李冶

中国科学院科学出版社 孔国平

  李冶 字仁卿,号敬斋.真定府栾城(今河北栾城)人.金明昌三年(1192)生于大兴(今北京大兴);元至元十六年(1279)卒于河北元氏.数学.

  李冶的父亲李遹是位博学多才的学者,曾在大兴府尹胡沙虎手下任推官,母亲姓王.李冶有两个同父异母的弟兄,兄名澈,刘氏所生;弟名滋,崔氏所生;还有两个同胞姐妹.李冶原名治,后来发现与唐高宗相同,于是减去一点,改为冶.

  李冶出生的时候,金朝正由盛而衰.章宗即位(1190)后,官僚政治日趋腐败.由于管理不善,酿成了连年水灾.再加上对外战争及任意挥霍,金朝出现了财政危机,于是滥发纸币,致使物价飞涨,国虚民穷.泰和八年(1208),金章宗病死,卫绍王允济即皇帝位.这时蒙古军队加紧向金朝进攻,腐朽的金朝内已潜伏着亡国的危机.李遹的上司胡沙虎是一个深得朝廷宠信的奸臣,“声势炎炎,人莫敢仰视”,动辄打骂同僚,欺压百姓,甚至“虐杀不辜”.李遹见他无恶不作,常常据理力争,置个人生死祸福于度外.只因为官谨慎,才免遭毒手.李遹为了防备不测,便把老小送回故乡栾城.这时李冶正是童年,他没有随家人回乡而独自到栾城的邻县元氏求学去了.至宁元年(1213),由于胡沙虎篡权乱政,李遹被迫辞职,隐居阳翟(今河南禹县),从此不再过问政事.他吟诗作画,在当地颇有名声.

  父亲的正直为人及好学精神对李冶深有影响.在李冶看来,学问比财富更可贵.他说:“积财千万,不如薄技在身”,又说:“金璧虽重宝,费用难贮蓄.学问藏之身,身在即有余.”他在青少年时期,对文学、史学、数学、经学都感兴趣,曾与好友元好问外出求学,拜文学家赵秉文、杨云翼为师,不久便名声大振.正大七年(1230),李冶赴洛阳应试,被录取为词赋科进土,时人称赞他“经为通儒,文为名家”.同年得高陵(今陕西高陵)主簿官职,但蒙古窝阔台军已攻入陕西,所以没有上任.接着又被调往阳翟附近的钧州(今河南禹县)任知事.开兴元年(1232)正月,蒙古军队攻破钧州.李冶不愿投降,只好换上平民服装,北渡黄河,走上了漫长而艰苦的流亡之路.这是他一生的重要转折点,将近50年的学术生涯便由此开始了.

  李冶北渡后流落于山西的忻县、崞县之间,过着“饥寒不能自存”的生活.一年以后(1233),汴京(今河南开封)陷落,元好问也弃官出京,到山西避难.1234年初,金朝终于为蒙古所灭,李冶与元好问都感到政事已无可为,于是潜心学问.李冶经过一段时间的颠沛流离之后,定居于崞县的桐川.这时,他已年过40了.金朝的灭亡使他不再为官,他虽然生活艰苦,但有充分的时间进行学术研究.他的研究工作涉及数学、文学、历史、天文、哲学、医学.与李冶同时代的砚坚说他“世间书凡所经见,靡不洞究,至于薄物细故,亦不遗焉”.但他认为“数术虽居六艺之末,而施之人事,则最为切务”,于是把主要精力用于数学.他于1248年写成代数名著——《测圆海镜》12卷.后来到太原住了一个时期,藩府官员曾请他出仕,但他谢绝了.后来,他又流落到平定,平定侯聂硅很尊重他,把他接到自己的帅府来住.他却“私心眷眷于旧游之地”,怀念着少年求学时的元氏.1251年,李冶的经济情况已经好转,他终于结束了在山西的避难生活,回元氏定居.他在封龙山下买了一点田产,以维持生活,并开始收徒讲学,从事数学教育活动.

  李冶的学生越来越多,家里逐渐容纳不下了,于是师生共同努力,在北宋李遹读书堂故基上建起封龙书院.李冶在书院不仅讲数学,也讲文学和其他知识.他呕心沥血,培养出大批人才,并常在工作之余与元好问、张德辉一起游封龙山,被称为“龙山三老”.1257年,忽必烈召见金朝遗老窦默、姚枢、李俊民等多人,又派董文用专程去请李冶,说:“素闻仁卿学优才赡,潜德不耀,久欲一见,其勿他辞.”是年五月,李冶在开平(今内蒙古正蓝旗)见忽必烈,陈述了自己的政治见解:“为治之道,不过立法度、正纪纲而已.纪纲者,上下相维持;法度者,赏罚示惩劝.”在谈到人才问题时,他说:“天下未尝乏材,求则得之,舍则失之,理势然耳.”最后,他向忽必烈提出“辨奸邪、去女谒、屏馋慝、减刑罚、止征伐”五条政治建议,得到忽必烈的赞赏.

