奥雷姆

 

辽宁师范大字 梁宗巨

 

  奥雷姆,N(OresmeNicole)1320年生于法国-卡昂(Caen)附近;1382711日卒于法国利雪(Lisieux).数学、自然哲学.

  奥雷姆的祖先是诺曼底人(Norman 10世纪定居在法国塞纳河口的诺曼人).他早年可能就学于巴黎大学的著名学者J.比里当(Buridan),受其思想影响颇深.1348年以后在纳瓦拉学院(Callée de Navarre)学神学,135551356年取得神学硕士学位.奥雷姆曾在学院管理财务,后来成为学院的主要负责人,直到136112月辞职.

  他和当时的皇太子[1364年继承其父约翰二世(John )成为法国国王查理五世(Charles V13641380年在位)]有交往.1356年,约翰二世被英军俘虏,皇太子摄政.1359年奥雷姆曾以国王秘书的身分签署文件.1360年被委派到鲁昂(Rouen)去为太子商谈一笔贷款.1361年奥雷姆被任命为巴约(Bayeux)的副主教,但没有赴任.13621123日又被任命为鲁昂的牧师,1363210日改任巴黎的圣沙佩勒(SainteChapelle)的牧师.一年后(1364318)升任鲁昂总教堂教长.他居此要职直到1377年成为利雪的主教.不过他在1380年以前并未定居在利雪,而是奔波于鲁昂与巴黎之间.

  中世纪的学者多半是神职人员,他们有充分的闲暇来研究学问,生活有保障,又有更多的机会接触各种典籍文献.奥雷姆就是典型的代表.他还有一个优越的条件,即得到国王的支持.

  查理五世于1364年即位,他十分重视学术研究,关心为政府服务的学者.奥雷姆受他委托,从1369年起,把亚里士多德(Aristotle)的多种著作由拉丁文译为法文,其中有《伦理学》(Lelivre de ethiques dAristote 1372)、《政治学》 (Le livre depolitique dAristote1374)、《经济学》(Livre de economiquedAristote)等.后世对于这些译本评价很高,认为对法国语言文字的发展作出了重要贡献.

  奥雷姆一生的著作在30种以上,不过大部还是手稿,其中一部分直到近、现代才刊行于世.从这些作品可以看到,他是一个颇有辨别力的经院哲学家,常针对当时流行的学说进行论争,和一些神学家、占星术家及说教者对立.

  在数学方面,奥雷姆有两项突破性的工作,一是为解析几何的创立开辟了道路;二是引入非正整指数幂的概念.

  解析几何的先驱

  解析几何建立于17世纪,但其中包含的思想则由来已久.它的发展大致经过三个步骤:(1)发明坐标制,用两个数确定点的位置;(2)认识几何与代数(或形与数)的对应关系;(3)作出函数yf(x)的图形.

  第一步起源很早,古代的天文学家如中国的石申、希腊的希帕霍斯(Hipparchus)用经纬度表示恒星在天球上的位置,就是一种坐标制.坐标思想甚至还可以上溯到古埃及人划分地面区域的办法(文献[9],Vol2p316).阿波罗尼奥斯(Apollonius)在《圆锥曲线论》中更进一步引入了一种斜角坐标系.

  数与形互相渗透也是古已有之.毕达哥拉斯(Pythagoras)早就注意到两者的结合.欧几里得(Euclid)的几何代数学(用几何的方法论述代数问题)是众所周知的.中世纪的L.斐波那契(Fibonacci)也曾在《实用几何》(Practica geometriae1220)中用代数方法去解几何问题.

  奥雷姆的贡献在于向第三步过渡.他的思想已接触到在直角坐标系中用曲线表示函数的图象,不过只着重讨论了匀加速度物体的运动.

  1314世纪,亚里士多德的学说盛行于欧洲,但其谬误也渐为人们所察觉.14世纪40年代前后,英国牛津大学默顿学院(Merton College)有一批逻辑及自然哲学家力图建立正确的理论.其中有T.布雷德沃丁(Bradwardine,英国基督教会中心坎特伯雷的大主教)R.斯温内谢德(Swineshead)等.他们研究“形态的幅度” (latitude of forms),相当于现在所说的“质的强度”(intensity of qualities).所谓“质”,指的是具有某种强度(在物体的某一点上或在某一时刻)的性质,如热、密度、速度等.他们考察物体从某一点到另一点或从某一时刻到另一时刻的质的强度变化.这种变化可能是均匀的,也可能是非均匀的.

  他们已得到一些结果,如具有匀加速度的运动物体在给定时间t内所经过的路程,S等于用同样时间以平均速度所经过的路程.平均速度就是初速v0与末速vt的算术平均值,也就是时间中点的速度,即

  这一公式被称为“默顿法则”(文献[7],P.88,译本P118)

  奥雷姆深知这些结果.他在13501360年间先后写了好几种著作,阐述他的观点.如《形态的幅度》(Tractatus de latitudi-nibus formarum)、《均匀与非均匀强度》(Tractatus de unifor-mitate et difformitate intensionum)、《质量与运动的构型》(Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum)等.

