卡西

辽宁师范大学 梁宗巨

 

  卡西(al-Kāshī,Ghiyāth al-Dīn Jamshīd Mas’ūd) 亦称卡尚尼(al-Kāshānī),生于卡尚(Kāshān,今属伊朗)1429622日卒于撒马尔罕(SamarkandCanMapkaHд,今属乌兹别克).天文学、数学.

  卡西的生年没有确实的记载,他的活动最早见于文献的是140662日,当时他在家乡观测一次月食.卡西是阿拉伯国家中世纪最后的一位著名天文学家和数学家,人们常以他的卒年为这个时代的终结.

  14世纪末叶,中亚细亚的跛子帖木儿(Timur the LameTamburlaine13361405,成吉思汗的后裔)建立了帖木儿帝国,定都撒马尔罕.他的孙子乌鲁伯格(Ulugh Bēg 13941449)是一个科学家,精通天文,而且是科学、艺术的倡导者与保护人,14171420年,他在撒马尔罕创办了一所高级的教授科学(包括天文学)和神学的学校——马德拉撒(madrasa).大约4年之后,又筹建一座三层楼的天文台,招聘一批科学家在那里工作,使撒马尔罕成为东方最重要的科学中心.1447年,乌鲁伯格继承王位成为苏丹,进一步加强学术活动,可惜两年后被刺死,他倡导的事业随之而衰落.

  卡西的科学生涯是和乌鲁伯格息息相关的.他曾是一个医生,但他渴望从事天文与数学的研究.在长期贫困与徬徨之后,终于在撒马尔罕找到一个稳定而又荣耀的职位,即在乌鲁伯格的宫邸协助策划开展科学工作.卡西何时到撒马尔罕已不可考,只知道在1424年他曾和乌鲁伯格讨论过有关天文台的规划.参加讨论的还有卡迪·扎达·鲁米(Qādī zāda al-Rumī)和另一个来自卡尚的穆因丁(Mu'in al-Dīn).有的书将鲁米和卡西混淆了,以为是同一个人.其实卡西是第一任台长,卡西去世后,鲁米继任第二任台长.

  卡西积极参加天文台的修建和仪器的装备,成为乌鲁伯格的得力助手和合作者.在给父亲的一封信中,卡西极务赞扬乌鲁伯格的数学才能,说他有渊博的知识,组织活动能力也很强.卡西还强调当时讨论科学问题的自由空气,没有这种空气,科学的进步是不可能的.

  乌鲁伯格对待学者很宽厚,他谅解卡西对宫廷礼仪的疏忽,以及缺乏良好的生活习惯.在《乌鲁伯格历》(Ulugh Bēg's zīj)的序中,乌鲁伯格提到卡西的死,说“他是一位杰出的科学家,是世界上最出色的学者之一,通晓古代科学,并推动其发展,他能解决最因难的问题”.

  在撒马尔罕期间,卡西的学识已臻成熟,连续完成了他一生中最有价值的著作.14247月写成《圆周论》(Risāla al-muhītīyya,The treatise on the circumference),得到当时世界上最精确的圆周率值.142732日完成《算术之钥》(Miftāh alhisāb , The key of arithmetic),这是一本初等数学的百科全书,题献给乌鲁伯格.上述二书已由苏联的罗森菲尔德(Б.APoэенфельд)等从阿拉伯文译成俄文.另一本《论弦与正弦》(Risāla al-watar wa'l-jaib, The treatise on the chord and sine)给出sin1°的精确值,未记日期,但初稿显然写在《算术之钥》之前,因《算术之钥》的序言中提到它.卡西的另一项任务是参与制定《乌鲁伯格历》,这是一部讨论天文、历法的书,包括星表和数学用表.卡西肯定投入巨大的精力并做出了贡献.不过在他生前只完成开头的理论部分,这部历法在卡西死后很多年才由他的后继者完成.

  圆周率的计算

  圆周率π的研究,在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平.我国祖冲之在公元462年算出π的8位可靠数字:

3.1415926<π<3.1415927

  直到1424年,卡西才打破这个世界记录.

  他所用的方法仍然是求出圆内接与外切正多边形的周长.从正6边形开始,每次边数加倍,这一点和阿基米德、刘徽相同,但计算过程各有特点.