  李冶会见忽必烈之后,回封龙山继续讲学著书,于1259年写成另一部数学著作——《益古演段》.1260年,忽必烈即皇帝位,是为元世祖.第二年七月建翰林国史院于开平,聘请李冶担任清高而显要的工作——翰林学士知制诰同修国史.但李冶却以老病为辞,婉言谢绝了.从时代背景及李冶思想分析,他拒绝应聘的原因有二.第一,蒙古统治者没有接受李冶“止征伐”的建议,而是大举攻宋,从而引起李冶不满;第二,忽必烈初登帝位,其弟阿里不哥不服,起兵反抗,蒙古统治区陷入连年内战.李冶是不愿在这种动荡的局势下作官的.他说:“世道相违,则君子隐而不仕.”

  忽必烈降服阿里不哥、平定蒙古内乱后,再召李冶为翰林学士知制诰同修国史.李冶于至元二年(1265)来到燕京(今北京),勉强就职,参加修史工作.但他不久便感到翰林院里思想不自由,处处都要秉承统治者的旨意而不能畅所欲言.因此,他在这里工作一年之后便以老病辞职了.李冶是个追求思想自由的人,尤其不愿在学术上唯命是从.他说:“翰林视草,唯天子命之;史馆秉笔,以宰相监之.特书佐之流,有司之事,非作者所敢自专而非非是是也.今者犹以翰林、史馆为高选,是工谀誉而善缘饰者为高选也.吾恐识者羞之.”

  李冶辞职后一直在封龙山下讲学著书.他在晚年完成的《敬斋古今黈(tǒu)》与《泛说》是两部内容丰富的著作.《泛说》一书今已不存,据《元朝名臣事略》中的几段引文及书名来看,这是一本随感录,记录李冶对各种事物的见解.《敬斋古今黈》则是一本读书笔记,“上下千古,博极群书”,在文史方面颇有独到见解.另外,李冶作过不少诗,其中有五首保存在《元诗选癸集》中.从这些诗来看,李冶的文学造诣相当深.李冶还著有《文集》40卷与《璧书丛削》12卷,均已失传.

  李冶一生著作虽多,但他最得意的还是《测圆海镜》.他在弥留之际对儿子克修说:“吾平生著述,死后可尽燔去.独《测圆海镜》一书,虽九九小数,吾常精思致力焉,后世必有知者.庶可布广垂永乎?”

  李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的.这时天元术虽已产生,但还不成熟,就像一棵小树一样,需要人精心培植.李冶用自己的辛勤劳动,使它成长为一棵枝叶繁茂的大树.

  天元术是一种用数学符号列方程的方法,“立天元一为某某”与今“设x为某某”是一致的.在中国,列方程的思想可追溯到《九章算术》,书中用文字叙述的方法建立了二次方程,但没有明确的未知数概念.到唐代,王孝通已能列出三次方程,但他不懂天元术,完全用几何方法推导方程,所以需要高度技巧,不易被一般人掌握.实际上,宋代以前的方程理论一直受几何思维束缚,如常数项只能为正,因为常数通常是表示面积、体积等几何量的;方程次数不高于三次,因为高于三次的方程就难于找到几何解释了.经过北宋贾宪、刘益等人的工作,求高次方程正根的问题被基本解决.随着数学问题的日益复杂,迫切需要一种一般的、能建立任意次方程的方法,天元术便应运而生了.但在李冶之前,天元术还比较幼稚,记号混乱,演算烦琐.从稍早于《测圆海镜》的《钤经》(石信道撰)来看,天元术的作用十分有限,因为数学家们的思维方式基本上是几何的,只是在用几何方法无法计算时,才偶尔用一下天元术.李冶致力于创造一种简便的、适用于各种问题的列方程方法,他认识到,只有摆脱几何思维束缚,建立一套不依赖于具体问题的固定程序,才能实现上述目的.在洞渊、石信道等天元术先驱的工作基础上,他终于总结出一套简单明确的列方程程序:首先立天元一,这相当于设未知数x;然后寻找两个等值的而且至少有一个含天元的多项式;最后把两个等值多项式联为方程,通过“相消”,化成标准形式

anxn+an-1xn-1++a0=0

  李冶的《测圆海镜》便是天元术的代表作.该书把勾股容圆(切圆)问题作为一个系统来研究,讨论了在各种条件下用天元术求圆径的问题.卷一的圆城图式是全书出发点,书中170题都和这一图式有关.为了叙述方便,我们在各勾股形直角顶点处标上数字(1).卷一的另一部分“识别杂记”阐明了各勾股形边长之间的关系及其与圆径的关系.识别杂记共600余条,每条可看作一个定理(或公式),其中最重要的是下面十个圆径公式:(D表直径,r表半径,abc表勾、股、弦)

