雷格蒙塔努斯

辽宁师范大学 邵明湖

 

  雷格蒙塔努斯,J(Regiomontanus Johannes)143666日生于德国哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)147676日卒于意大利罗马.天文学、数学.

  雷格蒙塔努斯又名J.缪勒(John Müller),关于他的早期生活人们知道的不多,他12岁以前在家中受教育,然后去莱比锡学习.1450414日在维也纳大学注册,开始跟随G.波伊巴赫(Peuerbach)学习天文学。雷格蒙塔努斯于1452116日获得学士学位,这时他才15岁.但由于该大学的规章制度,他直到21岁才得到硕士学位.14571111日,他受聘为维也纳大学教员,从而成为波伊巴赫的学生和同事.在雷格蒙塔努斯的一生中,波伊巴赫对他的影响最大.波伊巴赫曾在意大利讲授数学,之后定居维也纳并使该大学成为当时欧洲数学的中心之一.他写过一本算术书和许多天文学著作,其中大部分直到他去世后才出版.是波伊巴赫最先认识到年轻的雷格蒙塔努斯的天才,他非常欣赏雷格蒙塔努斯对天文学的热爱,并极其认真地教育他.雷格蒙塔努斯从行星理论学起,逐渐掌握了托勒密(Ptolemy)的天文学说.他还试图掌握一切对天文学有用的知识,努力钻研几何学、算术与三角学,为他以后的发展打下了基础.与波伊巴赫的友谊使雷格蒙塔努斯终生受益.

  146055日,神圣罗马教皇的使节C.贝萨里翁(Bessarion)到达维也纳,经过波伊巴赫的介绍,他成为第二个对雷格蒙塔努斯的一生产生重要影响的人物.贝萨里翁不仅是教皇的一位成功的外交家,而且也是一位有造诣的学者,尤其在天文学方面.他的母语是希腊语,又精通拉丁文,他热衷于向使用拉丁文的西方知识界介绍古希腊经典作家的著作,力劝波伊巴赫将托勒密的《天文学大成》(Almagest)缩写成拉丁文出版,使之“更简明易懂”,因为托勒密原著的语言晦涩,思想深奥.当时维也纳大学并不教授希腊语,波伊巴赫也未掌握这门语言,他利用12世纪克雷莫纳的杰拉德(Gerard of Cremona)的拉丁文本勉力译到第6卷便于146148日去世了,临终前他请求雷格蒙塔努斯继续完成这项工作.为了实现波伊巴赫的遗愿,雷格蒙塔努斯开始努力学习希腊语,由于有贝萨里翁的指导,他在较短的时间里便熟悉了这门语言.14611120日他跟随贝萨里翁到达罗马.在这期间他阅读了贝萨里翁提供给他的一些希腊文科学著作.根据记载,1463428日之前雷格蒙塔努斯便完成了《天文学大成》的缩写,名为《概论》(Epitome).他把波伊巴赫和自己合诈完成的这本著作题献给了贝萨里翁,但直到1496831日该著作才得以出版,这已是雷格蒙塔努斯去世后20年了.

  在罗马期间,雷格蒙塔努斯广交学者,尤其是那些熟悉希腊文的人,同时又忙于天文观测,收集珍本图书(包括希腊文和拉丁文的),有很大收获.146375日贝萨里翁作为教皇特使赴威尼斯共和国,雷格蒙塔努斯同行.1464年春天,雷格蒙塔努斯在帕多瓦(当时在威尼斯共和国统治之下)大学演讲,内容是关于9世纪穆斯林科学家法汉尼(alFarghànì)的工作.他在这次演讲中声称自己读过所有拉丁文和希腊文的经典学术著作.146442日的月食之后,他离开帕多瓦赴威尼斯等候贝萨里翁,正是在这里的56月间他完成了《论各种三角形》(De triangulis omnimodis)一书.他将该书题献给贝萨里翁,这是雷格蒙塔努斯最重要的著作,但直到1533年才首次出版.此外,他还在威尼斯撰写了一篇对话,其内容是行星理论.

