丢番图

 

辽宁师范大学 梁宗巨

 

  丢番图(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活跃于亚历山大.教学.

  丢番图生存的年代,是根据下面的记载来确定的.在他的著作《多角数》(De polygonis numeris)中,引用了许普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria,约公元前175)关于多角数的定义,而赛翁(Theon of Alexandria)的书又引用丢番图的著作.这样界定的上、下限是公元前175年到公元390年.另外,MC.普赛勒斯(Psellus1018—约1078)写过一封信,提到阿纳托利厄斯(Anatolius,约公元280)将他所著的关于埃及计算方法的小册子献给丢番图,因此两人应同时代或丢番图稍早.据此断定丢番图的活跃时期是公元250年前后.

  丢番图将他的杰作《算术》(Arithmetica)献给迪奥尼修斯(Dionysius).历史上用这一个名字的有好几个,估计这一个是亚历山大的迪奥尼修斯,他是当地的主教.在任主教(公元247)之前,曾在那里建立基督教学校(从公元231年起).丢番图的《算术》可能就是为这些学校编写的教科书.这种推想是合情合理的,年代也和前面所说的一致.

  关于丢番图的生平,还有一则别开生面的记载.在一本《希腊诗文选》(The Greek anthology)中,收录了丢番图奇特的墓志铭:

  坟中安葬着丢番图,

  多么令人惊讶,

  它忠实地记录了所经历的道路.

  上帝给予的童年占六分之一,

  又过十二分之一,两颊长胡,

  再过七分之一,点燃起结婚的蜡烛.

  五年之后天赐贵子,

  可怜迟到的宁馨儿,

  享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓.

  悲伤只有用数论的研究去弥补,

  又过四年,他也走完了人生的旅途.

  这相当于方程

  

 

  x=84.由此知他享年84岁.

 

丢番图的著作

 

  确实知道他有两种著作,一是《算术》,大部分保存了下来;另一种是《多角数》,只有少部分留下来.还有两种书,一是《推论集》 (Porismata)它只是在《算术》中几次提到,可能是若干数论问题的汇编,独立成册,也可能是附属在《算术》中的失传部分.此外,伊安布利霍斯(lamblichus,约公元250—约330)所著《尼科马霍斯〈算术〉评注》一书的注释者还提到丢番图另外一本书《分数算法》(Moriastica),它记载了分数计算的法则,可惜已失传.

  丢番图的《算术》是一部划时代的著作,它在历史上影响之大可以和欧几里得《几何原本》(Elements)一比高下.这书的序中说,全书共分13卷.可是现在见到的希腊文本只有6卷.长期以来,大家都认为其余的7卷早在10世纪以前已经失传.5世纪时希帕提娅(Hypatia)注释这部书,只注了6卷,也许这正是其余部分被人忽视终致失传的原因.

  近年来,发现4卷阿拉伯文本,改变了传统的看法.1973年,G.图默(Toomer)获悉在马什哈德圣地(Mashhad Shrine)图书馆有一本阿拉伯文手抄本,经过研究,确认为《算术》的失传部分(但还不全).这是由古斯塔伊本卢加(Qustā ibn Lūqā,活跃于860年前后)译成阿拉伯文的.后来J.塞夏诺(Sesiano)将它译成英文并加以详细注释([6]).经过反复推敲,塞夏诺指出这4卷在《算术》中原来的位置应该是紧接着希腊文本卷123的卷4567,而希腊文的其余部分应是卷8910.下面将按这新的顺序编排来介绍它的内容.

  原来的6卷希腊文本,最初是J.雷格蒙塔努斯(Regiomontanus14361476)发现的.1464215日,他写信给L.比安基(Bianchi),提到他在威尼斯找到了丢番图的《算术》,从此西方学术界才知道有6卷希腊文手抄本流传下来.最早的拉丁文译本是G.克胥兰德(Xylander15321576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sexet de numeris multangulis liber unus(《亚历山大的丢番图算术6卷,多角数1卷》).以后又有C.-G.巴歇(Bachet de Méziriac15811638)校订注释的希腊-拉丁文对照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sexet de numeris multangulis liber unus(《亚历山大的丢番图算术6卷,多角数1卷》).关于这个译本,有一段饶有趣味的历史.1637年左右,Pde费马(Fermat16011665)读到这译本第2卷第8题:“将一个平方数分为两个平方数”时,在书页的空白处写出了著名的“费马大定理”.