 

  (5)r2=b2×b15(6)r2=a14×a3

  (7)D2=b4×a5(8)r2=b7×a8

  (9)r2=(c14+b14)(c15+a15)

  (10)r2=(c14+a14)(c15+b15)

  卷二及以后各卷都是算题.下面以卷四第六问为例,说明李冶怎样用天元术解题.左边是原文,右边是译文.(原草为一整段,这里为叙述方便,分成若干段.)

  

  

  由于摆脱了几何思维束缚,李冶在方程理论上取得许多进展:

  第一,改变了传统的把实(常数项)看作正数的观念,常数项可正可负,而不再拘泥于它的几何意义.例如,卷六第四问所得方程为

-x2-72x+23040=0

  第七问所得方程为

-x2+640x-96000=0

  两题常数项的符号恰好相反.实际上,《测圆海镜》中方程各项的符号均无限制,这是代数学的一个进步.

  第二,李冶已能利用天元术熟练地列出高次方程.书中170题,有19题列出三次方程,13题列出四次方程,还有一题列出六次方程.在李冶这里,未知数已具有纯代数意义,二次方并非代表面积,三次方也并非代表体积.

  第三,李冶完整解决了分式方程问题,他已懂得用方程两边同乘一个整式的方法化分式方程为整式方程.

  第四,李冶已懂得用纯代数方法降低方程次数.当方程各项含有公因子xn(n为正整数)时,李冶便令次数最低的项为实,其他各项均降低这一次数.这一作法相当于用xn去除方程各项.

  在《测圆海镜》中,李冶采用了从○到九的完整数码.除○以外的九个数码古已有之,是筹式的反映.但筹式中遇○空位,没有符号○.从现存古算书来看,李冶《测圆海镜》与秦九韶《数书九章》是最早使用○的两本算书,它们成书的时间相差不过一年.另外,李冶还发明了负号和一套相当简明的小数记法.李冶的负号与现在不同,是画在数字上的一条斜线,通常画在最后一位有效数字上,如-175记作|-360记作○.在李冶之前,小数记法多用数名,如 7.59875尺记作七尺五寸九分八厘七毫五丝.李冶则取消数名,完全用数码表示小数,纯小数于个位处写○,带小数于个位数下写单位,如0.25记作○=5.76记作.这种记法在当时算是最先进的.西方直到16世纪,小数记法还很笨重.例如比利时数学家S.斯蒂文(Stevin)1585年发表的著作中,把每位小数都写上位数,加上圆圈,如27.847写作27847③,这种记法显然不如李冶的记法简便.直到17世纪,J.纳皮尔(Napier)发明小数点后,小数才有了更好的记法.至于负号,在国外是德国人于15世纪首先引入的.

  由于李冶掌握了一套完整的数字符号及性质符号,他的方程已能用符号表示,从而改变了用文字描述方程的旧面貌.但这时仍缺少运算符号,尤其是缺少等号.这样的代数,可称为“半符号代数”,它是近代符号代数的前身.大约300年后,类似的半符号代数也在欧洲产生了.

  《测圆海镜》不仅是我国现存最早的一部天元术著作,而且在体例上也有创新.全书基本上是一个演绎体系,卷一包含了解题所需的定义、定理、公式,后面各卷问题的解法均可在此基础上以天元术为工具推导出来.李冶之前的算书,一般采取问题集的形式,各章()内容大体上平列.李冶以演绎法著书,这是中国数学史上的一个进步.

  《测圆海镜》的成书标志着天元术成熟,对后世有深远影响.元代王恂、郭守敬在编《授时历》的过程中,曾用天元术求周天弧度.不久,沙克什用天元术解决水利工程中的问题,收到良好效果.元代大数学家朱世杰说:“以天元演之、明源活法,省功数倍.”清代阮元说:“立天元者,自古算家之秘术;而海镜者,中土数学之宝书也.”