  1467年,雷格蒙塔努斯接受匈牙利国王的邀请来到布达佩斯,在当时的皇家天文学家M.贝利卡(Martin Bylica of Olkusz)的协助下编制了他的《方位表》(Tables of directions) 1468年,他在布达佩斯计算了一张正弦表(sin90°=107) 1471年,他离开匈牙利来到纽伦堡,在那里建立了一个印刷所以便出版科学著作,从而成为最早出版天文学与数学著作的人之一.可能是14761月第伯河决口之后横扫罗马城的一场瘟疫夺去了雷格蒙塔努斯的生命.对他死因的另一种说法是,因他宣称要纠正乔治(Geroge of Trebizond)天文学著作中的错误,对方怀恨在心,导致乔治之于将他毒死.147676日,雷格蒙塔努斯卒于罗马.

  雷格蒙塔努斯对数学的主要贡献是在三角学方面.他的代表作《论各种三角形》,是第一本使三角学脱离天文学而成为数学的一个独立分支的系统著作.在雷格蒙塔努斯之前,三角学的发展已经历了很长的历程,首先从天文学的研究中产生出球面三角的若干知识,逐渐地发展到平面三角学.公元前1600年的巴比伦人便已具有弦的某些知识,“普林顿322号”(Plimpton 322)泥板的内容便显示了他们对三角形的深刻认识.古埃及人也可能早已发现三角形的不同元素之间具有某种关联.希腊人对天文学和几何学的研究促进了三角学的发展,他们首先认识到有必要建立三角形的边与角之间的精确关系.希帕霍斯(Hipparchus)曾为了天文观测的需要作出一个弦表,门纳劳斯(Menelaus)则给出了三角形的一个基本定理.之后,托勒密在其巨著《天文学大成》中发展了弦表,这些弦表在欧洲一直被广泛采用,直到雷格蒙塔努斯的著作发表之前没有多大改变.三角学的下一步发展是在东方,印度人和阿拉伯人都为之做出了贡献.印度人考虑半弦和圆的半径,这样他们就发现了现代三角学赖以存在的基础.阿拉伯人艾布瓦法(Abul Wefa)首次引入正割和余割;巴塔尼(al-Battānī)为测定太阳的仰角而提出的概念“直阴影”和“反阴影”后来发展成了“余切”和“正切”;纳西尔丁(Nasīr adDin)则指出了平面三角学与球面三角学的差异,开始使三角学脱离天文学.雷格蒙塔努斯在写作《论各种三角形》时,知晓托勒密以及一些印度、阿拉伯数学家的工作.由于他不懂阿拉伯语,他只能阅读已译成拉丁文的一部分著作.他从前人的工作中知道了弦表、正弦律以及余弦律等,从而建立起三角学的统一基础,使之成为一个系统的整体.

  《论各种三角形》产生于天文学研究的需要,早在波伊巴赫和雷格蒙塔努斯写作《概论》的时候,处理平面和球面三角形中边与角的比就是极为迫切的了.在该书献辞的末尾雷格蒙塔努斯表明他将写一本三角学的著作,这便是后来的《论各种三角形》.该书基于欧氏几何,共含5篇.第1篇共57个定理,头一部分(定理119)讨论了量和比,如定理19:“如果四个成比例的量中有三个是已知的,则余下的第四个量也可知道.”这是《几何原本》中已经证明了的.其余部分则给出了直角、等腰及不等边三角形的几何解,其中定理202728中提到或明确使用了正弦函数,如定理27:“当一直角三角形的两条边已知时,(三角形中)所有的角都可求出来.”证明中便明确使用了正弦函数.斜三角形的四种情形的解在定理49505253中分别得到处理.定理49如下:“若一三角形的两条边及其夹角已知,则三角形的其他的边与角皆可求得.”证明中采用从未知角向对边作垂线的方法,将三角形化作两个直角三角形进行求解.在以上四个定理中没有提到正弦函数.三角学知识的系统处理开始于第2篇的定理1,该定理即是一般三角形中的正弦定理,雷格蒙塔努斯利用该定理对定理4和定理5中的斜三角形进行了处理:在一三角形中当两角及一边或两边及一角已知时,则余下的元素都可求得.接下来的许多定理可看作是今天意义上的练习题.在定理1213中,雷格蒙塔努斯提出了求三角形边长的代数解法,其中用到二次方程.数学史家认为雷格蒙塔努斯熟悉切斯特的罗伯特(Robert of Chester)译的阿拉伯数学家花拉子米(al-Khowārizmī)的代数著作.定理26则隐含着三角形面积的三角公式.总之,第2篇的33个定理的内容基本上属于今天解三角形的范畴.第3篇共56个定理,是第4篇的基础,其内容已由平面转移到球面.其中介绍了球被平面所截而产生的许多结果,如定理15:“大圆是由球面上的两点决定的.”定理47:“在球面三角形中,延长其一边时,则外角有时等于其对应的内角,有时大于它,有时甚至小于它.”第4篇的定理1617分别给出了球面直角三角形和斜三角形中的正弦定理.在雷格蒙塔努斯的心目中,三角学是为天文学服务的,所以球面三角学的研究更为重要.该篇定理252627处理了球面直角三角形,如定理25:“一球面三角形中、已知直角和两条边,则可求得其他的边和角.”定理2834则给出了解斜球面三角形的6种情形.第5篇继续解球面三角形,只有15个定理,其中定理2即含有球面三角形的余弦定理,虽然用词与今天不同.用现代符号,它可化为如下形式:

