略有好转.他除了教学和诊病外,还潜心医学研究,自1536年起在威尼斯等地出版了几部专著,阐述一些理论问题,总结行医经验,还揭露过医学界的某些劣行.由于他的医术高超,逐渐在米兰取得声望.1539年米兰医学协会重新决定接纳他为该协会正式会员.同年卡尔达诺转到米兰的医学院任教,不久成为该院的负责人.1543年又到帕维亚大学任医学教授.几年之内,成为闻名全欧的医生.1552年还专程到英国爱丁堡为大主教J.哈密顿(Hamilton)及其他达官显贵治病.

  1560年,卡尔达诺宠爱的大儿子因犯“毒死妻子罪”被处决,对他的精神打击很大.当时,卡尔达诺的小儿子也生活放荡,桀骜不驯.为摆脱烦恼,卡尔达诺谋到波伦亚(Bologna)大学医学教授的职位,1562年正式赴任.

  卡尔达诺的坎坷经历使他的性格颇为奇特,因而常常被描述为科学史上的怪人.他在数学、哲学、物理学和医学中都有一定成就,同时也一直醉心于占星术和赌博的研究.1570年因给耶稣算命(说耶稣的一生都是受天上星宿的支配)而受到宗教法庭监禁,被起诉为异教徒(另一悦是因为债务问题被捕入狱,还有的说二者兼而有之).几个月后,宣誓放弃异端学说获释出狱,但失去了教学职位和学术出版权.1571年移居罗马,另谋生计.后因星占学研究得到教皇皮乌斯五世的赏识,付给他终身年薪,留在皇宫供职.在生命的最后一年(1576),卡尔达诺写下了自传体著作《我的生平》(De propria vita liber…,1643年在巴黎出版).该书以自我批评的口吻剖析了他自己的一生,是研究卡尔达诺的主要材料之一.

  卡尔达诺被誉为百科全书式的学者,一生共写了各种类型的文章、书籍200多种.现存的材料就有约7000页.他智力超群,性情孤僻,职业动荡多变,著述鱼龙混杂.除了作为正式职业的著名医生、医学教授、占星术士引起注意外,就他的贡献而言,人们也常把他称为数学家、哲学家、物理学家,或者笼统地称之为科学家.

  卡尔达诺的数学贡献表现在他对算术和代数的研究.1539年他首次出版了两本算术演讲书,其中较重要的一部是在米兰刊行的《算术实践与个体测量》(Practica arithmetice et mensurandi singularis).书中主要用数值计算来解决实际问题,在一些计算方法、代数变换中显示出较高技巧.当时的代数没有符号,仅靠文字叙述来表示解题过程,称为“文词代数”.对于高于二次的代数方程,一般是没有解决办法的.卡尔达诺在书中列专题论述了多种方程的解法,甚至求得一些特殊三次方程的解.例如:对方程(用现代符号表示)6x3-4x2=34x+24,两边同时加上6x3+20x2,合并后得:

4x2(3x4)=(2x24x6)(3x4)

  两边同除以3x+4,则由二次方程解得原方程的一个正根x=3(按当时的习惯,一般不承认方程有负根,解出一个正根就认为是解完了方程.)

  卡尔达诺最重要的数学著作是1545年在纽伦堡出版的《大术》(Ars magna)。全名为《大术,或论代数法则》(Artis magnaesive de regulis algebraicis liber unus).该书系统给出代数学中的许多新概念和新方法.例如:三、四次代数方程的一般解法;确认高于一次的代数方程多于一个根;已知方程的一个根将原方程降阶;方程的根与系数间的某些关系;利用反复实施代换的方法求得数值方程的近似解;解方程中虚根的使用等等.其中在数学史上较为重要而又颇有争议的是三次代数方程的一般解法.

  早在1510年左右,波伦亚大学的教授Sdel费罗(Ferro)就发现了缺少二次项的三次方程x3+px=q(pq均为正数)的解法,并在逝世之前透露给他的学生AM.菲奥尔(Fior,威尼斯人).后来,出生于意大利北部布雷西亚(Brescia)的数学教师N.塔尔塔利亚(Tartaglia)1530年得到另一类缺少一次顶的三次方程x3px2=q(pq为正数)的解法.1535年,菲奥尔得知塔尔塔利亚会解三次方程后并不相信,就向他提出挑战,要求进行公开竞赛.塔尔塔利亚为此潜心钻研,终于在比赛前得到x3+px=qx3=px+q(pq为正数)两类方程的解法,从而在比赛时解出了菲奥尔提出的全部30个问题.反之,塔尔塔利亚提出的问题多数导致对方不会解的x3px2=q类型的方程,因而塔尔塔利亚大获全胜.受此鼓舞,塔尔塔利亚继续研究三次方程的解法,到1541年已发现x3±px2=±q和由此变换而得到的x3±mx=±n(mn为正数)等多种类型的方程的一般解法.他准备写一本包含这些解法的代数书传于后世,但这一设想被卡尔达诺打乱了.

