帕波斯

辽宁师范大学 梁宗巨

 

  帕波斯(Pappus of Alexandria) 生于亚历山大,活跃于公元300350前后.数学、天文、地理.

  帕波斯是亚历山大晚期的数学家.确定他的生活年代,主要的依据是他在注释托勒密的书时提到他最近曾目睹一次日食.经考证,这次日食应发生在公元3201018日另外,赛翁(Theon of Alexandria,公元390年前后)编写的一份年代表,手稿现藏在莱顿,旁边有注释者的字迹.对着戴克里先(Diocletian,罗马皇帝,公元284305年在位)的名字写道:“此时帕波斯写作”.这和前面的日食年代出入不大,可能在戴克里先时代他还年青,刚开始写作.

  帕波斯有不少著作,唯一流传下来的正是最有价值的一种:《数学汇编》(Mathematical collection),简称《汇编》(Collection,或Synagoge)synagoge的希腊原文是συναγωγ,是收集,汇集的意思.《汇编》在历史上占有特殊的地位,这不仅仅是它本身有许多发明创造,更重要的是记述了大量前人的工作,保存了一大批现在在别处无法看到的著作.它和普罗克洛斯的《概要》是研究希腊数学史的两大原始资料.

  《汇编》原有8卷,卷Ⅰ和卷Ⅱ的前一部分已失传.各卷写于不同的年代,完成全书应在公元320年或340年之后.

  目前唯一完善的版本是F.胡尔奇(Hultsch)校订并翻译的希腊文与拉丁文对照本,包括非常宝贵的导言、注解和附录.唯一全部译成现代语的有PV.埃克(Eecke)的法文译本.选择其中一部分译出的则较多,而最早的拉丁文译本是F.科曼迪诺(Commandino15091575)作出的(1566),只是一部分.以后在1718世纪及近代又有多种摘要译本.

  公元4世纪,希腊数学已成强弩之末.“黄金时代”(公元前300200)几何巨匠已离去五、六百年,公元前146年亚历山大被罗马人占领,学者们虽然仍能继续研究,然而已没有他们的先辈那种气势雄伟、一往无前的创作精神.公元后,兴趣转向天文的应用,除门纳劳斯、托勒密在三角学方面有所建树之外,理论几何的活力逐渐凋萎.在此情况之下,总结数百年来前人披荆斩棘所取得的成果,以免年久失传,确是十分必要的.这项任务由帕波斯来完成.

  他为此目的写成《分析荟萃》(Treasury of analysis)一书,收录了欧几里得、阿波罗尼奥斯等人著作的重要部分,可惜此书已失传.后来又有《汇编》之作,其中的卷Ⅶ反映了《分析荟萃》的主要内容.《汇编》不是希腊数学的百科全书,它更像一本手册,必须和原著一起研读.但由于许多原著已经散失,《汇编》便成为了解这些著作的唯一源泉.

《汇编》内容简介

 

  失传的卷Ⅰ和卷Ⅱ的前13个命题大概和留下来的部分一样,是论述阿波罗尼奥斯的大数记法的,相当于以“万”(10000myriad)为底的乘幂表示法.

  卷Ⅲ分4节,第1节将几何问题明确地分为3类:1.平面(plane)问题,即可以用直尺圆规解决的问题;2.立体(solid)问题,要用立体(指圆锥)的截线,即圆锥曲线来解决.3.线性(linear)问题,用比圆锥曲线更复杂的曲线来解决,如螺线、割圆曲线(qu-adratrix),蚌线(conchoid)、蔓叶线(cissoid)等.这些曲线有的已有机械作图法.

  注意此处“线性”一词的用法和现代迥然不同.现在所谓“线性”就是“直线性”或“一次性”,但希腊当时的“线”包括直线和曲线,这里指的是曲线,还特别将直线及圆锥曲线排除在外.帕波斯指出求两线段的两个等比中项的问题(即倍立方问题)属于立体问题,这表明他已意识到不可能用尺规来解决.这一事实直到19世纪才获得严格证明.

  接着他给出埃拉托塞尼、尼科米迪斯及海伦三家的倍立方问题解法.最后补充声称是自己的第4种解法,这和欧托基奥斯所说的斯波拉斯(Sporus of Nicaea)解法大同小异.

  2节讨论各种中项(平均):等差中项、等比中项、调和中项等.记载某一位几何学家(没有指名)给出下述的关系:设ADC是以O为心,AOC为直径的半圆,BOC上任一点,作BDAC交半圆于D,连OD,作BFOD.则ODBD分别是ABBC的等差、等比中项,这是明显的.又FDABBC的调和中项,帕波斯对此没有给出证明,实际证明很容易.除此以外,还讨论了其他6种中项.

