花拉子米

 

大连理工大学 杜瑞芝

  花拉子米(al-KhwārizmiAbū Ja'far Muhammad IbnMūsā) 约公元783年生;约公元850年卒.数学、天文学、地理学.

  阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·阿尔—花拉子米的传记材料,很少流传下来.一般认为他生于花拉子模[Khwarizm,位于阿姆河下游,今乌兹别克境内的希瓦城(Хива)附近],故以花拉子米为姓.另一说他生于巴格达附近的库特鲁伯利(Qut-rubbullī).祖先是花拉子模人.花拉子米是拜火教徒的后裔,早年在家乡接受初等教育,后到中亚细亚古城默夫(Мерв)继续深造,并到过阿富汗、印度等地游学,不久成为远近闻名的科学家.东部地区的总督马蒙(al-Mamūn,公元786833)曾在默夫召见过花拉子米.公元813年,马蒙成为阿拔斯王朝的哈利发后,聘请花拉子米到首都巴格达工作.公元830年,马蒙在巴格达创办了著名的“智慧馆”(Bayt al-Hikmah,是自公元前3世纪亚历山大博物馆之后最重要的学术机关),花拉子米是智慧馆学术工作的主要领导人之一.马蒙去世后,花拉子米在后继的哈利发统治下仍留在巴格达工作,直至去世.花拉子米生活和工作的时期,是阿拉伯帝国的政治局势日渐安定、经济发展、文化生活繁荣昌盛的时期.

  花拉子米科学研究的范围十分广泛,包括数学、天文学、历史学和地理学等领域.他撰写了许多重要的科学著作.

  在数学方面,花拉子米编著了两部传世之作:《代数学》和《印度的计算术》.

  代数学的内容和方法是自古以来逐渐形成的.早在古埃及阿默士的纸草书中就已经出现属于一元一次方程的问题.巴比伦人也知道某些二次方程的解法.在汉穆拉比时代的泥板中巳有二次方程的问题,从中可以看出从算术到代数的过渡.代数学在希腊时代得到重大发展,其代表人物是丢番图(Diophantus).他的著作《算术》(Arithmetica)中的大部分内容可划入代数的范围.书中出现了符号的运算法则和用字母表示的未知数,解决了某些二次方程、特殊的三次方程和大量的不定方程问题.公元78世纪,印度数学获得了可观的发展.印度数学家婆罗摩笈多(Brahmagupta)给出了二次方程的一个求根公式.二次方程的一般解法是花拉子米在他的《代数学》中首先给出的.

  《代数学》大约写于公元820年,有多种版本流传下来.比较重要的有两种;一种是抄录于1342年的阿拉伯文手稿,现存牛津大学图书馆,1831年由F.罗森(Rosen)译成英文,在伦敦出版了它的阿—英对照本;另一种是LCh.卡平斯基(Karpinski)根据著名翻译家切斯特的罗伯特(Robert of Chester)1145年翻译的《代数学》拉丁文译本编译的.

  《代数学》的阿拉伯文书名是‘ilm al-jabr wal muqabalah,直译应为《还原与对消的科学》.al-jabr 意为“还原”,这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项;muqabalah 意即“对消”或“化简”,指方程两端可以消去相同的项或合并同类项.一般认为拉丁文中代数学一词algebra是由al-jabr演变而来.

  在《代数学》中,花拉子米用十分简单的例题讲述了解一次和二次方程的一般方法.他的作法实质上已经把代数学作为一门关于解方程的科学来研究,只是其研究形式与现代的不同.该书包括三部分:第一部分讲述现代意义下的初等代数,第二部分列举各种实用算术问题,最后一部分是关于续承遗产的应用问题.

  在第一部分里,作者系统地讨论了一、二次方程的解法.他给出六种类型的标准方程,这些方程由三种量组成:(1)(jadhr,指植物的根或事物的根本)或一堆“东西”(Shay)(2)根自乘的结果,即根的平方(māl,也表示财产或货币的和)(3)简单数或称“迪拉姆”(dirham,阿拉伯货币单位).现在把解方程求未知量叫做求根就是来源于此.花拉子米完全用文字来表述,书中没有出现任何字母和缩写符号.为了明确起见,下面用现代符号来表示花拉子米论述的六种类型方程:

