阿耶波多

湖南科学技术出版社 陈一心

 

  (Kusumapura);卒年不详.数学、天文学.

  阿耶波多是迄今所知最早的印度数学家.他的出生地拘苏摩补罗距现今的巴特拉不远.巴特拉在当时叫华氏城(Pātaliputra),是一座有名的古城.释迦牟尼晚年曾行教至此.华氏城先后是孔雀王朝、笈多王朝的都城.公元5世纪初,即阿耶波多出生前近一个世纪,中国的高僧法显曾在该城的佛教寺院里从事学术活动.

  阿耶波多在华氏城和拘苏摩补罗著书立说,属于拘苏摩补罗学派.他


书于公元499年,另一本天算书已经失传.《阿耶波多历书》包括“天文表集”(Dasagītikā)、“算术”(Ganitapāda)、“时间的度量”(Kālakriyāpāda)、“球”(Golapāda)等部分.该书于公元800年左右被译成拉丁文,有较大的影响.《阿耶波多历书》曾被多次评注,特别是在南印度,许多学者对该书进行过深入的研究.

  阿耶波多对数学作出了多方面的贡献.其中π值、正弦表和一次不定方程的解法是他的最有代表性的成果.

  在数学史上,π值即圆周率的计算占有重要的地位.在某种程度上,它反映一个国家数学发展的水平.中国魏晋时期,刘徽运用“割圆木”


时,祖冲之求得3.1415926<π<3.1415927,并得出两个重要的近似值:



  除中国以外,关于π值为3.1416的记载,也见于阿耶波多的著作中.阿耶波多指出:“1004再乘8,再加62000,就得到直径是20000




师承关系,尚待进一步研究.

  在三角学方面,阿耶波多以他制作的正弦表而闻名于世.希腊人托勒密(Ptolemy)早就制作过从0°到90°每隔半度的弦表,他把圆周分为360等份,每等份继续分为60小等份,另把半径分为60等份,对


失传的天文学著作《苏利耶历书》(Sūrya Sid-dhānta)中据说也载有正弦表,阿耶波多的正弦表很可能是在此表的基础上改进而成的.在制作过程中,他大概用了几何技巧和近似运算等数学知识.阿耶波多正弦表包含从0°到90°每隔3°45′的正弦值,它比较过去希腊人的弦表,有两点明显的区别:其一,把圆周分为360等份,每份继续分为60小等份,半径r也同圆周一样度量.于是,从圆周长=360×60=21600分及圆周长=2πr,得半径r=3437.746.略去小数部分,取近似值得r=3438.不再像希腊人那样,把圆周分为360份,而把半径另分为60份.阿耶波多默认曲线和直线可用同一单位度量,这无疑是一大进步.按照这种统一的度量法,即有sin7°20=449sin30°=1719,等等.其二,阿耶波多是计算半弦(相当于现在的正弦线)而不是全弦的长,这也是与希腊人不同的.阿耶波多称半弦为jiva,该词原意为猎人的弓弦.阿拉伯人将它译成dschiba.后来又误成形状相似的dschaib,这个词的原意为胸膛、海湾或凹处.12世纪时,它被蒂沃利(意大利中部,罗马之东)地方的柏拉图(Plato of Tivoli)意译成拉丁文sinus,“正弦”一词即来源于此.

  不定方程可以说是阿耶波多贡献最大的一个领域.他提出:如何决定一个整数N,使N除以整数ar1,除以整数br2,即N=ax+r1=by+r2,或by-ax=c,其中c=r1-r2.通过研究这类问题,阿耶波多建立了求一次线性不定方程by-ax=c(abc都是整数)的正整数通解的法则,并将此法则推广到解一次联立不定方程组.这项工作是走在当时世界前列的.阿耶波多的法则实际上就是辗转相除法.印度人称求解一次不定方程为库塔卡(Kuttaka),意思为碾细.阿耶波多开库塔卡的先河.按照他的学生婆什迦罗(Bhāskara )等人的解释,用现代数学语言表达,对by-ax=c(),不妨设ab互质.阿耶波多的解法如下:

  作辗转除法,可得到一系列的商和余数:

qq1q2q3,…qmr1r2r3,…rm+1

  其中,a=bq+r1

  b=r1q1+r2

  r1=r2q2+r3

  r2=r3q3+r4

  ……

  rm-2=rm-1qm-1+rm

  rm-1=rmqm+rm+1

  a=bq+r1代入方程()中,可得

by=(bq+r1)x+c

   y=qx+y1by1=r1x+c(.1)

   b=r1q1+r2代入(.1)中,得

x=q2y1+x1r1x1=r2y1-c (.2)

  按上法运算下去,并把所得的式子排成两栏,有

 

  互除可以进行到0,也可以进行到某一步为止.再分下列几种情况讨论:

  (1)假定互除进行到0,因为ab互质,倒数第二个余数是1.若序数是偶数,则有r2n=1r2n+1=0q2n=r2n-1.式(.2n)(.2n+1)分别为yn=q2nxn+cyn+1=c.给xn以任一整数值t,可得yn的一整数值.由(2n),又得到xn-1的值,一步步往回推,最后可得到xy的整数值;若序数是奇数,则可由式(.2n-1)(.2n)等求解.

  (2)假定互除在某一步停止.若序数是偶数,则有r2nyn+1=r2n+1xn+c


(2n+1),得yn的整数值.一步步往回推,可得xy的整数值;若序


使xn也为整数.由(2n),得xn-1的整数值.逆推可解出xy的整数值.

  显然,若x=α,y=β是方程by-ax=c的最小整数解,则 x=bm+α,y=am+β(m为任意整数)也是方程的解,这就是方程的通解.

  阿耶波多的法则,被他的学生婆什迦罗推广到解by-ax=-c,后来的印度数学家继续研究了这类不定方程问题,得到了其他一些结果.10世纪中,阿耶波多Ⅱ(Aryabhata )进一步改进了阿耶波多的法则,并指出运算可以简化及法则可能失效的情况.数百年来积累的这些成果,形成了印度数学中有名的库塔卡理论.

  在世界古代数学史上,不定方程也受到中国、希腊等国学者的注意.中国古代数学名著《九章算术》讨论了不定方程组问题,并指出解法:“如方程,以正负术入之”.即按线性方程组来解.古希腊学者丢番图(Diophantus)因研究不定方程很有成就,以至后人把求整系数不定方程的整数解称为解“丢番图方程”.丢番图研究的主要是高次不定方程,他解方程时只限于正根,认为负根出现则表明方程不合理.解二次方程的时候,即使两个根都是正根,他也只取一根.希腊学者在这方面的缺陷,被阿耶波多及后来的印度数学家弥补了.

  阿耶波多还有其他许多数学成果,例如印度的字母记数法,开平方、开立方法则,等等.他还引入了一些算术级数,它们在过去的印度典籍中没有发现过.但是,他关于求圆面积的公式显然取自早期的印度天算


《阿耶波多历书》是印度第一部重要天算著作.在书中,阿耶波多运用他提出的数学方法,计算了黄道、白道的升交点和降交点的运动,讨论了日月五星的最迟点及其迟速运动,推算了日月食的发生时间,并像中国人那样去推算上元积年.他还提出过地球自转的先进思想,可惜未被后来的天文学家所承认.

  阿耶波多在印度科学史上是有重要影响的人物,1975419日印度发射的第一颗人造卫星名为阿耶波多号,就是为了纪念他的.