  《测圆海镜》无疑是当时世界上第一流的数学著作,但内容较深,粗知数学的人看不懂.而且由于理学思想的影响,数学不受重视,所以天元术的传播速度较慢.李冶深刻认识到天元术的重要性,于是便在封龙山教学的同时,着手写一部普及天元术的著作.李冶曾读过北宋数学家蒋周的《益古集》,内容多为二次方程,列方程的方法则是几何的.李冶用天元术对此书进行研究,写成《益古演段》3卷.如果说《测圆海镜》是为数学家写的,那么《益古演段》就可能是为他的学生写的.

  《益古演段》全书64题,处理的主要是平面图形的面积问题,所求多为圆径、方边、周长之类.除四道题是一次方程外,全是二次方程问题,内容安排基本上是从易到难.李冶在完成《测圆海镜》之后写《益古演段》,他对天元术的运用自然会更加熟练.但他却没有像前者那样,完全用天元术解题.书中新旧二术并列,新术是李冶的代数方法——天元术;旧术是蒋周的几何方法——条段法,这是一种图解法,因为方程各项常用一段一段的条形面积表示,所以得名.该书揭示了两者的联系与区别,对我们了解条段法向天元术的过渡、探讨数学发展规律有重要意义.书中常用人们易懂的几何方法对天元术进行验证,这对于人们接受天元术是有好处的.该书图文并茂,深入浅出,不仅利于教学,也便于自学.正如砚坚序中的评价:“说之详,非若溟津黯淡之不可晓;析之明,非若浅近粗俗之无足观.”这些特点,使它成为一本受人们欢迎的数学教材,对天元术的传播发挥了不小的作用.

  在数学理论上,《益古演段》也有创新.该书的问题同《测圆海镜》不同,所求量不是一个而是两个、三个甚至四个.按古代方程理论:“二物者再程,三物者三程,皆如物数程之.”应该用方程组来解,所含方程个数与所求量个数一致.但解二次方程组要比解一元方程困难得多.李冶既已完善了天元术程序,便力图提高它的一般化程度,用以解决各种多元问题.他的主要方法是利用出入相补原理(即“一个平面图形从一处移置他处,面积不变.又若把图形分割成若干块,那么各部分面积的和等于原来图形的面积,因而图形移置前后诸面积间的和、差有简单的相等关系.”吴文俊语)及等量关系来减少未知数,化多元为一元,找到关键的天元一.一旦这个天元一求出来,其他要求的量就可根据与天元一的关系,很容易求出了.

  例如第三十五问:“今有圆田一段,中心有直池水占之,外计地五千七百六十步.只云从外田东南楞至内池西北角,通斜一百一十三步,其内池阔不及长三十四步.问三事(指池长、池阔及圆径)各多少?”(2)

  此题欲求三数,若以方程组解之,须列出三个方程,一个可能的列法是:

  设圆径为x,直池长为y,阔为z,则

  但李冶却设法避免了联立方程.

  依本题法,设角斜为x,则圆径=x113

  四圆积=3(x113)2=3x2678x+38307

  所以 四池积=四圆积-4×5760

  =3x2+678x+15267(1)

  因为 池斜=113-x

  所以 二池积=(113-x)2-342(2)

  =x2-226x+11613

  所以 四池积=2x2-452x+23226(3)

  (1)(3)消得

x2+1130x-7959=0

  题中(2)式所用二积一较幂公式2ab+(a-b)2=a2+b2便体现了出入相补原理.这从李冶的条段图中可以看得很清楚,如图3,四勾股形全等,每个勾股形勾bac

  求出角斜后,易求圆径.从圆积减去外计地,得池积,由长方形面积公式便可求出池长、池阔了.这种方法显然比解三元方程组简便.

  另外,李冶还在列方程时首创设辅助未知数的方法.第四十问中得到方程

-22.5x2-648x+23002=0

  后,李冶为了使最高项系数的绝对值变为1,便作如下变形(译文)

  y=22.5x,则上式变为

-y2-648y517545=0

  开方,得

y465

  所以

  李冶称这种设辅助未知数的方法为连枝同体术.顾名思义,他是把辅助未知数看作与原方程连为一体的一个分枝.这种方法在代数学史上是有意义的,因为它提供了方程变形的一个有力工具.

  此题的另一种解法是首先“立天元一为三个内池径”,这相当于设y=3x.李冶称此法为之分术,实际也是一种设辅助未知数的方法,也能起到简化方程的作用.依法演算,得

-2.5y2-216y23002=0

  两种方法的区别在于:之分术把设辅助未知数的步骤放于题首,而连枝同体术把这一步骤用于方程变形.