  (1)“平方”等于“根” ax2=bx

  (2)“平方”等于“数” ax2=c

  (3)“根”等于“数” bx=c

  (4)“平方”和“根”等于“数” ax2+bx=c

  (5)“平方”和“数”等于“根” ax2+c=bx

  (6)“根”和“数”等于“平方” bx+c=ax2

  以上abc都是正数.对于每种类型的方程的解法,花拉子米都给出具体例子.例如对于第四种类型的方程,花拉子米的例题是“一个平方数及其根的10倍等于39个迪拉姆”.他把求解过程叙述为:“取根的数目的一半,在这里就是5,将它自乘得25,把它同39相加得64,开方等于8,再减去根数的一半,即5,等于3.这就是根.”下面用现代符号表示该方程及求解过程:

  

  

  这种解法相当于给出方程x2+px=q的一个求根公式


 

  花拉子米放弃了负根.

  在解第五种类型的方程x2+21=10x时,花拉子米求出了两个根,相当于

 

  在数学史上,他是最早认识到二次方程有两个根的数学家.在这方面,花拉子米比希腊人和印度人有明显的进步.他还特别指出,当根的数目之半自乘的结果小于自由项时,开平方是不可能的,此时方程无根.这相当于指出我们现在称之为判别式的必须非负的条件.

  在论述了六种典型方程的解法之后,花拉子米又用几何方法给出它们的证明.这些证明无疑受到希腊几何学的影响,有的似乎是欧几里得《几何原本》中有关命题的翻版.

  例如,对于方程x2+10x=39的根的正确性,花拉子米给出了两种不同的几何证明.第一种证法是在边长为x的正方形的四个边上向外作边


正方形的面积等于x2+10x+25,即64(因为由已知方程知x2+10x=39)


证法是在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长为x5的矩形,然后把图形补充为完整的大正方形(2)

 

  在几何证明之后,花拉子米建立了两种变换——“还原”与“对消”.他指出,经过这两种变换,一般形式的一次和二次方程就能化成已经讨论过的六种标准方程.当然,这些变换都是用文字叙述的.花拉子米以问题“把10分为两部分,使其平方之和等于58”为例来说明这两种变换.这个问题相当于方程

x2+(10-x)2=58(1)

  2x2+100-20x=58(2)

  接下去作者指出:“100和两个平方减去20个根,即100和两个平方等于5820个根”这段话的意思是,方程(2)左端的“-20x”移到方程右端,应变为“+20x”.花拉子米称这种变换为al-jabr(即“还原”).这样一来,方程(2)变成

2x2+100=58+20x(3)

  x2+50=29+10x(4)

  花拉子米又对方程(4)施行“对消”变换——“从50中减去29,则平方和21等于10个根”,于是(4)化为x2+21=10x,属于第五种类型方程.花拉子米称后一种变换为muqabalah(即“对消”)

  “还原”与“对消”是花拉子米提出的解方程的基本变形法则.从此以后,解方程的概念逐步明朗起来.这两种变形法则被长期沿用下来,成为现在的移项与合并同类项.

  在花拉子米所列举的各种实际问题中,还出现了相当于现代二元二次方程(或分式方程)组的情形.如用现代符号表示,他的问题中的第一个条件相当于方程x+y=10,而依据第二个条件可分别列出下列方程:

x·y=21

x2-y2=40

x2+y2+(x-y)=54

 

  不过,他并没有明确地给出第二个未知量,而是用“一个东西”和“10减去一个东西”来代替.事实上,上述方程组都很容易化为一元二次方程.

  《代数学》中还用大量例子阐明代数式的运算法则,如单项式乘二项式,两个二项式相乘,同类根式的乘除法,等等.

  关于花拉子米撰写《代数学》一书所受的学术影响以及资料来源等问题,至今尚未搞清.首先,花拉子米似乎没有受印度代数的影响.印度数学家并未给出方程的根的几何论证.他们解二次方程也没有区分出第四、五、六种类型.花拉子米之所以把一次、二次方程分为六种类型,让其系数abc总是正数,是为了避免单独出现负数或减数大于被减数的情形.他认识到二次方程有两个根,但只取正根.对于负根和零根,一概摒弃.此外,《代数学》中完全用文字叙述,没有出现符号.在对负数的认识和使用符号等方面,花拉子米比印度数学家有明显的退步.花拉子米关于二次方程的根的几何论证法似乎受到希腊几何学的影响,但是他的论证方法又在本质上区别于欧几里得(Euclid)《几何原本》中的代数几何学.花拉子米引入后三种典型方程的许多问题与丢番图《算术》中的问题相似,例如形如