  1670年费马的儿子Sde费马(Fermat)将他父亲的全部批注插入正文,重新出版巴歇的希-拉对照本近代,不包括新发现4卷的“丢番图全集”,标准的版本是P.唐内里(Tannery18431904,法国数学史家)编辑、校订的希-拉对照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis commentariis(《亚历山大的丢番图全集,包括希腊文注释》).最流行的英译本是TL.希思(Heath18611940)的“Diophantus of AlexandriaA Study in the history of Greek algebra(《亚历山大的丢番图,希腊代数学史研究》).此外,还有德、法、英、俄及现代希腊语等多种译本.

 

代数学的特征

 

  希腊时代“算术”(arithmetica)一词,主要指“数的理论”而言,大致相当于现在的“数论”.而数字的加、减、乘、除等运算则叫做“计算的技巧”(logistica),和前者有明显的区别.这种分法从毕达哥拉斯时代开始,一直延续到近代,例如CF.高斯(Gauss)的数论名著就叫做《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae1801).丢番图《算术》也是讲数论的,它讨论了一次、二次以及个别的三次方程,还有大量的不定方程.现在对于具有整系数的不定方程,如果只考虑其整数解,这类方程就叫做丢番图方程,它是数论的一个分支.不过丢番图并不要求解答是整数而只要求是正有理数.

  从另一个角度看,《算术》一书也可以归入代数学的范围.代数学区别于其他学科的最大特点是引入了未知数,并对未知数加以运算,根据问题的条件列出方程,然后解方程求出未知数.算术也有未知数,这未知数一般就是问题的答案,一切运算只允许对已知数来施行.在代数中既然要对未知数加以运算,就需要用某种符号来表示它.就引入未知数,创设未知数符号以及建立方程的思想(虽然未有现代方程的形式)这几方面来看,丢番图《算术》完全可以算得上是代数.当时代数学没有专门的名称,algebra9世纪花拉子米(alKhowarizmi)以后才出现的名称,而且直到17世纪还没被欧洲人普遍接受.丢番图将这方面的成果冠以算术之名是很自然的.他被后人称为“代数学之父”也是有一定道理的.

  希腊数学自毕达哥拉斯学派以后,兴趣中心在几何,他们认为只有经过几何论证的命他才是可靠的.为了逻辑的严密性,代数也披上了几何的外衣,一切代数问题,甚至简单的一次方程的求解,也都纳入僵硬的几何模式之中.直到丢番图,才把代数解放出来,摆脱了几何的羁绊.例如,(ab)2=a2+2abb2的关系在欧几里得《几何原本》中是一条重要的几何定理(卷Ⅱ命题4),而在丢番图《算术》中只是简单代数运算法则的必然结果.

  下面通过一个例子来说明丢番图解决问题的手法.卷Ⅱ第20题:求两数,使得任一数的平方加上另一数等于一个平方数.([10]p101)这相当于不定方程

x2+y=m2

y2+x=n2

  要求所有的未知数xymn都是正有理数.

  丢番图只设一个未知数,也只使用一个未知数的符号,这是他的特点之一,今暂记作x.其余的未知数根据问题的具体条件用含x的一个简单式子表示出来.本例的条件是x2加上另一个未知数等于一个平方数,故可设这个未知数是2x+1,因为x2+ 2x+1正好是一个完全平方.其次,还应该满足

(2x+1)2+x=平方数.

  丢番图设右端是(2x-2)2,显然是想使展开后左右两端相同的4x2

-2是怎样来的?不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2

  原文很简单,没有说明这样设未知数的理由,更没有给出一般的法则.他虽然知道问题有多个答案,但常常得到一个答案就已满足.他认为代数方法(可理解为一种倒推法,先假设未知数存在,列出方程然后求解)比几何的演绎陈述更适宜于解决问题.解题的过程中显示出高度的巧思和独创性,在希腊数学中独树一帜.有的数学史家说,如果丢番图的著作不是用希腊文写的,人们就不会想到这是希腊人的成果,因为看不出有古典希腊数学的风格,从思想方法到整个科目结构都是全新的.如果没有丢番图的工作,也许人们以为希腊人完全不懂代数.有人甚至猜想他是希腊化了的巴比伦人.

 

代数符号

 

  GHF.内塞尔曼(Nesselmann18111881)根据符号使用的情况,将代数学分为三类([12]pp301306)(1)文词代数(rhetorische algebra),完全用文字来叙述而不用符号;(2)简字代数(synkopierte algebra)(3)符号代数(symbolischealgebra),除了个别地方,一切全用符号来表示.按照这个分类,丢番图《算术》应该属于第二类.符号的使用,在数学史上是一件大事.一套优良的符号,绝不仅仅是起到加快速度、节省时间的作用,它能够准确、深刻地表达某种概念、方法和逻辑关系.一个较复杂的式子,如果不用符号而日常语言来表述,会十分冗长而含混不清.符号的发明在数学史上是一次飞跃,也是代数的特征之一,其作用是不容低估的.丢番图创设了一些符号,多半采自相应文字的字头,而问题的叙述主要仍然是用文字,和现代的符号代数相去甚远,只可算是较原始的简字代数.