  他的中心思想是用图形来表示一个可变量的值,这个量依赖于另一个量.这可说是函数概念及函数图示法的萌芽.他详细分析了匀加速运动,用一条水平直线(相当于现在的横坐标轴)表示时间(即时间坐标),直线上每一点代表一个时刻.每一个时刻对应着一个速度,该速度可用一条垂直于此点的线段来代表,其长度正比于速度的大小.用线段表示一种量是依照希腊人的习惯,速度随着时间均匀地增大,因此线段的长度也均匀地增长,它的端点就构成一条直线.这直线和水平直线,再加上表示初速、末速的线段围成一个梯形.如初速为0,则形成一个三角形OtA(如图).

  奥雷姆指出,三角形的面积等于物体在时间t内经过的路程.在时间中点M处的速度是末速度之半,即平均速度,三角形面积就等于以同样的时间t为底,以平均速度为高的矩形面积.这个结论和默顿法则是一致的,也可以说是默顿法则的一个几何说明.猜想他已有粗浅的积分思想,否则就很难理解他实际已使用了瞬时速度这个概念.

  试将[0t]用分点

0t1t2<…tk-1tk<··<t3=t

  等分为n个子区间.取出一个甚小的时间段Δt=tk-tk-1来看,它所对应的细长梯形的上、下底vk-1vk 差不多相等,每一个都可以作为平均速度,再乘以Δt就得到梯形面积Sk的近似值.所有这些Sk的总和等于三角形面积,也就是物体走过的全程.奥雷姆并没有明显地表达上面的推理,但可能是他的思路.

  他当时是错用地理经纬度的术语来叙述图示法的.经度(longitudines)相当于现在的横坐标,纬度(latitudines)相当于纵坐标(前面意译为幅度),垂直线段顶点所形成的直线称为“顶点直线”(linea summitatis),相当于函数的曲线.可见坐标思想直接来自经伟度.

  奥雷姆的学说在欧洲产生了广泛的影响,它不但启发笛卡儿在此基础上创立了解析几何,还给伽利略的力学研究提供了线索.伽利略注意到根据奥雷姆关于匀加速度的图解可以推出“奇数定律”(law of odd numbers),从而得到他的著名匀加速度运动公式.

  同前面一样,用分点将时间段[0t]等分为n个子区间,每个子区

  于速度随时间而均匀增长,故速度v正比于t,即v=At(A是常数).又tk=k.△tvk=Atk=Akt,同样,vk-1=A(k-1)t,于是

  

  这就是“奇数定律”.注意到从1起连续n个奇数的和等于n2,即得三角形面积(路程)

  这正是伽利略的公式.

  奥雷姆也曾讨论过非均匀变化的情形,例如图象不是直线而是一个半圆.若改变比例系数,图象便是半圆的拉长或压缩,不过他并不知道这是椭圆.他还把“形态幅度”的思想推广到三维甚至四维的情形.考虑一个平面区域,在其上每一点都竖立一根垂直线段以表示某种形态的幅度,于是线段端点和平面构成一个立体.他的着眼点是立体而不是端点形成的曲面,因此和二元函数图象的概念是有差距的.他还进一步推广到三元函数的情形,不过当时欧洲的数学水平尚未具备发展这种新思想的条件(文献[8],p49)

  其他贡献

  奥雷姆另一项突破性的贡献是引入非正整指数的概念及符号.分指数的概念在布雷德沃丁的书中已见端倪.他讨论力(F)、阻力(R)与速度(v)间的关系时曾给出指数式(1328)

  奥雷姆以此为出发点加以发挥,在《比例的比例》(De proportionibus Proportionum,约1360)中给出指数的运算规律,相当于现在的

xm·xn=xm+n(xm)n=xmn

   其中mn可以是分数.在另一本书《比例算法》(Algorismusproportionum)中更创设分指数的符号.把

  他也把

  在无穷级数方面,他已注意到敛散性的问题.并求出若干无穷级数的和.如

等.

  除了数学之外,奥雷姆在别的领域也有不少论著.他的《占卜书》(Livre de divinacions)是为反对巫术和占星术而作.天文学方面,他在《球论》(Traité de la sphère)和《天空与世界认》(Livredu ciel et du monde)中阐发了他自己的宇宙观.他不接受亚里士多德的静止地球位于宇宙中心的学说,认为地球是动的,但未提出绕日的观点.

  奥雷姆曾从事财务管理及造币工作,写成《货币制度》(De moneta,约1360年写成,1484年出版)一书.查理五世改革他的财政制度,就是以奥雷姆的理论为依据的.因此他又被称为中世纪最大的经济学家.

  总之,奥雷姆在多方面特别是数学方面有许多创新,在中世纪的欧洲产生了深远的影响.