 

  3节有一系列的命题,直接抄录自艾里西诺斯(Erycinus)的《悖论集》(Paradoxes),内容和欧几里得《几何原本》卷Ⅰ第21命题有关.这命题是:从△ABC底边BC的两端点BC作直线交于三角形内一点P,则构成的△BPC两边之和BP+PCBA+AC.帕波斯证明了如果直线不从两端点而是从BC上某一点D出发,则构成三角形的两边之和可以等于或大于原三角形两边之和.例如在直角三角形ABC中,在底边BC上取一点D,连AD,在其上取E使DE=BA,取EA的中点P,连PC,则DP+PCBA+AC.其余的命题与此类似,但复杂得多.

  4节论述如何作球的内接五种正多面体、和《几何原本》卷ⅩⅢ的方法不同.

  帕波斯并不是单纯照录前人的工作,他随时提出自己的见解,包括对已有知识的修正、补充、评论、引伸,也有些完全是独创的.但他没有处处都指明来源,以致常常分不清是谁的研究成果或者是他本人的发明.

  卷Ⅳ第1节是勾股定理(《几何原本》卷Ⅰ47命题,西方名为毕达哥拉斯定理)的推广.设△ABC是任意三角形,在ABAC上各任作ABDE ACFG,延长DEFG交于H,连AH.则ABDEACFG之和等于以BCAH为边,夹角为∠ABC+DHA的平行四边形.

 

  如图所示,延长HABCK,作CMAHBLAH.则不难证明。BCML等于ABAC上的两个平行四边形之和.

  这一节还有若干圆相切的问题.

  2节是引起人们极大兴趣的“皮匠刀”(shoemakers knife,ρβηλο)问题.所谓“皮匠刀”,是三个半圆所包围的部分,两个小半圆外切,又同时内切于大半圆.阿基米德在《引理集》(Bookof Lemmas)中曾经给出这图形的一些性质.帕波斯进一步加以探索.

 

  在大半圆的直径AB上任取一点C,以ACCB为直径分别作半圆,就得到“皮匠刀”.设在“皮匠刀”内有一连串互相外切的圆Q1Q2Q3,…(同时又切于圆形的边缘),其直径依次为d1d2d3,….从各圆的圆心向AB作垂线P1Q1P2Q2P3Q3,…,帕波斯证明了

P1Q1=d1P2Q2=2d2P3Q3=3d3,….

  接着还讨论了其他种种的情形.

  这一卷的其余部分主要讨论一些特殊曲线和怎样利用这些曲线去解决“三大问题”.首先是阿基米德螺线,他用不同于阿基米德的方法巧妙地求出第一圈和始线所包围的面积.

  其次描述了尼科米迪斯发明的蚌线,并用蚌线解倍立方问题.

  尼科米迪斯的著作已失传,有赖帕波斯和其他学者的记载,他的成果才保存下来.

  接着阐述了“割圆曲线”,这曲线最初由希皮亚斯(Hippias of

  Elis,公元前400)提出,后来狄诺斯特拉托斯(Dinostratus)和尼科米迪斯都研究过并用来“化圆为方”(作一正方形等于已知圆的面积)

  帕波斯给出两种利用“曲面轨迹”(surface-loci)产生割圆曲线的方法,一种是用柱面螺旋线(cylindrical helix),一种是以阿基米德螺线为底的直柱.他还陈述一种“球面上的螺线”(spiralon a sphere):设球面上的子午圈(通过南北两极的大圆)以过两极的球直径为轴匀速旋转;在子午圈上有一点,从北极出发匀速向赤道移动,当子午圈旋转一周回到原来的位置时,此点同时到达赤道,此点的轨迹叫做“球面上的螺线”.

  最后帕波斯列举了各种三等分任意角的方法.包括双曲线解法,阿基米德螺线解法,割圆曲线解法等,还将一个角分成给定比的两部分.

  特别值得注意的是帕波斯在这里用到了圆锥曲线的焦点准线性质,又在卷Ⅶ中给出证明:设一动点至一定点的距离与至一定直线的距离之比等于常数,则动点的轨迹是圆锥曲线.当这个常数等于1时是抛物线,小于1时是椭圆,大于1时是双曲线.

  奇怪的是在整个阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》中竟没有这个性质(或定义),只提到椭圆和双曲线的焦点而没有提抛物线的焦点.至于在他之前的阿里斯泰奥斯(Aristaeus,约公元前340)和欧几里得是否已知这一性质,未有定论.

