杨辉

中国科学院科学出版社 孔国平

 

  杨辉 字谦光.南宋钱塘(今杭州)人.生卒年不详,生活于13世纪.数学.

  杨辉曾做过地方官.足迹遍及钱塘、台州(今浙江临海)、苏州等地.与他同时代的陈几先称赞他“以廉饬己,以儒饰吏”.杨辉特别注意社会上有关数学的问题,多年从事数学研究和教学工作,是东南一带有名的数学家和数学教育家.他走到哪里都有人请教数学问题.从1261年到1275年的15年中,他先后完成数学著作521卷,即《详解九章算法》12(1261),《日用算法》2(1262),《乘除通变本末》3(1274),《田亩比类乘除捷法》2(1275)和《续古摘奇算法》2(1275)(其中《详解》和《日用算法》已非完书).后三种合称为《杨辉算法》.

  关于这五部书的编著过程,杨辉写道:“《九章》为算经之首,辉所以尊尚此书,留意详解.或者有云:无启蒙之术,初学病之,又以乘除加减为法,秤斗尺田为问,目之曰《日用算法》,而学者粗知加减归倍之法,而不知变通之用,遂易代乘代除之术,增续新条,目之曰《乘除通变本末》,及见中山刘先生益撰《议古根源》,演段锁积,有超古入神之妙,其可不为发扬,以俾后学,遂集为《田亩算法》.通前共刊四集,自谓斯愿满矣.一日忽有刘碧涧、丘虚谷携诸家算法奇题及旧刊遗忘之文,求成为集,愿助工板刊行.遂添摭诸家奇题与夫缮本及可以续古法草总为一集,目之曰《续古摘奇算法》.”(《续古摘奇算法》序)

  以上《乘除通变本末》3卷,上卷叫《算法通变本末》,中卷叫《乘除通变算宝》,下卷叫《法算取用本末》,下卷是与史仲荣合撰的.

  杨辉数学著作的特点是深入浅出、图文并茂,很适于教学,而且有不少创新.另外,杨辉的书中还记录了一些古代有价值的数学成果,如贾宪的增乘开方法和开方作法本源图载于《详解九章算法》的《纂类》,刘益的正负开方术载于《田亩比类乘除捷法》.杨辉自己的成就,主要表现在以下各方面.

  1.垛积术

  杨辉的垛积术,是在沈括像积术的基础上发展起来的,置于《详解九章算法》的商功章.他研究了垛积与各类多面体体积的联系,由多面体体积公式导出相应的垛积术公式.例如方亭(正四棱台)体积为

  其中a为上底边长,b为下底边长.

  若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛,上底由a×a个球组成,以下各层的长、宽依次各增加1个球,共有n层,最下层(即下底)b×b个球组成,杨辉给出求方垛中物体总个数的公式如下:

  比较一下上面两式就会发现,后者与前者的区别在于小括号内多了

阶等差级数求和公式,即

a2+(a+1)2+(a2)2++(b-1)2+b2

 

  杨辉垛积术中属于级数求和的共有四个,其余三个是

  

   

  a·b(a1)(b1)+(a2)(b2)++(c-1)(d-1)c·d

  

  除了(4)式与沈括隙积术公式相同外,其他公式均为杨辉独立推出.

  2.捷算法与素数

  杨辉致力于捷算法的研究,并取得一些成就.例如,《算法通变本末》中记载着一种叫“重乘”的算法,即把乘数分解为若干因数之积的形式,然后用因数去乘.杨辉说:“乘位繁者,约为二段,作二次乘之,庶几位简而易乘,自可无误也.”例如38367×23121,杨辉便把23121分解为9×7×367,然后再乘38367

  由于捷算法的需要,杨辉注意到一个整数是合数还是素数的问题.他说:“置价钱(23121)为法,约之.先以九约,又以七约,乃见三百六十七,更不可约也.”所谓不可约,就是说除了1和本身外没有其他约数.显然,杨辉的“不可约”之数即素数.他在这里首次提出素数概念,又在《法算取用本末》中列出了从201300的素数表,共16个:

211223227229233239241251

257263269271277281283293

  这实际是201300的全部素数.虽然杨辉对素数的研究远在欧几里得之后,理论上也不够完整,但他在没有外来影响的情况下注意到这一重要问题,其思想之深刻是值得称道的.