  号来表示它.由于丢番图本人的原始手稿早已失传,后人传抄的手稿上这个符号又不很统一,故很难确知他用的是什么符号.不过几种手稿都

  

记数法系统是用字母表数,如α,β,γ,δ,…分别表示1234…;ι,κ,λ,μ,…分别表示10203040,…;ρ,σ,τ,υ,…分别表示100200300400,…等等,24个字母


  值得注意的是,在一份大约写于2世纪的纸草书上,也出现和丢番图未知数相类似的符号,上面所列的三个算题,解题方法也具有丢番图的风格.可以想象,丢番图的工作不是孤立的,他受到强烈的外来影响.

  丢番图所处理的问题大部分是多元的,但他只设一个未知数的符号,相当于现在的x.而和x2x3,…,x4相当的各次幂,都有专门的名称和符号:

    名称                     符号

  
  

  符号是名称的缩写,注意Δ,Υ,Κ是字母δ,υ,κ的大写.这些乘幂的倒数也有专名和符号,6次以上的幂不再创设符号.未知数的系数




相乘的法则:“‘缺乏’乘以‘缺乏’得到‘存在’;‘缺乏’乘以‘存在’得到‘缺乏’”,即负乘负得正,负乘正得负,

  由于没有加号,书写时所有的负项都放在减号的后面,如x3-5x2+8x-1写成

  原意是“属于部分”,相当于“除以”或分数线/),接着写分母.例如卷10(原希腊文本卷6)19题,将

(2x33x2x)/(x2+2x+1)

  写成



  这已非常接近现代方程的形式.最后一个符号表示数字6,是希腊字母表以外的记号,读作digamma

  丢番图创用符号是一大进步,美中不足的是只用符号表示一个未知数,遇到多个未知数时仍用同一符号,这使得计算过程越来越晦涩.为了避免混淆,不得不运用高度的技巧,但这常常使方法失去普遍性.89世纪以后,阿拉伯人吸取了许多希腊人的成果,然而却没有看到符号的优点,花拉子米等人完全回到文词代数上去,这是历史上的倒退.

 

《算术》的典型问题和解答

 

  ()一、二、三次方程《算术》没有系统地给出一、二次方程的解法.大概是一元一次方程太简单,没有必要单独论述,实际它已包含在axn=b类型的方程之中.经过移项、消去等手续,有些问题化为这类方程之后,立即得到解答.不管答案有几个,丢番图仅满足于一个答案.他完全排斥负数解答,例如卷9(原希腊文本卷5)2题最后化为4=4x+20,他认为是荒谬的.无理数的解答也不取。如卷731题,最后得3x18=5x2,他说这方程是不合理的,还反过来考虑怎样改变系数,才使得答案“合理”(即为有理数).对于答案x=0也是弃之而不顾.

  关于二次方程,丢番图在序言中就说过要给出完整的解法,但在现存的各章中均未见到,很可能恰好写在失传的部分或别的什么地方.另一种意见认为二次方程的解法早已为巴比伦人所知,可以作为阅读本书的预备知识,不必另作介绍.([6]p76)

  不管怎样,书中确实出现了若干二次方程或可归结为二次方程的问题,希思就列举了十几个例子,其中包括二次不等式.这些例子足以说明丢番图熟练掌握了二次方程的求根公式.当然仍然是限于正有理根.有的学者认为他不知道二次方程可能有两个根,这是很难令人相信的.不过他始终只取一个根,如果有两个正根,他就取较大的一个.

  较简单的例子如第127题:两数之和是20,积是96,求这两数.解法是:设两数分别是10+x10-x,于是(10+x)(10-x)=102-x2=96x2=4x=2,两数是128

  128题:两数之和是20,平方和是208,求这两数.同样设两数是10+x10-x,则(10+x)2+(10-x)2=208x=2,两数是128

  较复杂的含一次项的例子如831题,最后得到325x2=3x+18;应有两根x=6/25-3/13,只取正根,负根不提.

  更复杂一点的例子是卷910题,导致不等式

17x2+1772x19x2+19

  相当于不等式组

 

  正确的答案应该是

β1x<β2,α2x<α1

  其中

 

  是方程17x2-72x17=0的两个根.

 

  是方程19x2-72x+19=0的两个根.

