奥马·海亚姆

 

辽宁师范大学 梁宗巨

  奥马·海亚姆(Omar Khayyam) 1048() 515日生于霍腊散(Khorāsān,今伊朗东北部一省)内沙布尔(Nīshāpūr,即Neyshābūr)1131()124日卒于内沙布尔.数学、天文学、哲学、诗歌.

  奥马·海亚姆的全名是吉亚斯丁·阿布·法斯·奥马·本·伊卜拉欣·内沙布里(Ghiyāth alDīn abulFathUmar ibnIbrāhīm al-Nīsābūrī).从他的名字可以知道他的家族大致情况.父亲是伊卜拉欣,有一个儿子名法斯,奥马(Umar也拼作Omar)是他自己的名字,吉亚斯丁(Ghiyāth al-Dīn)原意是“信仰的帮助”,是后来获得的尊称,内沙布里表明他来自内沙布尔或籍贯是内沙布尔.西方人更多地称他为奥马海亚姆或海亚米(al-Khayyāmī),“海亚姆”是制造或经营帐篷的职业,说明他的父亲或祖辈是从事这种工作的.

  奥马出生之前,西亚地区政局动荡不安.1112世纪,塞尔柱(Seljuk)突厥人(Turk)在那里建立一个庞大但不稳固的军事帝国,占有两河流域和现在的伊朗、叙利亚、巴勒斯坦、格鲁吉亚、亚美尼亚等地.奥马早年在家乡受教育,以后成为一名家庭教师,生活是清苦的,没有很多闲暇去从事科学研究.奥马在他的《代数学》中写道:“我不能集中精力去学习这种‘代数学’,时局的变乱阻碍着我,…….”尽管如此,奥马仍然写出了颇有价值的《算术问题》(Problems of arithmetic)和一本关于音乐的小册子.

  1070年左右,奥马来到撒马尔罕(Samarkand,今属乌兹别克).在当地统治者阿布·塔希尔(Ab&T1hir)的庇护下,奥马写成他的主要代数著作《还原与对消问题的论证》

  (Ris1la filbar1hīnal1 mas1il aljabr wal-muq1balaTreatise on demonstration of problems of algebra and almuqabala),简称《代数学》.不久,他又接受塞尔柱苏丹(Sultan,最高统治者的称号)杰拉勒丁·马利克沙(Jal1l al-Dīn Malik-sh1h10551092)和他的大臣尼赞·穆勒克(Niz1m alMulk)的邀请,前往伊斯法罕(lsfahan,今伊朗西部),管理那里的天文台,进行历法改革.他在那里工作了18年之久.这是他一生中最安谧的日子.

  1092年,政治气候突变,马利克沙去世,庇护人尼赞·穆勒克遭到暗杀,奥马备受冷遇.马利克沙的第二个妻子土坎·哈通(Turk1nKh1t&n)接替执政二年,对奥马很不友善,撤消了天文台的资助,研究工作被迫止,历法改革半途而废.奥马虽已失去昔日的恩宠,但仍留在塞尔柱的宫廷里,尽力劝说马利克沙的继承者重新支持天文台和开展一般的科学研究.他描述伊朗古代的统治者宽宏大量,尊重学者,致力于兴办教育,发展科学,为文化事业立下不朽的功勋.

  奥马始终未能说服当权者.1118年,马利克沙的第三子桑贾尔(Muizz adDīn Sanjar1084?—1157)登上王位.奥马离开伊斯法罕,到塞尔柱王朝的新首都梅尔夫[Merv,今马雷(MapЬI),属土库曼].他和弟子们一起写了《智慧的天平》(Balance of wisdoms)等书,研究如何利用金属比重去确定合金的成分,所用方法是纯粹代数的.这问题源出于阿基米德的研究.

  奥马是一个渊博的科学家,但在西方却以诗人而闻名.他写了很多四行诗(quatrain),其中透露出无神论的自由思想.这在他的一生中导致很多麻烦.晚年的时候,他甚至到麦加去朝觐,力图洗刷人们对他的无神论的指控.

  历法改革

  奥马在伊斯法罕期间,领导一批天文学家编制天文表,为了纪念庇护人,定名为《马利克沙天文表》(Zīj Malik-sh1hī,Maliksh1hAstronomical Tables),现在只有一小部分流传下来,其中包括黄道坐标表和100颗最亮星的星表等.