  “求一乘”和“求一除”也是捷算法,是用加减代乘除,通过折、倍等方法来实现的,“求一”就是变首位为1的意思.例如237×56

  

在运算方面,杨辉特别重视乘法,他说:“夫习算者,以乘法为主.”(《详解九章算法》)认为“乘除者,本勾深致远之法”,“因法不独能乘,而亦能除”(《算法通变本末》).例如

2746÷25=27.46×4=109.84

  这种以乘代除的方法不仅施于精确计算,也用于近似计算.例如

2746÷1111=0.2746×9=2.4714

  《田亩比类乘除捷法》中的一些题列出了不同的方法,这些方法有繁有简,杨辉的意图就在于比较优劣,提倡捷法.

  3.纵横图

  纵横图是按一定规律排列的数表,也称幻方.一般是nn列,各行各列的数字之和相等,纵横图有几行,就称为几阶.我国最早的纵横图,当推汉代“九宫图”(1).宋代理学家们把它与《周易》中的“河出图,洛出书,圣人则之”联系起来,认为九宫图即天生的神物——洛书,是伏羲画八卦的依据,从而为这些有规律的数字蒙上了一层神秘色彩.

  就在这种数字神秘主义气氛笼罩社会的时候,杨辉却在孜孜不倦地探索纵横图的构成规律。他以自己的研究成果,否定了纵横图的神秘性.《续古摘奇算法》上卷的大量纵横图表明,这种图形是有规律可循的.

  杨辉首先给出三阶和四阶纵横图的构造方法:“易换术曰,以十六子依次第作四行排列,先以外四角对换……后以内四角对换.”这便是构造四阶纵横图的一种方法(2).在“总术”中,杨辉给出构造四阶纵横图的一般方法.第一步是“求积”,即求出每行或每列的数字之和应为多少.杨辉把前16个自然数当作一个等

  差数列,用求和公式

  求得S136,进而求得每行之数34.第二步是“求等”,即设法使每行、每列的数字之和等于34.“求等术曰:以子数分两行

  一 二 三 四 五 六 七 八

  九 十 十一 十二 十三 十四 十五 十六

  而二子皆等(十七),又分为四行,而横行先等(三十四),乃不易之数.却以此编排直行之数,使皆如元求一行之积(三十四)而止.”依此术,杨辉构造数字方阵如图3,然后再“编排直行之数”.杨辉说:“绳墨既定,则不患数之不及也.”意思是掌握了规律,就不难作出纵横图.

  四阶以上纵横图,杨辉只画出图形而未留下作法.但他所画的五阶、六阶乃至十阶纵横图全都准确无误,可见他已经掌握了高阶纵横图的构成规律,他的十阶纵横图叫百子图(4),各行各列的数字之和均为505

  杨辉的纵横图对后世深有影响,明代程大位、清代方中通、张潮、保其寿等,都曾在此基础上进一步研究纵横图.

  4.一条重要的面积定理

  在《详解九章算法》及《续古摘奇算法》中,杨辉讨论了勾股容方问题,并在后书中给出如下定理:

  “直田之长名股,其阔名勾,于两隅角斜界一线,其名弦.弦之内外分二勾股,其一勾中容横,其一股中容直,二积之数皆同.”

  5中,横指BE,直指DE,推测其证明思路如下:

  因为

ABC=△CDA(指面积相等,下同)

  又因为

AIE=EHA

EFC=CGE

  所以

  ABC-AIE-EFC

  =CDA-EHA-CGE

  BE=DE

  此定理反映了我国传统几何的一条重要原理——出入相补.实际上,△AIE可以移置△EHA处,△EFC也可以移置△CGE处,所以等积.这种思想在刘徽《海岛算经》及赵爽“日高术”中已反映出来.但首次表达成定理形式的是杨辉.该定理在平面几何中有广泛的应用.实际上,《海岛算经》中的各种测量公式都可由它推出.