  遇到两个正根的时候,丢番图只取较大的,故只取α2x<α1,对于无理数,则取近似值.但要保证x落在区间(α2,α1)内,α2只能取过剩近似,而α1只能取不足的.丢番图将

 

  分子的小数部分略去,均取不足近似值,给出答案

  

这里可以看到丢番图的局限性.用现代的理论,要找出较好的答案是不难的,例如可取

 

  全书唯一的一个三次方程,出现在卷10(原希腊文本卷6)17题:

  求直角三角形的三边,已知它的面积加上斜边是一个平方数,而周长是一立方数.

  这相当于

 

  其中abc是三边.

  

a=2b=x,而c=M2-x,暂设为16-x,于是周长abc=16-x2x=18,但18不是立方数.仍假设它是一个平方数加2,现改变这个平方数,使它加2后成为立方数.即找两个数MN,满足M22=N3.现设M=m1N=m-1,代入得

m2+2m+3=m3-3m2+3m-1

  于是有m=4

  他显然省略了下面的步骤,合并同类项,得

4m2+4=m3+m

  约去因子m2+1

  由此知M2=25N=27.仍设面积为x,而将斜边改为25-xa=2b=x,根据勾股定理

x2-50x+625=x2+4

  即得

 

  在《算术》遗失的章节中是否还有三次方程的专门论述,不得而知.

  ()不定方程

  1.卷28题:将一个已知的平方数分为两个平方数.例如将16分成两个平方数.

  设一个平方数是x2,那么另一个是16-x2,现要求16-x2是一平方数.即

16-x2=M2

  不妨设M=mx-4,其中m是某一整数,而416的平方根.例如令m=2,于是

16-x2=4x2-16x+16

  立刻得到

 

  前面已经提到,费马对这一命题很感兴趣,在旁边的空白处写下著名的“费马大定理”.

  2、卷4(阿拉伯文本)3题:求两个平方数,使其和是一个立方数.(见[6],pp89286)

  设较小的平方数是x2,较大的平方数是4x2,其和5x2必须是立方数M3,不妨设Mx的某一倍数,比方说就设它是x,于是5x2=x3x=5.所求的两个平方数是25100,其和等于53=125

  丢番图照例不说明所作假设的理由,更不给出一般的解答,既然是不定方程,找到一个答案就算完结.本例实际上可作更一般的假设.设


给出一般的解,是极个别的情形.如8卷39题,由方程3x2+12x+


6倍增加12,除以数的平方与3的差.

  3.高阶不定方程.卷818题:求两数,使得第一数的立方加上第二数是一个立方数,而第二数的平方加第一数是一个平方数.相当于联立不定方程

 

  设第一数是x,则第二数是一个立数M3减去x3,暂设这个立方数是8,第二数是8-x3,它的平方加上第一数是

64-16x3+x4+x=N2

  可设N是三次式x3+8,因为展开后即将x4及常数64消去.合并同类项后得x=32x3,约去xx2=1/32.这不是一个平方数(平方根不是有理的),问题仍未得到解决.

   观察32的来源,它是2·2·8的结果,而8是开头暂设的立方数M3,设法改变M的值,使4M3=平方数,不妨令这平方数是16M2,于是4M3=16M2M=4

  仍设第一数为x,重新设第二数为64-x3,它的平方加上第一数

4096-128x3+x4+x=(x3+64)2

  

 

丢番图的方法

 

  现存的《算术》以问题集的形式收录了290个题目,其中希腊文本189个,阿拉伯文本101个,此外还有十几个引理和推论,合起来共三百多个问题.大体上按由易到难排列,但很难看得出是用什么标准来分类的.解题的方法更是五花八门,没有一定的法则.数学史家H.汉克尔(Hankel18391873)说:“近代数学家研究了丢番图的100个题后,去解101个题,仍然感到困难.……丢番图使人眼花缭乱甚于使人欣喜”.(见[15],p165;[16],p36)这话稍嫌夸张,却抓住了问题的要害.丢番图没有着力去探求一般性的解法,或去深究丰富多采的解法之间的内在联系,这是《算术》的最大缺点.

  有两件事自始至终防碍他取得普遍性的方法.首先,他只用一个符号表示未知数,遇到多个未知数时,不得不用“第一个、第二个、第三个、……”或“大的、中的、小的…”等词句去表达.在多数的情况下令那些未知数取得具体的数值,于是使问题特殊化而得不到普遍的解答.其次,没有创用符号去表示数(如现在的nabc,…一样),因此所有的解法都是针对具体数字而设的,对一般的数就不一定适合,这样当然得不到一般的解法.

