婆罗摩笈多

 

湖南科学技术出版社 陈一心

  婆罗摩笈多(Brahmagupta) 约公元598年生,约660年卒.数学、天文学.

  婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人,原籍可能为现在巴基斯坦的信德.从他的姓名结构中含gupta推测,他属于吠舍氏的成员,即当时的平民阶层.婆罗摩笈多长期在乌贾因工作,这里是当时印度数学、天文学活动的三个中心之一.

  婆罗摩笈多在30岁左右,编著了《婆罗摩修正体系》(Br1hma-sphuatasiddh1nta,公元628)一书.该书用此名,是因为他修改和引用了印度最古老的天文学著作《婆罗摩体系》(Brāhmasiddh1nta)的内容.《婆罗摩修正体系》分为24章,其中《算术讲义》(Ganit1dh1ya)和《不定方程讲义》(Kutakh1dyaka)两章是专论数学的,前者研究三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等;后者研究一阶和二阶不定方程.《婆罗摩修正体系》的其他各章是关于天文学研究的,也涉及到许多数学知识.

  婆罗摩笈多的另一部著作《肯达克迪迦》(Khandakh1dyaka,音译),是天文学方面的名著.它包含8章,研究了行星的黄经,与周日运动有关的三个问题,月食、日食、星的偕日升落,以及行星的会合等.

  婆罗摩笈多的这些著作在拉贾斯坦邦、古吉拉特邦、中央邦、北方邦、比哈尔、尼泊尔、潘贾婆(Panjab)和克什米尔等地受到广泛重视,许多学者对其进行过研究.

  婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位,他提出了负数概念,用小点或小圈记在数字上面以表示负数,并给出负数的运算法则,如“两个正数之和为正数,两个负数之和为负数,一个正数和一个负数之和等于它们的差”;“一个正数与一个负数的乘积为负数,两个负数的乘积为正数,两个正数的乘积为正数”等等.他的负数概念及其加减法法则,仅晚于中国(约公元1世纪成书的中国《九章算术》最早提出负数及其加减法运算的概念)而早于世界其他各国数学界;而他的负数乘除法法则,在全世界都是领先的.

  婆罗摩笈多对数学的最突出贡献是解不定方程Nx2+1=y2.在欧洲,这种方程曾在J.佩尔(Pell)的代数书中论及,后被L.欧拉(Euler)命名为佩尔方程.1767年,JL拉格朗日(Lagrange)运用连分数理论,给出了该问题的完全的解答.事实上,婆罗摩笈多在公元628年便几乎完全解出了这种方程,只是当时不为欧洲人所知.其后,婆罗摩笈多的解法又被婆什迦罗(Bh1skara)改进.

  按照婆罗摩笈多的解法,令(α,β)(α′,β′)分别为Nx2+K=y2Nx2+K=y2的一个解集,于是很容易变换为Nx2+KK=y2的解x=αβ′±α′β,y=ββ′±Nαα′,这被称为婆罗摩笈多引理.特别地,取K=K′,若Na2+K=β2,则有x=2αβ,y=β2+Nα2Nx2+K2=y2的解,故有

  

  若上述值为整数,便得到一整数解集:

  (1)K=±1,则上述值显然为整数.

 

  β2-1xy为整数.

 Na2+4=β2,β也为偶数.故此为方程的一对整数解.若a为奇数,应用婆罗摩笈多引理,可得

 

  若β为奇数,则xy皆为整数;若β为偶数,xy也是整数.

  (4)K=-4,按上述过程

 

  反复运用婆罗摩笈多引理,可得


 

  无论β是奇数还是偶数,以上解都是整数.

  总之,解Nx2+1=y2,若得到一组解(a,β)(K=±1,±2或±4),反复运用婆罗摩笈多引理,便可得到一无穷解组.这就是婆罗摩笈多解方程Nx2+1=y2的方法.

  婆罗摩笈多还研究了不定方程ax±by=c,这类方程在印度首先为


到联立不定方程及多个未知量的情形.

  对方程ax2+bx=c(a0bc可以是负数),婆罗摩笈多给出一个根的公式

 

  《婆罗摩修正体系》中的许多代数问题都是属于天文学计算的,印度书中常见的离奇古怪的题目并不多,后来的注释者补上一些以说明某种法则.如:山上住着两个苦行者,一个是巫师,会在空中飞行.他从山顶笔直跳到空中去,到达某一高度后,斜降到一个小镇上.另一个从山顶垂直到达地面,再步行到同一小镇.二人所经距离相等,求山和小镇的距离,以及巫师升空的高度.

 

  这是一个二次不定方程,注释者按图中的数字求得x=8

  在几何学方面,婆罗摩笈多对有理直角三角形即边为有理数的直角三角形很有兴趣.他给出了一般解a=2mnb=m2-n2c=m2+n2(mn是任意不相等的有理数),但没有证明.

  婆罗摩笈多对有理四边形的研究也取得了许多成果,不过,他没有认识到他所得到的结论仅适用于圆内接四边形.令(abc)(α,β,γ)分别是两个有理直角三角形的边,并有关系c2=a2+b2和γ2=a2+β2,则边为(cβ,αγ,cα,bγ)(cβ,cα,bγ,αγ)的两个四边形称为婆罗摩笈多四边形.例如,取(abc)(α,β,γ)分别为(345)(51213),便得到边为(25396052)(25603952)的婆罗摩笈多四边形.圆内接四边形的两个定理被称为婆罗摩笈多定理:(1)边为abcd

  (2)边为abcd的圆内接四边形的对角线长分别为

 

  和

 

  婆罗摩笈多还探讨了借助于一给定的正弦表求中间角正弦的方法.他所使用的插值法则等价于牛顿—斯特灵公式.

  婆罗摩笈多的一些数学结论夹杂着错误,例如计算边长为12的等边三角形的面积,他写为6×12;边长为101313的等腰三角形的


0,这也是不正确的.

  公元8世纪时,婆罗摩笈多的著作被带到巴格达,在皇室的支持下译成阿拉伯文,对当时阿拉伯的天文学和数学产生了一定影响.印度的一些天文表被阿拉伯人称为辛德军德(Sindhind),从发音上推测它们很可能取自婆罗摩笈多的《婆罗摩修正体系》,这些天文表在阿拉伯世界享有极高的声誉.