  卡西首先根据欧几里得几何证明一个几何命题,然后导出所需要的计算公式.为简单起见,下面用现代三角法来说明他所用的公式.

  如图,设AB=d=2r是圆的直径,r表半径.ancn是内接于圆的直

又∠BAD=DAC=β.则

cn=dcos2β,

cn+1=dcosβ.

  即

  如已知cn,通过此式即可得cn+1.an可通过勾股定理,由cn算出:

  an是内接正多边形的一边,那么an+1就是边数加倍的内接正多边形的一边.


 

  这样算出一系列的cn(n3·2n),一直算到n=28,即

3·228=805306368

  边,得到

  及

  的值.a28乘以边数3·228,便是圆内接正3·228边形的周长.类似地,可以求出外切正3·228边形的周长.最后取二者的算术平均来作圆周长的近似值,用60进分数表示出来(r=1)

6°16'59"2813451461450

  此处借用60进角度的表示法,6°表示6是整数,后面是60进分数.

  卡西在《圆周论》的第8节中又将此值改写成10进分数(即小数)

6.2831853071795865

  除以直径2,即得圆周率

π=3.14159265358979325

  它有17位准确数字,打破了祖冲之保持了900多年的世界记录.

  1596年,LV.柯伦(Ceulen)用内接及外切正60·233(=515 396 075 520)边形算出小数后20位,才打破了卡西保持一百多年的记录.

  值得注意的是,这里出现了10进小数的记数法.在伊斯兰国家,这不是最早的.5个世纪以前,乌格利迪西(al-Uqlīdisī)已认识到小数的优越性,并在书中使用.不过未被后人所接受(文献[14],p481).最先系统地介绍小数的,一般认为还是卡西.他在另一本重要著作《算术之钥》中进一步阐述小数的理论,指出小数与60进分数互化的方法.

  中国自古以来就用10进记数法,所以小数的应用也很早.刘徽注《九章算术》(公元263),在“少广”章开方术下面的注中就提到小数(虽然未有现代的符号和名称),比西方早千余年.有理由猜想阿拉伯国家的10进小数是中国传过去的(文献[9]p.268)

  sin1°的计算

  卡西在数值计算方面的另一项成果是给出sin1°的精确值,记载在他的《弦与正弦论》一书中.在他之前,艾布瓦发(Abul-Wafā)及伊本尤努斯(Ibn Yūnus)曾研究过这一问题,但结果不够精确.

  11世纪时,伊斯兰数学家已知三等分角问题导致一个三次方程

ax=bx3

  比鲁尼(al-Bīrūnī)曾利用这一类方程近似地作出正九边形,但方法已失传.卡西则创设一种求方程近似根的迭代法.设方程

  有一个很小的根,忽略其3次幂,令第1近似值为

  

  

  卡西的方法,用现代三角的术语来说,是先求出sin 72°,sin60°足够精确的值,再利用sin12°=sin(72°-60°)及半角公式算出sin 3°,根据三倍角公式有

Sin 3°=3 sin1°-4sin31°,

  x=sin1°,则

  

  卡西定半径为60,使用60进记数法.在实际计算中并不是逐个求出x2x3,…而是找到每一个的修正值.最后的结果是

1°2'49"43111444162617

  相当于半径为1时的10进小数

0.017452406437283510

  16位数字都是准确的,最后一位数才出现误差.

  后来卡迪·扎达·鲁米著《论sin 1°的求法》(Risāla filjaybTreatise on the determination of sin1°),阐述卡西的方法.鲁米的孙子米林·切莱比(Mīrīm Chelebi)进一步改进其法,使计算步骤减少,可更快地求出具有要求精确度的近似值.这是中世纪代数方面最突出的成就之一.数学史家H.汉克尔(Hankel18391873)评论道:“其精巧与优美不亚于西方韦达以后的近似计算.”

  《算术之钥》

  《算术之钥》是卡西著作中篇幅最大的,它几乎网罗了当时的全部数学知识,堪称一部初等数学大全.它除了满足一般学生的需要外,对于从事实际工作的读者,如天文学家、测量员、建筑师、商人等也有帮助.其内容包括算术、代数与几何.书名的本身就表明作者把算术看作解决一切问题的钥匙,只要这问题能化作计算.卡西给算术下的定义是:“一种科学,它可以借助已知量去寻求未知量的数值”.此书表达清晰,结构精良,方法实用,故深受读者欢迎,被用作手册传诵数百年之久.