  5.因法推类

  在《详解九章算法》的《纂类》中,杨辉提出“因法推类”的原则.正如郁松年所说,《纂类》以“算法为纲”,“以类相从”.这种思想与《九章算术》相比是一个进步,因为《九章算术》的分类标准并不一致,有的按用途分,有的按算法分.杨辉则突破了原书的分类格局,按算法的不同,将书中所有题目分为乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类.每一大类中,由总的算法演绎出不同的具体方法,并给出相应的习题.例如,“方程”类便依次给出方程、损益、分子、正负四法,“方程法曰:所求率互乘邻行,以少减多,再求减损,钱为实,物为法,实如法而一.”这是解线性方程组的基本方法.此法后的11题全是基本类型,可直接列出最简方程组.“损益”指的是移项及合并同类项,分子术指去分母的方法,正负术指方程变换时所用的正负数运算法则,各法后分别列有相应的具体题目.这种作法体现了由干生枝的演绎思想,方程法是干,损益、分子、正负三法是枝.再如“勾股类”,共设38问,分别置于21种方法之后,而第一种方法——勾股求弦法(即“勾股各自乘,并而开方除之”)是后面各法的基础.这种顺序也体现了演绎思想.

  6.数学教育和普及工作

  杨辉十分重视数学普及工作,他的数学书一般都是由浅入深的.《详解九章算法》便是为普及《九章算术》中的数学知识而作.他从原书246题中选择了80道有代表性的题目,进行详解.由于初学者感到《九章算术》“题问颇隐,法理难明,不得其门而入”,杨辉便“恐问隐而添题解,见法隐而续释注,刊大小字以明法草,僭比类题以通俗务,凡题法解白不明者别图而验之.”题解即提示算法要点或解释数学名词;比类是原有方法的类推,例如“商功”章,在圆亭(圆台)解法之后便给出一道圆窖题:“圆窖上周三丈,下周二丈,深一丈,问积.”书中的图形很多,不仅有数学图,还有写生图,如“勾股章”的葭出水图、圆材埋壁图、方邑图等,都很精美,为《详解》增色不少.这些图在帮助读者理解题意的同时,也有利于引起读者兴趣.

  为普及日常所用的数学知识,杨辉专门写了《日用算法》一书,并提出“用法必载源流”和“命题须责实有”两条原则.书中的题目全部取自社会生活,多为简单的商业问题,也有土地丈量、建筑和手工业问题.这种应用数学是便于普通读者接受,也便于发挥社会效益的.杨辉还在该书的序言中提到“编诗括十三首”,这些诗歌显然是为读者自学数学而编的,可惜都已失传.但在《乘除通变算宝》中存有“求一乘”和“求一除”诗各一首,前者为

五六七八九,倍之数不走,

二三须当半,遇四两折扭.

倍折本从法,实即反其有,

用加以代乘,斯数足可守.

  这种诗歌简练生动,朗朗上口,便于读者记诵.另外,杨辉书中还有许多乘除法歌诀,也是有助于读者熟记有关算法的.

  杨辉不仅总结了当时的各种数学知识,还批评了以往数学著作中的一些错误,这种作法在杨辉以前的算书中很少见.例如,他在《田亩比类乘除捷法》一书中便批评了《五曹算经》中的三个错误,一是在田亩计算中用方五斜七之法(即把正方形边长与对角线之比取作57),二是题问概念不清,三是四不等田求法之误.

   在数学教育方面,杨辉总结了自己多年的经验,写了一份相当完整的教学计划——“习算纲目”(《算法通变本末》),具体给出各部分知识的学习方法、时间及参考书.他主张循序渐进,精讲多练,特别强调要明算理,要“讨论用法之源”.例如,他讲减法时不只讲算法,而且指明:“加法乃生数也,减法乃去数也,有加则有减.凡学减,必以加法题考之,庶知其源.”针对教师和学生两种不同的对象,杨辉又提出“法将题问”和“随题用法”两条不同原则.教师编书或讲课时,应“法将题问”,“凡欲见明一法,必设一题”(《法算取用本末》),就是以算法统帅习题,每种算法都设有相应的题目.而对学生来说,则应“随题用法”,即根据具体题目来选择相应的算法.他说:“随题用法者捷,以法就题者拙.“(《乘除通变算宝》)