  卷Ⅴ讲的是“等周问题”(isoperimetry),前面的序言有一段非常精采的关于“蜜蜂的机敏”的描写:

  “蜂房是蜂蜜的容器,它是许许多多的六棱柱形,一个挨一个,中间没有一点空隙.这种设计的优点是避免杂物的搀入,弄脏了这些纯洁的产品.蜜蜂希望有匀称规则的图案,也就是等边等角的图形.……铺满整个平面区域的正多边形一共只有三种:正三角形、正方形和正六边形.蜜蜂凭着本能的智慧选择了角最多的六边形.因为使用同样多的材料,六边形比三角形和正方形具有更大的面积,从而可贮藏更多的蜜.人的知慧比蜜蜂更胜一筹,我们能够研究更一般的问题,知道在周界相等的正多边形中,角越多面积越大.周界相同,面积最大的平面图形是圆”.

  帕波斯如果进一步观察蜂房的底部,会令他更加惊奇,那是由三个相同的菱形组成的,菱形的一个角总是109°28′.这引起18世纪时学者们一系列的研究.

  本卷第1节介绍和补充芝诺多罗斯(Zenodorus,约公元前180)的工作,他曾著《论等积形》(On isometric figures)一书,已失传,若干命题保留在赛翁(Theon of Alexandria)给托勒密《天文集》卷Ⅰ所作的注释中.帕波斯所列举芝诺多罗斯的命题有:

  (1)周长相等的正多边形中,边数越多的面积越大;

  (2)圆面积比有同样周长的正多边形面积大;

  (3)周长相等的n边形中,正n边形面积最大;

  (4)表面积相等的立体中,球的体积最大.

  帕波斯补充了一个命题:周长相等的弓形中,半圆的面积最大.

  2节比较各种表面积相等的立体的体积.帕波斯并不企图证明球体积比一切表面积相等的立体都大,只是证明比表面积相等的正多面体以及锥体、柱体的体积大.

  3节记述了阿基米德发现的13种半正多面体,这是别的资料所没有的.半正多面体就是由若干类的正多边形构成的多面体,每一类正多边形必须相等,例如18个相等的正方形和8个相等的正三角形构成一个26面体.

  4节是和阿基米德《论球与圆柱》(On the sphere and cyl-inder)有关的一些命题.

  5节证明了5种正面体若有相同的表面积,则面数越多,体积越大.

  卷Ⅵ主要讲天文学,指出许多书中的遗漏和错误.有的是疏忽造成的,有的表达不够确切,也有的可以进一步改进,提到的书有托勒密《小天文学》(Little astronomy),西奥多修斯(Theo-dosius of Bithynia)《球面学》(Sphaerica)、《论昼夜》(On daysand nights),门纳劳斯《球面学》(Sphaerica),奥托利科斯(Auto-lycus of Pitane)《运行的天体》(On moving sphere),还有欧几里得《现象》(Phaenomena)、《光学》(Optics)等.

  卷Ⅶ是全书最重要的一卷,它除了保存大量已失传的著作外,更难能可贵的是富有启发性的思想,对后来数学的发展有深刻的影响.他收集了12种书,视为几何学的精华,构成他的《分析荟萃》.他认为通过《几何原本》的学习之后,要登堂入室,达到更高的境界,就要掌握这些知识.

  他列举的书除了欧几里得《已知数》(The data)和阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》(Conics)之外,其余10种均已失传.计有:欧几里得《推论集》(Porisms)、《曲面轨迹》(Surface-loci);阿波罗尼奥斯《截取线段成定比》(Cutting-off of a ratio)、《截取面积等于已知面积》(Cutting-off of an area)、《确定的截线》(Deter-minate section)、《论接触》(Contacts)、《倾斜》(Inclinations)、《平面轨迹》(Plane loci);阿里斯泰奥斯(Aristaeus)《立体轨迹》(Solid loci);埃拉托塞尼《论平均值》(On means)

  帕波斯用“分析”作为书名,为了明确起见,他在本卷之首,先给出“分析”与“综合”的定义.这本来是哲学或逻辑学的术语,是指思维的一种基本过程和方法.分析是把事物分解为各个属性、部分、方面,而综合是把事物的各个属性、部分、方面结合起来.但在数学中,意义完全不同.分析法是由结论推到前提的方法,即先假定结论是真的,倒推回去,推出一已知为真的命题.又如果每一步都是可逆的,就等于证明了从已知命题可以推出结论.在几何作图题中,常常先设图形已经作出.然后进行推理,从中发现图形的性质,于是找到作图的方法.这一步骤叫做分析,现在仍然是常用的方法.粗略地说,分析法就是一种倒推法.而综合法的过程与此相反,是由已知推出所要证明的结论.这种定义最早记载在欧几里得《几何原本》卷ⅩⅢ第1命题的后面,是后人补充上去的.最先提出这个定义大概是欧多克索斯(Eu-doxus),帕波斯在这一卷里再一次加以肯定.