  卡尔达诺当时也在研究方程问题,准备写一部关于代数问题的专著.当他得知塔尔塔利亚与菲奥尔竞赛获胜的消息后,便托人打听塔尔塔利亚的方法.1539年又亲自写信讨教,并邀请塔尔塔利亚到米兰.这年3月塔尔塔利亚来到后,卡尔达诺经过当面再三恳求并发誓对此保密,塔尔塔利亚才把他关于方程x3px=qx3q=px的解法写成一首25行诗告诉卡尔达诺.此后,卡尔达诺从各方面详细研究了塔尔塔利亚的解法,并以此为线索,得出各种类型三次方程的解法.他将这些解法收在《大术》中发表出去,同时补充了各种方法的证明.在《大术》第11章“关于一个立方和未知量等于一个数”(De cubo rebus aequalibus numero,相当于方程x3px=q)中,卡尔达诺一开始就申明:“费罗约在30年前发现了这一法则并传授给菲奥尔,后者曾与也宣称发现该法则的塔尔塔利亚竞赛.塔尔塔利亚在我的恳求下将方法告诉了我,但没有证明.在这种帮助下,我克服了很大困难找到了证明,现陈述如下…….”由此可以看出,卡尔达诺知道费罗早已发现这类方程的解法,或许觉得没有保密的必要,才将它发表出来.虽然卡尔达诺写明了方法的来源,但失信行为仍然激怒了塔尔塔利亚.塔尔塔利亚在第二年写成的《问题》(Quesiti1546)一书中强烈谴责了卡尔达诺.1547年卡尔达诺的仆人和学生L.费拉里(Ferrari)代替主人向塔尔塔利亚进行论战,在近两年的时间里先后通信12封,各自向对方提出31个问题,后又相互指摘对方的解法有误.塔尔塔利亚原想与卡尔达诺本人进行直接辩论,但卡尔达诺却始终没有再与他通信或见面.1548810日,塔尔塔利亚与费拉里在米兰大教堂附近进行了公开交锋.塔尔塔利亚批驳费拉里解答中的错误,而费拉里则强调塔尔塔利亚有一个不能解决的问题.辩论从上午10点持续到晚饭时间,结果不了了之.最后由于《大术》的影响,三次方程的解法还是冠以“卡当公式”或“卡尔达诺公式”流传开来.

  卡尔达诺在《大术》中借助于几何图形的证明并以方程x3+6x=20为例阐述了解三次方程的方法.对于方程x3px=q,卡尔达诺在“法则”(Regula)中得出的求解公式为(用现代符号表示)

  

然后推出x=u-v.他将u3v3看成是立方体的体积,其边长分别为uv

意味着两个体积之差等于qx就等于两个立方体边长之差,即x=u-v.借助几何方法可推得

x3=(u-v)3=u3-v3-3(u-v)·u·v=q-px

  即为原方程.此外,卡尔达诺还解出x3=pxqx3px+q=0x3q=px三种类型的三次方程,对含有二次项的方程,卡尔达诺给出具体消去二次项的方法.例如对x36x2=100,令x=y-2,代入后化为y3=12y84.这已是目前解三次方程的重要步骤之一.卡尔达诺在《大术》第1723章中专门讲述了处理一般三次方程(四项俱全的方程)的方法,使之对任意三次方程均可求解.

  《大术》的另一重要成果是在第39章中记载了费拉里发现的四次代数方程的解法.“求三个成连续比例的数,其和为10,前两个数的积为

  

惯于把他的方程写成各项系数都是正数的形式.)书中以此为例阐述了费拉里的方法,并给出主要步骤的几何证明.这是一般四次代数方程解法的最早记载.

