塔尔塔利亚

辽宁师范大学 王青建

 

  塔尔塔利亚,N(TartagliaNiccolò)1499年生于意大利布雷百亚(Brescia)15571213日卒于威尼斯.数学、机械学、军事科学、测量学.

  塔尔塔利亚原姓丰坦那(Fontana),生于一贫困邮差家庭.7岁时父亲米歇尔(Michele)去世.13岁又遭骚乱之难,在布雷西亚大教堂内躲避战争时,被攻占的法军将头部砍伤多处(另一说他6岁遭此难).后经母亲细心照料痊愈,但留下口吃病根,人们因此将绰号塔尔塔利亚(Tartaglia,意为口吃者)冠于其名前.他本人也以此为姓发表文章,沿用至今.

  塔尔塔利亚约在14岁时开始上学,但只读了两个星期的书,就因无钱交纳学费而缀学.从此在母亲指导下进行自学,逐渐掌握了拉丁文和希腊文,并对数学产生浓厚兴趣.他勤于钻研,进步很快,约17(另一说22)就当上了维罗那(Verona)的算盘教师.后来还负责一个小学的事务.成家后经济每况愈下,1534年移居威尼斯,成为那里的数学教师.除教学外,还在教堂讲授公开课,并继续数学等学科的研究,相继出版了多种学术著作.1546年获讲师资格.15481549年回到家乡布雷西亚,在附近村子的中学里教数学.以后仍回威尼斯教学,直至去世.

  塔尔塔利亚最重要的数学成果是发现了三次方程的代数解法.遗憾的是,他的所有著作都没有给出这种解法,仅在别人的著作里留下片断记载,但是对发现这一方法的过程以及围绕它所发生的多次争论,塔尔塔利亚却做过详细的描述.

  1494年,数学家L.帕乔利(Pacioli)在他的著作中提出了几类三次和四次方程,说这些方程的求解像化圆为方问题一样困难,并推测它们可能不存在一般解法.但在16世纪初,波伦亚(Bologna)大学的数学教授Sdel费罗(Ferro)就解出了其中一类缺少二次项的三次方程x3px=q,不过受当时保密风气的影响,他没有发表这一解法,只秘传给了他的学生AM.菲奥尔(Fior,威尼斯人)等少数人.菲奥尔同样没有发表它,而准备将它用于时尚的公开竞赛,以便出奇制胜.

  1530年,布雷西亚的一位教师Zde科伊(Coi)向塔尔塔利亚提出两个问题,分别导致三次方程x3+3x2=5x36x28x=1000.塔尔塔利亚经过研究找到了前一种方程(缺少一次项)的一般解法,得到正实根.当然也是秘而不宣.几年后,菲奥尔听说塔尔塔利亚会解三次方程,深表怀疑.他自恃掌握x3+px=q的解法,就向塔尔塔利亚提出挑战,要求公开竞赛.塔尔塔利亚得知菲奥尔曾获费罗的秘传后,便潜心钻研,终于在竞赛前8(另一说前10)找到了这一类方程的解法.1535222日,双方在威尼斯公开竞赛,各自向对方提出30个问题.菲奥尔的问题都导致x3+px=q类型的方程,塔尔塔利亚在两个小时内全部解出来了.而塔尔塔利亚的问题多数导致x3mx2=n(mn为正数)类型的方程,菲奥尔一个也没解出.塔尔塔利亚因这次公开竞赛大获全胜而轰动一时,扬名整个意大利.到1541年他已得到x3±px2=±qx3±px=±q(pq为正数)几类三次方程的解法.他准备以后写一部有关的数学专著公布这些解法,然而这一计划却被一名叫G.卡尔达诺(Cardano)的数学家打乱了.

  卡尔达诺是米兰的一位医生,业余研究数学.他听到塔尔塔利亚竞赛获胜的消息时正在为自己写的一本代数书搜集材料,因此便在15391月托人向塔尔塔利亚讨教三次方程的解法,遭到塔尔塔利亚的拒绝。此后卡尔达诺又数次写信恳求,还邀请塔尔塔利亚来米兰做客,说一位名流想要见他.15393月塔尔塔利亚到达米兰,没有见到这位名流,却被卡尔达诺留在家中住了三天.在卡尔达诺百般请求并发誓保密的前提下,塔尔塔利亚将方程x3px=qx3+q=px(pq为正数)的解以暗语般的25行诗歌形式告诉了卡尔达诺,其中没有任何证明.塔尔塔利亚回家后忙于他的欧几里得(Euclid)和阿基米德(Archimedes)著作的翻译.卡尔达诺却在塔尔塔利亚的解法引导下,找出了各种类型三次方程的解法及其证明,并在1545年出版的《大术》(Arsmagna)中将它们发表出去.虽然卡尔达诺写明了方法源于塔尔塔利亚,并指出费罗也早已发现了x3px=q类方程的解法,但失信的行为仍然激怒了塔尔塔利亚,因此展开一场激烈的论战.