 

  的问题.但是他们解决问题的途径不同.事实上,丢番图著作的第一批阿拉伯文译本是在花拉子米去世后才出现的,因此花拉子米很难受到丢番图的影响.科学史家推测,花拉子米可能通晓中东、近东、巴比伦以及古希腊罗马的科学遗产,在此基础上写出了独具风格的代数著作.至于al-jabr一词,可能来源于亚述语中的有关术语,而后者又源于古巴比伦语中的表示两件东西相等的词语.

  《代数学》在12世纪传入欧洲,之后的几个世纪,它成为欧洲人的标准课本,其内容、思想和方法相当广泛地影响过历代数学家.在中世纪最著名的数学家L.斐波那契(Fibonacci)的《算盘书》(10202)中,就有一章名为“aljabra et almuchabala”,其中许多问题出自花拉子米的《代数学》.15世纪著名数学家L.帕乔利(Pacioli)写了一本《算术、几何、比和比例集成》(1494),其中广泛地讨论了一次和二次方程,作者沿用了花拉子米的解法和几何证明.事实上,在中世纪和文艺复兴时期,凡是在代数学方面有过贡献的欧洲学者,他们的工作在不同程度上都受到花拉子米的影响.

  《代数学》以其逻辑严密、系统性强、通俗易懂和联系实际等特点被奉为代数教科书的鼻祖.

  花拉子米的算术著作,只有一种译本流传下来,就是14世纪中叶翻译的拉丁文译本手稿,现存剑桥大学图书馆,1857年由意大利数学史家B.邦孔帕尼(Boncompagni)在罗马出版,书名为:“Trattati dAritmetica publlcati da Baldassare Boncompa-gni,Ⅰ.Algoritmi de numero indorum”.以后,这部著作的拉丁文译本就定名为“Algoritmi de numero indorum”.其中Algoritmi本是花拉子米的拉丁文译名,可是被人理解为印度的读数法,后来它竟演变成表示任何系统或计算系列的“算法”的专业术语.这份手稿由于反复传抄,其中有多处译文不准确,还出现一些空白.现代科学史家根据其他一些有关著作进行了认真的比较研究,恢复了它的本来面貌.我们把这部著作的名称译为《印度的计算术》.

  该书是一部专门讲述印度数码及其计算法的著作.作者首先讲述了印度人使用9个数码和零号记数的方法.这种方法体现了十进位值制记数原理,任何一个整数都能很简单地表示出来并进行计算.作者还给出四则运算的定义和法则.例如乘法定义为重复相加,除法定义为重复相减.具体地说,两数相乘,就是把其中一个数按另一个数的大小增加倍数,其结果为乘积;两数相除,就是把其中较大的数按较小的数的大小分成若干部分,用较大的数减较小的数,能减去多少个,商就是多少.花拉子米特别提出倍乘法和倍除法,即乘以2和除以2的运算.古埃及人是很重视这两种运算的.花拉子米强调它们是为了帮助学生记忆开平方的法则.花拉子米在该书中给出的开平方的方法,用现代符号表示,相当于下列近似公式:

 

  计算结果中的分数部分表示为60进位分数.

  书中还专门讲述了分数理论.花拉子米把分数分为“能读的”和“不



能读的”,在阿拉伯语中用两个以上的复合词来表示.分数的表示法与


(用现代阿拉伯数码)

3 8

1 3

2 11

  分子在上,分母在下,带分数的整数部分又在分数部分之上.中国科学史家推测,这种表示法可能是由中国经印度传入阿拉伯世界的.

  花拉子米在这部著作中列表给出分数乘法的例子:


 

  即

 

 


  从这个计算表格可以看出,计算步骤是先通分:


 

  然后相乘:


  

通分母时没有取最小公倍数.这个例子表明,花拉子米时代的阿拉伯学者掌握把一般分数化为单分子分数的方法.