 

  雷格蒙塔努斯早在维也纳学习阿拉伯数学家巴塔尼的《天文学》时就发现了余弦律,他认识到其重要性,最先使之形成实用的定理.

  雷格蒙塔努斯为三角学在平面和球面几何中的应用建立了牢固的基础.他去世后,他的著作手稿在学者中广为传阅,对16世纪的数学家产生了相当大的影响.从J.维尔纳(Werner)GJ.雷蒂库斯(Rheticus)以至N.哥白尼(Copernicus),他们都受到雷格蒙塔努斯直接或间接的影响.

  雷格蒙塔努斯还曾试图将丢番图(Diophantus)的手稿译成拉丁文.在14642月写给意大利数学家G.比安基尼(Bianchini)的一封信中,雷格蒙塔努斯声称自己发现了丢番图的一部不完整的手稿,并说如果自己得到全部手稿,将把它译成拉丁文,“因为我在我最尊敬的大师那里学到的希腊文足以完成这项任务”.他终未得到全部手稿,也没有译出这一部分手稿.然而现代对丢番图的发现就始于雷格蒙塔努斯那部不完整的手稿的发现.

  雷格蒙塔努斯的三角学研究是为天文学服务的.15世纪末,托勒密的成就仍然是天文学思想发展的顶峰.波伊巴赫和雷格蒙塔努斯合作完成的《概论》使人们更易于掌握托勒密的巨著《天文学大成》,然而其作用不仅在于促使人们对过去的知识有更好的理解,更重要的是它对当时的科学发展做出了贡献.《概论》并不局限于对《天文学大成》的翻译,它还添加了后来的观测数据,修正了一些计算并加入一些评论性的文字,其中之一表明托勒密的月球理论所需要的月球的视直径与实际相差甚远,这一段(《概论》第5篇命题22)引起了哥白尼(当时是波伦尼亚大学的学生)的注意.惊异于托勒密天文体系(已经流行了1300多年)的这一错误,哥白尼开始尝试为现代天文学奠定基础,从而摒弃了旧的托勒密体系.

  雷格蒙塔努斯编制了许多天文表.他的《方位表》中包括天体黄经的计算,该表于1490年初版,以后多次再版.在问题10中,他指出应该通过使sin90°等于105而不是6×105(在《论各种三角形》第5卷定理25中使用了这一底数)来摒弃正弦表的60进制特征.在《论各种三角形》中他没有使用正切函数,但在《方位表》中使用了间隔1°直到90°的正切表.他取tg45°=105,是我们现今这类表的典范.1468年,雷格蒙塔努斯在布达佩斯编制了一个正弦表,取sin90°=107.在他认识到10进制的长处之前,他已经准备了一个60进制的正弦表,取sin90°=6×106.这两个表都于1541年初版于纽伦堡,同时出版的还有他的论文《正弦表的制作》(Construction of sine).此外,他还在匈牙利完成一张关于天空每日视旋转的表,并且阐述了它的几何基础.

   雷格蒙塔努斯自己出版了一些科学著作,包括他的《星历表》(Ephemerides)和波伊巴赫的《行星新论》(New theory of theplanets).《星历表》给出了14751506年间每天的天体位置,有趣的是,C.哥伦布(Colombo)在第四次航海探险时随身携带了一份《星历表》,并利用它预示的1504229日的月食吓唬牙买加的土著印第安人,终于使他们屈服.