  《益古演段》的成书,为天元术的应用开辟了更为广阔的道路.砚坚称赞此书说:“颇晓十百,披而览之,如登坦途,前无滞碍.旁溪曲径,自可纵横而通……真学者之指南也.”《测圆海镜》是天元术的代表作,而《益古演段》是普及天元术的杰作.两书相辅相成,互为表里,反映了作者既努力提高数学的一般化程度,又注意发挥其社会效益的精神.

  李冶死后不久,天元术理论便经过二元术、三元术、迅速发展为朱世杰的四元术.如果说在李冶手中,天元术已成为参天大树,那么在李冶之后,这棵大树便在第二代数学家的培育下,结出了四元术的累累硕果.

  纵观李冶一生,不管是在为人上还是在学术上,都不愧为一代楷模.他在任钧州知事期间,为官清廉、正直,亲自掌管出纳,一丝不苟.据载,钧州城的出纳“无规撮之误”.在当时动乱的环境中,像李冶这样的清官确实是难能可贵的.李冶在《敬斋古今黈》中说:“好人难做须著力”,又说:“著力处政是圣贤阶级”,这正是他为人做官的写照.他同情人民,面对蒙古军队的屠杀和抢掠,不仅在诗文中表现了极大的愤慨,而且在见忽必烈时,力劝蒙古统治者“止征伐”.他一生热爱科学,追求自由,决不负辱求名.在学术上不迷信名家,敢于突破传统观念的束缚.他虽是通儒出身,但当他认识到数学的重要性时,便专攻数学,这种行动本身就是对传统儒学的批判,因为在儒家看来,数学“可以兼明,不可以专业”.当时盛行的新儒学——程朱理学,甚至把研究科技看作“玩物丧志”,把数学说成“九九贱技”.李冶毫不客气地批评了这些错误观点,指出在朱熹的著述中“窒碍之处亦不可以毛举也”.

  值得注意的是,李冶的思想深受道家影响.道家崇尚自然,这无疑是有利于把人们的眼光引向自然科学的.老庄的自然观甚至成为李冶抵制唯心主义理学的思想武器.他说:“由技兼于事者言之,夷之礼,夔之乐,亦不免为一技;由技进乎道者言之,石之斤,肩之轮,非圣人之所与乎?”(夷,黄帝臣名;夔,舜臣名.石,扁,均为古工匠名)这就是说,从技艺用于实际来说,圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺;从技艺中包含自然规律(即“道”)来说,工匠使用的工具也是圣人所赞赏的.如果我们把李冶的话同庄子所说的“道者,万物之所由也.……道之所在,圣人尊之”联系起来,李冶受庄子思想的影响是一目了然的.很明显,他认为数学这种技艺也是“道之所在”,也应受到尊重.

  李冶还认为,数虽奥妙无穷,却是可以认识的,他说:“谓数为难穷,斯可;谓数为不可穷,斯不可.何则?彼其冥冥之中,固有昭昭者存.夫昭昭者,其自然之数也.非自然之数,其自然之理也.”李冶的这一思想,也可以从老庄学说找到渊源.庄子说:“夫昭昭生于冥冥,有伦生于无形.”老子说:“人法地,地法天,天法道,道法自然”,“道之尊,德之贵,夫莫之命而常自然.”正是由于对自然的深刻理解,李冶进一步指出:“数一出于自然,吾欲以力强穷之,使隶首复生,亦末如之何也已.苟能推自然之理,以明自然之数,则虽远而乾端坤倪,幽而神情鬼状,未有不合者矣.”

  李冶不仅有比较先进的哲学思想,而且能在极为艰苦的条件下进行顽强的科学研究.他在桐川著书时,居室十分狭小,甚至常常不得温饱,要为衣食而奔波.但他却以著书为乐,从不间断自己的工作.他的学生焦养直说他“虽饥寒不能自存,亦不恤也”,在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”,“手不停披,口不绝诵,如是者几五十年”.另外,他还善于去粗取精,批判地接受前人知识,正如他自己所说:“学有三,积之之多不若取之之精,取之之精不若得之之深.”这些优良品质,都是李冶在学术上取得杰出成就的重要原因.

  李冶时代,数学不受重视.但李冶却执着地追求真理,他在《测圆海镜序》中说:“览吾之编,察吾苦心,其悯或者当百数,其笑我者当千数.乃若吾之所得则自得焉耳,宁复为人悯笑计哉?”李冶不仅学术精深,而且致力于传徒授业,对学生循循善诱.后人盛赞李冶“导掖其秀民,仁之至也.其徒卒昌于时,孰不曰文正公所作成也”(文正为李冶谥号).李冶以自己的毕生心血,在中国科学史上写下了光荣的一页,被人们深深怀念着.