  尽管如此,后人仍然从中摸索出若干常用的方法,下面仅举几个简单的例,以见一斑.

  (1)利用一些恒等式,如

 

  可使两数的积与和、差互化.如卷211题:求一数,使其加上2是一平方数,加上3也是平方数.即

 

  (2)两数和为已知数M,或两数一大一小,通常设这两数是MxM-x,然后使其满足其他条件.如前面举过的卷128题.

  (3)《算术》除卷1外,其余的几乎全是不定方程,特别是牵涉到平方数、立方数.常出现一个或多个这种类型的方程:

Ax2+Bx+C=M2

  可设Mx的一次式,适当选择系数使展开后可消去二次项或常数项.

  (4)使问题特殊化.为了减少未知数的个数,先令某些未知数取满足一定条件的具体数值,以后不合适时再改变原先的假设.

  (5)近似法.令未知数取某种类型的数值,且满足一定条件,这样先求出近似答案,并在计算过程中发现求得正确答案的途径.

  以卷99题为例:将1分为两部分,使一个已知数加上任何一部分都是平方数.

  设这个已知数是6,问题于是转化为将13分为两个平方数,使每一个平方数都>6,即13=M2N2M26N26


 

(3-9x)2+(211x)2=13

  

  丢番图没有进一步推广,实际上,如设

(3-mx)2+(2+nx)2=13

  选择mn,使满足

  

数和是1,每一个加上6都是平方数.如令m=13n=16,则得另一组

 

其他著作

 

  丢番图的《多角数》只残存一部分,它证明的方式纯粹是几何的,倒很接近古典希腊的风格,而和《算术》迥然不同.多角数(polygonal number)是形数(figurate number)的一种.用点子表示数,可以构成各种平面或立体图形,这个数叫做形数.如6个点构成一个三角形,6就是三角数.同样,15122235,…都是五角数,如22个点构成一个正五角形,它的边是4(每边有4个点,用n表示这个数),角数是5(a表示)na与总的点数P之间有公式联系起来:

 

  多角数是一个古老的课题,源出于毕达哥拉斯,后经菲利波斯(Philippos,公元前360年前后)、斯皮尤西波斯(Speusippus,公元前340年前后)等人研究.上述公式是许普西克勒斯(公元前175年前后)给出的,丢番图在《多角数》中加以引用并推广,还建立了其他的公式.

  另一本著作《推论集》载有若干数论的引理及推论,可以看作《算术》的一部分或补充.

 

来源及影响

 

  从古代埃及、巴比伦的衰亡,到希腊文化的昌盛,这过渡时期没有留下什么数学典籍,所以现在的了解是不够的.巴比伦人在代数方面(如二次方程、不定方程)有很高的成就,丢番图的技巧和他们颇有相似之处.例如S.甘兹(Gandz)指出,《算术》卷210(将已知数分为二个平方数之差)已在巴比伦的泥板上见到.见[17],pp1314)丢番图常满足于问题的解决(得到一个解)而不去追求方程的全部解,《算术》与其说是代数教科书,不如说是一本问题集,这些地方都和巴比伦数学相仿.他的工作有时被说成是“盛开的巴比伦代数的花朵”.

  不管丢番图受到巴比伦人的多少影响,他毕竟大大超越了前人,在数论和代数领域作出了杰出的贡献,开辟了广阔的研究道路.如系统地使用了符号,深入讨论了抽象的数而不是埃及、巴比伦数学中具体的麦粒数目、田亩的面积或货币的单位.这是人类思想上一次不寻常的飞跃,不过这种飞跃在早期希腊数学中已出现.巴比伦人曾致力于将三次方程化为n3+n2=a的形式,以便借助数表去求近似解,而丢番图的兴趣是求精确的有理数解.在多方面显示出惊人的睿智和独创性.

  89世纪以后,丢番图的著作传到阿拉伯国家,产生巨大的影响,出现多种翻译和注释本.如凯拉吉(al-Karajī或alKarkhī,活动于1020前后)的代数著作《发赫里》(al-Fakhrī)就直接引用《算术》前3卷的若干题目.在欧洲,L.斐波那契(Fibonacci,约1170—约1250,意大利人)的《算盘书》(Liber abaci1202)最早载有丢番图类型的问题,他显然是通过阿拉伯文本去熟悉丢番图的.近代数学家如费马、F.韦达(Vieta)、欧拉、高斯等也都受到丢番图的许多启发,各自取得巨大的成就.总而言之,丢番图的《算术》虽然有许多不足之处,但瑕不掩瑜,它仍不失为一部承前启后的划时代著作.