  1546年,即《大术》出版的第二年,塔尔塔利亚在威尼斯出版了一部题为《各种问题和发明》(Quesiti et inventioni diverse)的著作.其中以对话和书信等记实方式陈述了他与科伊、菲奥尔、卡尔达诺等人的交往经历和三次方程解法的发现过程,对卡尔达诺的行为进行了斥责.卡尔达诺对此保持缄默,而他的仆人和学生、四次方程代数解法的发现者L.费拉里(Ferrari)代替主人出面,于15472月公开散发挑战书,要求与塔尔塔利亚进行为期30天的竞赛.塔尔塔利亚同样公开散发了他的回答信,要求与卡尔达诺本人直接辩论.自此到15487月,费拉里与塔尔塔利亚先后通信12封,各自向对方提出31个问题,后又互相指责对方的解答有误.这些问题涉及算术、代数、几何、地理、天文、建筑和光学等许多领域,已成为科学史上的珍贵文献.

  塔尔塔利亚因自己有口吃缺陷,开始不愿意进行公开辩论,更不愿与费拉里交战.后来可能是掌握了费拉里解答中的错误,便在15486月的信中接受了挑战.1548810日,两人在米兰大教堂附近举行了公开辩论.塔尔塔利亚批驳费拉里解答中的错误,但发言常被聚集在那里的费拉里追随者打断.费拉里则强调塔尔塔利亚有一个不能解答的问题(指四次方程).争论从上午10点持续到晚饭时间,听众一哄而散,结果不了了之.塔尔塔利亚因听众和裁判不公,第二天便返回了布雷西亚.也有材料说塔尔塔利亚是败北而去,并因此而失去讲师职位.还有的说双方各自宣布获胜.直到8年后塔尔塔利亚才在他的名著《论数字与度量》(General trattato di numeri et misure)中的一篇插文里叙述了整个论战过程.该书的前两部分发表于1556年,第三部分在塔尔塔利亚去世3年后的1560年才出版,是未完成本.塔尔塔利亚想在书的最后一部分阐述他的三次方程解法及相关理论,最终未能如愿.后来由于《大术》的影响,三次方程的解法冠以“卡尔达诺公式”流传开来.

  塔尔塔利亚对x3+px=q的解可在卡尔达诺的著作中见到片段.他引入了两个新的变量(用现代符号表示)uv,并设

  由此可推出

  再由x=u-v即可求出原方程的解为

  卡尔达诺用几何方法证明了x=u-v成立,而塔尔塔利亚对此是怎样证明的已无从考证了.

  《论数字与度量》(15561560)是塔尔塔利亚最重要的数学著作.书中包括大量商业算术、数值计算和圆规几何等初等数学多个分支的理论,被称为数学百科全书和16世纪最好的数学著作之一.其中给出的由二项式展开系数排成的三角形被称为“塔尔塔利亚三角形”,比B.帕斯卡(Pascal)发表它的时间(1665)要早100多年.不过在塔尔塔利亚之前已有许多人论述过这种三角形,目前已知最早的人是中国的贾宪(1100)

  塔尔塔利亚在几何学中的贡献是,发现已知四面体的边长求其体积的方法,以及内切于一已知三角形且两两外切的三个圆[现397 在称为马尔法蒂(Malfatti)问题]的作图法.他的数学贡献还涉及算术基础研究,根的开方法,分母有理化,组合分析术,概率论和数学游戏,智力训练等等。

  1543年塔尔塔利亚翻译注释的欧几里得《几何原本》出版了,这是该书的第一种意大利文译本(译自两种拉丁文本),也是它首次以现代语言印刷的译本.同年,他又出版了阿基米德4部著作的拉丁文翻译本.8年后(1551)还注释出版了阿塞米德著作的意大利文译本,显示出他良好的语言学基础和希腊数学知识.此外他还翻译过阿波罗尼奥斯(Apollonius)和海伦(Heron)等人的著作,对希腊数学的保存与传播做出贡献.

  《新科学》(Nova scientia1537)是塔尔塔利亚的著作中较早出版的一部.他首次将数学应用于射击理论,发现一种用于动力学和运动学的数学方法,使该书成为研究自由落体运动和抛射体运动的开拓性著作,对G.伽利略(Galilei)等物理学家的工作颇有影响.书中还设计了两种超高和超距的测量装置,被后人誉为“第一代遥测仪”.1546年塔尔塔利亚在《各种问题和发明》中进一步讨论了抛射体问题,得出如下重要结论:抛射体轨迹在每一处都是弯曲的线;初始速度给定时,当抛射体具有45°抛射角时射程最大.他还在弹道学研究中提出一些新的观点和方法,制作了射击表,并对防御工程的构筑提出自己的见解,是一位在军事科学的理论和实践中都有贡献的科学家.其中有些成果很快就被翻译介绍到德(1547)、法(1556)等国.此外,塔尔塔利亚对测量方法、沉船提升、天气预报、天平平衡、斜面上重物的平衡等问题都有研究,还提出静力学中的一些基本观点,补充了前人的结论.有关论著大部分是在威尼斯出版的.

  塔尔塔利亚培养了许多学生,如GB.贝内代蒂(Benedetti)M.波维亚诺(Poveiano)GA.鲁斯科尼(Rusconi)等,他们在数学、力学等方面继承并发展了塔尔塔利亚的理论,使之在意大利乃至整个欧洲产生广泛影响.