  《算术之钥》共分5卷,内容分别是:卷1,整数的算术;卷2,分数的算术;卷3,天文学家的计算法;卷4,平面与立体图形的度量;卷5,用代数方法及双试位法解题.

  在第1卷中卡西详细介绍了整数开方的一般方法.根的整数部分用类似秦九韶法[西方称鲁菲尼(Ruffini)-霍纳(Horner)]来求得.如果是不尽根,

  分数部分按公式

  求出其近似值.

  在书中卡西没有使用符号和公式,一切计算都是用文字叙述的.在阐明开方法的同时,还作出二项式系数的表,即帕斯卡三角形(或贾宪三角形),写到(a+b)n展开式n=9时的系数.在卡西之前,阿拉伯国家已有不止一个人造过这个三角形,如凯拉吉(alKarajī)、奥马海亚姆(Omar Khayyam)、纳西尔丁(NasīradDīn alTūsī)等.不过都没有留传下来.

  这一卷第5节还举出一个开5次方的实例:求

N=44240899506197

  5次方根.根的整数部分是a=536,以此作第1近似值.第2近似值按下式来计算:

  分母是用二项展开式来算的.最后结果是

  23卷阐述了10进分数(小数),建立了一套和60进制并列的运算法则,两者可以互换.不懂天文学60进制的人也容易掌握小数方法,因此很快传播开来,对伊斯兰国家及欧洲都产生了深远的影响.卡西详细叙述了有限小数,但未涉及循环小数.他创用特殊的小数记号,有时用一竖来分隔整数与小数部分,有时又用不同的颜色来区别.

  4卷是几何学,讨论了各种平面及立体图形的定义、性质及量度方法.

  5卷很重要,它给出一次到四次方程的解法.1112世纪时,奥马海亚姆曾用圆锥曲线去解3次方程.4次方程在卡西之前只是偶然出现过,而卡西则全面地加以分类研究.有时他还用“双试位法”来解.

  1314世纪,中亚细亚地区和中国交往频繁.成吉思汗之孙旭烈兀(Hulagu12191265) 1256年进攻伊朗高原, 1258年占领巴格达,建立伊儿汗国.他从中国带了一些学者到伊朗去,在他的宫廷中和当地的学者一起从事研究工作.在这之前,文化已有零星的交流.因此阿拉伯的天文学家颇知中国的学术.10进记数法、整数的开方、高次方程的数值解法以及贾宪三角形等等都是中国数学的精华.卡西《算术之钥》的许多内容和中国算法如出一辙,受到中国的影响是可以肯定的.当然不排除卡西本人的创造发明.

  天文历法著作

  早在1407年,卡西就写成《天的阶梯》(The stairway of heaven),论述天体的距离与大小.又于1416年写成《观象仪器》(Treatise on observational instruments),介绍了包括浑仪(armillary sphere)在内的8种天文仪器的沟造,其中有些是卡西的独创.他还修订了纳西尔丁领导下制定的《伊儿汗历》(Ilkhānī Zīj),写成《修正的伊儿汗历》(Khāqānī Zīj).在绪论中,他详细描述了平均月球运动及近点月(anomalistic)运动,这是以他三次在卡尚的月食观测以及在托勒密《天文学大成》中的三次月食记载为依据的.这本历法罗列了各种历法:伊斯兰教的阴历,波斯的阳历,希腊-叙利亚历,奥马海亚姆改良的阳历,中国-维吾尔历,最后是伊儿汗历.书中载有60进每隔l′的4位正弦和正切表.还有黄道坐标与赤道坐标互化的表,以及有关日、月、行星、恒星的好几种表.地理方面,给出516个点的经纬度.

  卡西还发明一种“天象盘”(plate of heavens),形状像“星盘”(astrolabe),可以确定行星的黄经、黄纬、留(station)、逆行(retrogradation)以及到地球的距离等,记在《天象盘构造方法》(Nuzha alhadāiq…,On the method of construction of theinstrument called plate of heavens1416)中.