马哈维拉

 

湖南科学技术出版社 陈一心

 

  马哈维拉(Mahāvīra) 9世纪活跃于印度迈索尔.数学.

  马哈维拉是印度南部迈索尔人,耆那教教徒,曾在拉喜特拉库塔王朝(R11strak&ta)的宫廷里生活过很长一段时间.约公元850年,他撰写了《计算精华》(Ganitas1rasagraha)一书.该书在印度南部曾被广泛使用, 11世纪被译成泰卢固语.20世纪初,它被重新发现.1912年,在马德拉斯译为英文出版.《计算精华》是印度第一本初具现代形式的数学教科书,现今数学教材中的一些论题和结构在其中已可见到.

  马哈维拉的工作属于纯数学领域,对天文学问题几乎没有涉猎.这与他的前辈们是颇为不同的.在古代印度,数学家一般也是天文学家.

  马哈维拉的《计算精华》共含9章:(1)术语;(2)算术运算;(3)与分数有关的运算;(4)有各种特点的运算;(5)与三分律(比例律)有关的运算;(6)混合运算;(7)面积计算;(8)与挖掘有关的计算;(9)与影子有关的计算.

  马哈维拉改进和推广了他的前辈们的许多结果,其中最有特色的研究包括:零的运算、二次方程、利率计算、整数性质、排列组合、单分数法则,等等.

  1.零的算法

  《计算精华》中叙述了零的算法:“一个数乘零得零,一个数加零、减零或除以零,这数都不变”.这表明,当时尚未认识到零不能作除数.

  2.一元二次方程和不定方程

  在这方面,成书于约公元1世纪时的中国《九章算术》已有较多的成果.公元3世纪时,希腊数学家丢番图(Diophantus)著《算术》一书,也解决了不少二次方程、不定方程问题,但他不承认负数的合理性.马哈维拉以前的印度数学家不断地研究了这些方程的解法,阿耶波多(Aryabhata I)建立了求一次线性不定方程正整数通解的法则,即库塔卡(Kuttaka).婆罗摩笈多(Brahmagupta)给出了一元二次方程的一个求根公式.马哈维拉也讨论了很多这方面的问题.例如:


还有20腕尺露出在水面上,亲爱的朋友,请问这柱子有多高?”

  马哈维拉给出方程

 

  并求出了它的有理解.

  在另一些问题中,他还给出了形如

 

  的方程的解.

  马哈维拉对库塔卡也作了一些改进.他在倒回去求方程的解时省略了用第一个商数参与运算的一步,一个未知数是用代入方程法求得的.但他总是躲闪着不让辗转除法的余数为0,这其实是不必要的.

  3.“花环数”

  两整数相乘,若其乘积的数字呈中心对称,马哈维拉便称之为“花环数”,例如:

  14287143×7=100010001

  142857143×7=1000000001

  12345679×9=111111111

  333333666667×33=11000011000011

  11011011×91=1002002001

  27994681×441=12345654321

  他对这种状似花环的特殊整数的构成规律进行了研究.

  4.排列组合

  古代耆那教典籍中含有一些简单的排列组合问题,马哈维拉给出公式

  5.单分数法则

  单分数是分子为1的分数.古埃及数学家阿梅斯(Ahmes)曾造出


马哈维拉研究出一套比较完整的单分数表示法:

  (1)1表示成n个单分数的和

 

  (2)1表示成2n-1个单分数的和

 

  (3)把给定的单分数表示成r个分子分别为a1a2,…,ar的分数之和

 

  (4)把任何分数表示为单分数的和



步便停止了.

  (5)把一个单分数表示为两个单分数的和

  

  

  (6)把任何分数表示成有给定分子的两分数之和

 

  其中p可整除nm可整除apb

  结合(1)(6),任何分数都可表示为2n个带给定分子的分数之和.

  在几何学方面,马哈维拉重新研究了婆罗摩笈多关于边为有理数的圆内接四边形的作图.像婆罗摩笈多一样,马哈维拉也没有觉察到这类四边形必须是内接于圆的.

  马哈维拉所讨论过的几何作图问题很多,例如:(1)给定一条边,作一个其他两边均为有理数的直角三角形;(2)给定一斜边c求作一直角三角形,使二直角边均为有理数;(3)求作一个三边相等的梯形;(4)求作一有给定面积的圆内接四边形;(5)作一有给定周长的圆内接四边形;(6)求作一长方形,使其面积在数量上是其周长或对角线长的倍数,或者一般地,是其边长与对角线长的线性组合;(7)作两个长方形:①其周长相等,但其中一个的面积是另一个的2倍;②其面积相等,但其中一个的周长是另一个的2

后这个作图问题,一般地对应着方程

m(x+y)=n(u+v)

pxy=quv

  其中(xy)(uv)分别为两个长方形的边,mnpq是给定的数.马哈维拉得到了两个解.

  马哈维拉还研究过椭圆和其他几何图形.他给出椭圆的面积为周长


(其中b为弓形的弦长,h为弓形的高),这一公式最早出现在中国古代数学名著《九章算术》中.