  天文台更重要的工作是进行历法改革.波斯地区自古以来就使用阳历,公元前1世纪施行琐罗亚斯德教(Zoroaster,中国史称祆教、拜火教)的阳历,定一年为365天,分12个月.萨珊(S1s1n)王朝(公元226621)定阳历为官历。阿拉伯人征服这个地区以后,实行伊斯兰教的阴历.这种历分一年为12个月,6个大月,6个小月,大月30天,小月29天,全年354天.闰年增加一个闰日成为355天,30年加11个闰日.阴历一年和实际的回归年365.2422日相差约11天,因此和四季是不合拍的,这对农业很不方便.奥马时代,波斯人继续使用传统的阳历,但因置闰的方法不精,渐渐产生误差.有识之士看到,历法要符合天时,必须进行根本的改革.

  马利克沙执政后,在伊斯法罕兴建天文台,聘请以奥马为首的一群天文学家去完成改革的任务.奥马提出在平年365天的基础上,每33365.2422 日仅相差19.37秒钟,积4460年才差1天.而现行的公历(格里历)400年置97个闰日,历年长365.2425日,3333年差1天.

  值得注意的是,如将0.2422展成连分数,可知各个渐近分数是

  

128年差1天.第2个分数是297闰,1218年差1天.根据有理逼近的理论,比奥马闰法(338)更精密的闰法有9523闰,1万年以上才差1天.如果限定周期小于95年,那么338闰就是最佳的选择.这表明奥马有较高的理论水平.他以1079316日为历法的起点,定名为“马利克纪元”(Malik9era)或“杰拉勒纪元”(Jal1l9 era).可惜改历工作随着领导人的死亡而夭折.

  伊斯兰教的阴历主要用于宗教,它最大的缺点是和寒暑完全脱节,夏天有时在1月,有时在6月.而奥马改革后的阳历和四季是一致的.他对此颇感欣慰,曾作四行诗以咏其事:

  啊,人们说我的推算高明,

  我曾经把旧历的岁时改正——

  谁知道那只是从历书之中

  消去未生的明日和已死的昨晨.

  开高次方根

  奥马在《代数学》一书中写道:“印度人有他们自己的开平方、开立方方法,……我写过一本书,证明他们的方法是正确的.我并加以推广,可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根.这些代数的证明仅仅以《几何原本》的代数部分为根据.”

  这里所说他写的书可能就是《算术问题》.现在莱顿大学藏有奥马著作的手稿,但只有《算术问题》的封面,内容已遗失.

  奥马所了解的“印度算法”,实际来自两本较早的书.一本是吉利(Kushy1ribn Labb1n alJ9l9)的《印度计算原理》(Princi-ples of Hindu reckoning);另一本是奈塞维(Al9 ibn AhmadalNasaw9)的《印度计算必备》(Things sufficient to understandHindu reckoning).然而这些书所记述的开平方、开立方法和印度文献所载的相去颇远,倒是和中国古代的方法密近.中国的《九章算术》早已给出开平方、开立方的完整法则,并推广用于方程的数值解.伊斯兰数学很可能受到中国直接或间接的影响,因为自古以来丝绸之路就是中国和中亚的交通要道.不过由于他们使用了10个印度数码,于是被误认为“印度算法”.

  在现存的阿拉伯文献中,最早系统地给出自然数开高次方一般法则的是纳西尔丁(Nasir adD9n alT&9,也称图斯)编纂的《算板与沙盘算术方法集成》(Collection on arithmetic by meansof board and dust).他没有指出发明者,但他非常熟悉奥马的工作,故很可能来自奥马.

  用圆锥曲线解三次方程

  中世纪的阿拉伯数学家对圆锥曲线作了很多探索.最值得称道的是奥马海亚姆用圆锥曲线来解三次方程.这种方法可以溯源于希腊的门奈赫莫斯(Menaechmus),事实上他就是为了解决倍立方问题(相当于三次方程x3=2a3)而发现圆锥曲线的.后来阿基米德在《论球与圆柱》(On the sphere and cylinder)2命题4提出这样的问题:用一平面把球截成两部分,使这两部分的体积成定比.这问题导致三次方程

x2(a-x)=bc2

  解法的要点是求两条圆锥曲线的交点,一条是双曲线(ax)y=ab,另一条是抛物线ax2=c2y

  阿基米德的“平面截球问题”引起阿拉伯数学家的极大兴趣.巴格达的马哈尼(alM1h1nī)最先试图用代数方法去解,但没有成功.后来哈津(Abū Ja1cfar alKh1zin)用圆锥曲线来解.研究这问题的还有库希(alKuhi)、伊本·海塞姆(Ibn alHaytham)、艾布尔·朱德(Abul Jud)等.