  卡尔达诺在《大术》第37章中专门讨论了解方程中遇到的虚根问题.通俗的例子是“将10分成两部分,使其乘积为40”.他将解答(5

5pRm15

5mRm15

25mm15qdest40

  R表示平方根,p表示加,m表示减.对于求解中产生的负数的平方根,卡尔达诺首次把它当作一般的数进行运算.他还认识到如果一个方程有一个虚根,则应该有与之共轭的另一个虚根.

  卡尔达诺在《大术》中观察到方程的根与系数的关系以及系数符号的连续性与根的符号间的关系.他还在15398月的一封信中讨论了方程的不可约情形,即根是不同的实数,而根的表达式中却出现虚数的情形.后来又在1570年《大术》的一个新版本中加了一节,专门论述三次方程的不可约情形.但他并没有解决这一问题.卡尔达诺在欧洲还是第一个允许二次方程和三次方程负根存在的人,并首次发现三次方程有三个()根.这些工作被认为是代数方程理论的早期成果.

  卡尔达诺长期醉心于游戏和赌博,掷骰、弈棋、打牌无所不从.他早在1539年的著作中就论及赌金分配问题,另外又写成经验之谈式的专著《游戏机遇的学说》(Liber de ludo aleae).这部著作直到1663年才收入在莱顿出版的10卷本卡尔达诺《全集》(Opera omnia)中第一次发表.书中给出一些概率论的基本概念和定理,得到所谓“幂定理”(某事件重复n次发生的概率)和大数定律.但这些理论发表得较晚,对后世影响不大。

  卡尔达诺被誉为16世纪文艺复兴时期人文主义的代表人物.他试图将现实中的一切统一在一种体系中,因此除了发表过多学科的文章、专著外,还出版了两部百科全书式的综合性著作《事物之精妙》(De subtilitate libri21卷,1550)及其补充《世间万物》(De rerum varietate libri17卷,1557).书中包括大量力学、机械学、天文学、化学、生物学等自然科学与技术的知识,还有密码术、炼金术以及占星术等内容.其中的一些科学观点与达·芬奇的论述颇为相似,或许卡尔达诺曾受到这位科学和艺术大师手稿的启迪.这两部著作仅在16世纪就有十几个版本流传,后来又被译为多种文字,影响深远.

  1570年卡尔达诺在《论运动、重量等的数字比例》(Opus novum de proportionibus numerorummotuumponderum,…)中提出,斜面上支持一个物体所需要的力与斜面的倾角成正比,并以新的方式论述了天平平衡的条件.他设计了许多机械装置,其中著名的有“卡尔达诺悬置”,“卡尔达诺接合”,“卡尔达诺轴”等.他还仔细观测了抛射体的运动,指出这种运动的轨迹类似于抛物线.并由此断言:除天体外,物体不可能有永恒的运动.卡尔达诺是实验物理学的先驱者之一,曾尝试用定量的方法研究物理学.他假设枪弹在空气和水中通过的距离反比于它们的密度,然后通过实际测量来确定两者的密度比值.他还在流体动力学中用观察实验的方法得出与当时流行观点相反的结论:流体中高水位比低水位运动的速度快.

  卡尔达诺还被称为自然哲学家.当时欧洲解释自然界仍采用古希腊的四元学说,即世间万物都是由火、水、土和空气生成的,这四种物质被称为“要素”或“基本元素”.卡尔达诺将四元减为三元,去掉了火,又将四元素所产生的“四种基性”——“热”、“干”、“冷”、“湿”减为两种,只留下“热”和“湿”,并试图用“赞同”和“厌恶”说明自然现象,不过他的“三元”学说和“两种基性”学说影响不大.

  在地质学方面,卡尔达诺指出山岳的形成是由于流水的腐蚀造成的.他还指出:在陆地上发现的海生物化石表明,该地域是由海底逐渐上升而形成的.他最早提出水的循环理论,即下落的雨水汇成小溪流入河中,河水又流入海中,海水受阳光照射蒸发,化为水蒸气形成云,再成为雨水落到地面,如此构成永恒的循环.这些理论对地质学的发展有重要影响.

  作为著名医生,卡尔达诺不仅精于诊断和开方用药,而且外科手术技艺高超.他还在理论上第一个记载了斑疹伤寒病的治疗方法,并对生理学和心理学的一些问题提出自己的见解.虽然作为赌徒和占星术士留下的名声不太好(甚至传说卡尔达诺为了证实他对自己死期占卜的正确而在预言的那天自杀身亡),但他的著作在16世纪下半叶及后来被许多学者引用.由此可见,卡尔达诺作为一个科学家的影响是很大的.