  帕波斯在介绍各家的学说时,常提出自己一些新的见解.他综述了阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》,其中卷Ⅲ有关于“34条直线的轨迹”问题:设p1p2p3p1p2p3p4是一点到34条固定直线的距离(或者是垂直距离,或者量距离的直线与固定直线交于一定

线的情形),其中λ是常数,则点的轨迹是圆锥曲线.帕波斯将它推广到5条或6条直线:设一点到5条或6条固定直线的距离为p1,…,p5p1,…p6,若,p1p2p3=λp4p5ap1p2p3=λp4p5p6,其中a是一给定线段的长,则点的轨迹也是一条确定的曲线,但这曲线(自然比圆锥曲线复杂)尚未被研究出来.

  他进一步推广到任意条固定直线的情形,这里遇到一个困难.当时希腊人将两条线段的乘积看作面积,3条线段的积看作体积,3条以上的积没有几何意义,应该避免出现.帕波斯巧妙地用复比的办法来克服了这一困难,因为两条线段的比已不是线段,若干个比可以任意相乘.于是命题可以表达为:若一点到n条固定直线的距离为p1,…,pn,如果

  

  则点的轨迹是一确定的曲线.

  这问题的历史意义在于,他提出了一个重要的轨迹问题,启发人们去思考.一千多年之后,终于导致一个新领域——解析几何的诞生.笛卡儿(1637)用代数方法去研究“多条直线问题”,这是促使他去创立解析几何的主要动机之一.他在《几何学》(La Géo-métrie)中用大量的篇幅征引了帕波斯的著作(拉丁译文)并从这一问题入手去阐发坐标几何思想.牛顿在《自然哲学之数学原理》第1编第5章也详细讨论了“4直线轨迹问题”,用纯粹几何方法去证明轨迹是圆锥曲线.

  帕波斯另一项值得称道的贡献是提出后来称为“古尔丁定理”的命题:“封闭的平面图形围绕同一平面内且不与之相交的轴回转,所产生的体积等于这图形面积乘以图形重心所描画出的圆周的长”.他还进一步断言:“可以将封闭平面图形改成一段平面曲线,它回转所产生的曲面面积等于曲线的长乘以其重心所画过的圆周的长.”帕波斯只叙述而没有证明.后来古尔丁在他的书(16351641)中重提这个定理,实际上他也没有证明,只是作了“形而上学的推理”(metaphysical reasoning).卡瓦列里(BonaventuraCavalieri15981647)指出这一缺陷后用自己创立的“不可分法”(method of indivisibles)去证明它.

  帕波斯在介绍上述各种著作时,原是为了便于读者理解,先给出一系列引理.而现在却可以通过这些引理去推测已失传著作的内容.这些引理也有其本身的价值,它包活很多新的思想.例如已经出现属于射影几何学的一些概念,如对合(involution)、非调和比(anharmonlc ratio,即 cross ratio,交比)等.这些概念未必是他的发明,但至少已熟练掌握,为后世的射影几何研究提供了线索.

  根据引理的内容,可以推断阿波罗尼奥斯《确定的截线》一书实际相当于一部“对合的理论”.交比的概念出现也很早,门纳劳斯(公元100)在《球面学》中已用到球面上的交比性质.

  帕波斯有一些引理可以归入几何代数学的范围,即用几何的形式表达代数的内容.例如,设ax=by,则

 

  最有名的是为欧几里得《引理集》所作的引理13(即命题139)ABC是一直线上的3点,A′,B′,C′是另一直线上的3点,AB′与AB交于ZBC′与BC交于XCA′与CA交于Y,则XYZ三点共线.这命题一直被称为“帕波斯定理”.

 

  卷Ⅷ的主要内容是力学.他在序言中极力维护力学是数学一部分的主张,强调力学的价值绝不仅仅因为有实际应用.本卷一开始就给出重心的定义:物体的重心是这样的点,如果在那一点将物体悬挂起来,物体就静止不动,不管放的位置如何.接着研究斜面的作用,指出通过5个已知点作圆锥曲线的方法.解决作7个全等的正6边形内接于一个圆的问题,还论述了齿轮、螺钉、杠杆和滑轮等.

  帕波斯还写过关于地理、音乐、流体静力学等方面的书,注释过托勒密、欧几里得的著作.他是博学多才的,主要的贡献是收集、总结、补充和评述几乎是整个希腊时期的学术工作,使它流传下来并发扬光大,其功不可磨灭.