  奥马的功劳,在于考虑了所有形式的三次方程.由于他只取正根,系数也只限于正数,因此三次方程有各种不同的类型.他将一、二、三次方程归结为25类,属于三次方程的14类:缺一、二次项的x3=a;缺二次项的3类:x3+bx=ax3a=bxbx+a=x3;缺一次项的3类:x3cx2=ax3a=cx2cx2a=x3;不缺项的7类:x3cx2bx=ax3cx2a=bxx3bxa=cx2cx2bxa=x3x3cx2=bxax3bx=cx2ax3a=cx2+bx

  每一类都给出几何解法,即用两条圆锥曲线的交点来确定方程的根.奥马在《代数学》中,专门阐述了方程的几何解法.1851年,F.韦普克(Woepcke)将此书从阿拉伯文译成法文,书名为《奥马海亚姆代数学》(Lalgèbre dOmar Alkhayyāmī).以后又有DS.卡西尔(Kasir)英译校订本《奥马海亚姆代数学》(The algebra of Omar Khayyam1931).下面取出其中的一个例子,用现代术语和符号来分析奥马的方法(文献[1] p75)

  要解的方程是

x3ax=b(1)

  按照希腊人的观点,将一个数看作一个线段,那么两个数之积就是矩形,三个数之积是长方体.同维数的量才能相加,所以先将方程改成齐次的形式

x3+c2x=c2h(2)

  右端c2h表示一个以cch为边的长方体.

  用解析几何的语言来说,方程(2)的根就是抛物线

x2=cy(3 )

  和半圆周

y2=x(h-x)(4)

  交点的横坐标x.因为从(3)(4)两式消去y,就得到(2)

  此题在原书中是第6章第1题,完全用文字叙述,没有方程的形式.方程(2)表述为“立方与边()等于一个数”.解题的步骤是:以BO=h为直径作半圆BPO,作AODBO,以O为顶点,OA=C为参数”(正焦弦)作抛物线POQ交半圆周于P.作PDADPEBO,则PD就是(2)的根(1)

  事实上,记PD=xPE=y,在半圆内,

PE2=y2=EO·BE=PD·BE=x(h-x)

  根据抛物线的性质,

PD2=x2=OA·PE=cy

  这正是(3)(4)两式.

  奥马曾探索过三次方程的算术(代数)解法,但没有成功.他在《代数学》中写道:“对于那些不仅含有常数项、一次项、二次项的方程,也许后人能够给出算术解法”.经过几百年的努力,三、四次方程的一般代数解法直到16世纪才由意大利数学家给出,五次以上方程的可解性问题到19世纪才解决

  奥马发展了欧几里得的几何代数学,使几何与代数更紧密地联系起来,这是一项重要的贡献.可惜在1851年韦普克的译本出现之前,欧洲人几乎完全不知道他的工作(尽管在18世纪已有一些零星的介绍)、否则解析几何的发现和推进会更加迅速.

  用现代的观点看,如果引入负数并承认负根,三次方程可以写成统一的形式

x3ax2+b2x+c3=0(5)

  不必如此烦琐地分类.以

x2=py(6)

  代入(5),得到

pxyapyb2x c3=0(7)

  (6)是抛物线,(7)是双曲线.作出这两条线,交点的横坐标便是(5)的根.

  对《几何原本》的研究

  奥马在欧几里得几何的研究方面有两项贡献,一是对平行公设的试证,二是对比与比例提出新的见解.

  早在9世纪,当欧几里得《几何原本》传入伊斯兰国家后,第五公设就引起学者们的注意.所谓第五公设或平行公设就是在《原本》中提出的公理:“如果一直线和两直线相交,所构成的两个同旁内角之和小于两直角,那么,把这两直线延长,它们一定在那两内角的一侧相交.”这公设不论在词句或内容方面都比其他四个公设复杂得多,而且也不那么显而易见.人们自然会发生是否可以证明的疑问.

  阿拉伯学者对此公设进行试证的有焦赫里(alJawharī),塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra),伊本海塞姆(Ibn alHaytham,即Alhazen),奥马海亚姆等人.实质上他们并没有证明了公设,而是采用另外一与之等价的公设来代替它.