  《印度的计算术》一书有着特殊的历史作用,它是第一部用阿拉伯文撰写的在伊斯兰国家介绍印度数码和记数法的著作.它的问世对十进位值制记数法在中东、近东和欧洲各国的传播和普及起到了决定作用.阿拉伯人最初只有数词,没有数码字,在征服埃及、叙利亚等地之后,他们开始使用希腊字母记数法.公元773(另一说771),印度学者把他们著名的悉檀多(即历数书)带入阿拔斯王朝阿尔曼苏的宫庭中.印度的数码字和记数法从此传入伊斯兰世界.花拉子米的《印度的计算术》极大地推动了印度数码和记数法在阿拉伯国家的传播.12世纪时,这部著作传入欧洲各国,对欧洲数学的发展也产生了显著的影响.印度数码逐渐代替了希腊字母记数系统和罗马数字等,最终成为世界通用的数码字.在1213世纪,出现了一批直接受《印度的计算术》影响而编写的算术书:在意大利,有L.斐波那契(Fibonacci)的《算盘书》(Liber Abaci);在英国,有Jde萨克罗博斯科(Sacrobosco)的《算法书》(Algorismus);在法国,有Ade维尔迪厄(Villedieu)的《算法歌》(Carmen de algorismi);在德国,有Nde约丹努斯(Jordanus)的《算法论证》(Algorismus Demonstratus)等.这些著作又从拉丁文译成多种文字,通行了几个世纪,对印度数码和记数法引进欧洲起到重要作用.

  花拉子米对几何学也有一定贡献.在他的《代数学》中,有一章名为“测量篇”,专门讲述图形和物体的测量.关于平面图形,他主要研究了三角形、四边形和圆.他对三角形和四边形进行分类,建立了相应的测量公式.他使用的圆面积近似公式为




  

  此处d为直径,s为弦所对弧长,a为弦长,h为弦心距.花拉子米还研究了棱柱、圆柱、棱锥、圆锥和棱台等立体的体积测量问题.在“测量篇”中,可以发现一些来自印度数学的资料,以及来自希腊数学家海伦的《度量论》中的内容.可见花拉子米是熟悉古代印度和希腊的学术遗产的.

  花拉子米在天文学、地理学和历史学等方面也有重要贡献。天文学在中世纪东方精密科学中占有重要地位.古希腊和印度的天文学对中世纪伊斯兰世界天文学发展有很大影响.8世纪以后希腊天文学论著陆续译成阿拉伯文,印度天文学知识也在8世纪末传入巴格达,9世纪开始出现第一批用阿拉伯文撰写的天文学著作.其中为解决天文学问题所需的三角表和天文表的汇编称为积尺(相当于印度的悉檀多),借助这些数据表来测定时间、计算天体上星球位置、确定日食和月食开始的时刻等.这些积尺在当时的天文学著作中占有重要地位.花拉子米撰写的有关著作是比较优秀的,他努力使古希腊罗马的天文学理论和传入古波斯的印度天文学知识结合起来,详细阐明了在印度天文学中臻于完善的方法,对托勒密的天文学理论系统做了补充.除积尺外,花拉子米还撰写了其他天文学著作.其中有三种是专门讲述星盘知识的.论述了各种星盘的构造、功能和应用,并介绍了另一种天文仪器——正弦平方仪.他还撰写了一些关于日规和历法的著作.

  中世纪阿拉伯国家对地理科学也是十分重视的,这可能是由于军事和商业贸易上的需要.在当时,这方面的首要任务是制造世界地图.地图的制作需要复杂的数学和天文学知识,因此地理学著作是与数学和天文学紧密联系在一起的.科学家们把古希腊罗马时期的数学地理学原理作为研究地理学的主要依据.花拉子米是中世纪阿拉伯世界第一部地理学专著的作者,他的《地球景象书》为地理学的研究工作奠定了基础.这部著作的阿拉伯文本现存斯特拉斯堡图书馆.书中首先详述了当时所知的地球上的居民区并画出包括重要居民点(标明坐标)、山、海、岛、河流等的地图.作者参考了希腊的有关著作,但具有独创性,给出许多全新的资料.例如,他把地球上居民区分为7个“气候带”,还修正了托勒密有关著作中的一些数据.该书附有四张地图,是用最古老的阿拉伯制图术绘制的.这部著作为中世纪近东和中东地理学、大地测量学和制图学的发展奠定了基础.

  花拉子米还用阿拉伯文写出了最早的历史著作,他的《历史书》在这门科学的发展中起到了重要作用.