 

  奥马在1077年撰写了《辩明欧几里得公设中的难点》(Explanation of the difficulties in the postulates of Euclid)一书,讨论了两个难题,一是平行公设,二是比的问题.他考察四边形ABCDDACB同垂直于ABDA=CB(2).无需用平行公设,很容易证明∠C=D.而∠C,∠D的大小有三种可能:(1)等于直角;(2)等于钝角;(3)等于锐角.若采用平行公设.可以证明∠C,∠D等于直角.反之,若能证明∠C,∠D等于直角,便可推出平行公设.奥马用反证法,“证明”钝角、锐角假设必导致矛盾,因此只有直角的情形成立,这就无异证明了平行公设.但他的证明是有缺陷的,实际是引入下述假设来代替平行公设:两条直线如果越来越接近,那么它们必定在这个方向上相交.所以他也未解决平行公设问题.

  18世纪时,G.萨凯里(Saccheri)重新研究这个四边形(后人常称之为“萨凯里四边形”),由此得出一系列互不矛盾的命题.他和前人虽然未建立(也未意识到)非欧几何,但已为非欧几何的诞生铺平了道路.

  比与比例也是奥马研究的中心问题.早在公元前5世纪,毕达哥拉斯学派就建立过比例论,不过只限于可公度量.如果AB两个量可公度,即存在正整数mn,使得mA=nB,则

 

  就是一个数.但若AB不可公度,他们便认为AB无法相比.这样就很难建立一切量的比例论.欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus)为了摆脱这一困难,另立“比”的定义:如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量,则说这两个量有一个“比”.接着定义“比例”:设有ABCD4个量,ACBD分别乘以同样的倍数mn,如果

 

  则说两个比ABCD相等,即4个量可构成比例AB=CD

  欧多克索斯采取这一定义是煞费苦心的,这样可回避无公度的麻烦,由此出发完成了适用于一切量的比例论.欧几里得将欧多克索斯的理论编入《原本》成为卷V.伊斯兰学者并不怀疑比例论的真理性,而是对其立论的出发点即比例的定义持有异议.最先提出新定义的是马哈尼(alM1h1n9,他的思路可用现代术语表述如下:将A/BC/D展开成连分数,A/B=(q1q2,…,qn,…)C/D=(q1q2,…,qn,…),其中qiqi(i=12,…)是各个偏商.如果qi=qi(i=12,…)则称ABCD成比例,即A/B=C/D.马哈尼认为这定义能更好地揭露比例的本质.它适用于可公度量与不可公度量,在可公度的情况,n是有限的.

  奥马论证了这种定义和《原本》中比例定义的等价性,进而研究比及比例的若干性质,对伊斯兰数学和西方数学都有重要的影响.

  另一方面,希腊人虽然承认无公度的两个量AB有比,但始终不承认A/B是一个数(即无理数),这就大大妨碍了数学的发展.奥马勇敢地冲破这一桎梏,主张扩大数系,将无公度量的比接纳在内.例如2的平方根,圆周长与直径的比等等,应该考虑为一种新的数.这在思想上是一次不寻常的飞跃,是建立实数系的先声.然而直到19世纪才真正实现了他的理想.

  四行诗

  四行诗很像中国的绝句,每首四行,第一、二、四行押韵.奥马究竟写了多少首四行诗,没有准确的数字.剑桥大学图书馆藏有最早的(1208)手抄本,收入252首.而在他名义下出版的波斯文诗集多达1069首.但有人考证只有一百多首确实是他作的.1859年,英国诗人菲茨杰拉德(Edward Fitz Gerald)75首译成英文,取名“Rubáiyát of Omar Khayyam”,广为流传.郭沫若于1928年将英译本译成中文,题名《鲁拜集》.(鲁拜是阿拉伯语,意为四行诗.)

  奥马曾写过几种哲学著作,他的四行诗也包含很多哲理,其中表露的思想相当复杂.很难作出一致的评价.一方面,诗作的可靠性问题众说纷纭;另一方面,在官方的示意下有时很难畅所欲言.因此对他的议论褒贬不一,毁誉参半.总的来说,他不囿于伊斯兰教所宣扬的真主创造世界的观点,对窒息学术探讨的社会环境表示不满.正统的穆斯林不喜欢他,但广大读者爱读他的诗,从中得到启迪,进而探索人生的真谛.后人为了纪念他,1934年由多国集资,在内沙布尔为他修建了一座高大的陵墓.