海伦

 

辽宁师范大学 梁宗巨

 

  海伦[Hero(Heron)of Alexandria] 约公元62年前后活跃于亚历山大。数学、物理、气体力学、机械学.

生存的年代

 

  海伦生活的年代可能是历代数学家中争议最大的,各家的意见有好几百年的出入.下面列举几种较有影响的说法:

  (1)将海伦和蒂西比奥斯(Ctesibius)联系起来有一种《武器制造法》(BelopoeicaOn the construction ofengines of war)的手抄本,将蒂西比奥斯的名字和海伦连在一起作为篇名.还有一本不知名的拜占廷作者写于10世纪的书中有这样的词句:“阿斯克拉(Ascra,古希腊地名)的蒂西比奥斯,亚历山大的海伦的教师”.由此推断海伦是蒂西比奥斯的学生,或者就是他的儿子.蒂西比奥斯是机械发明家,曾发明一种水钟,可能是漏壶(clepsydra)一类的器械,还有利用水力或气压驱动的各种机械,生活于公元前3世纪末或公元前2世纪,这样海伦的活跃期应是公元前2世纪.

  但另一本同样内容的手稿,标题是《亚历山大的海伦的武器制造法》,没有标上蒂西比奥斯.大概海伦改进了先辈的发明,后人认为他在思想或方法上师承蒂西比奥斯,并不意味着就是他直接教导的学生.

  (2)《度量论》(Metrica)是海伦的代表作,过去一直以为它早

坦布尔)发现它的手抄本,1903年校订出版.从中可以较准确地定出年代的上界.书中多处援引阿基米德(卒于公元前212)的工作,至少三处引用阿波罗尼奥斯(Apollonius,约卒于公元前190),又引用过关于“圆内直线(即弦)”的书.在希帕霍斯(Hip-parchus,约公元前180—约前125)之前,无人实际作出弦表,故估计引用的是他的书.据此推断海伦活动年代不早于公元前150年.另一方面,帕波斯(Pappus)大量摘引海伦的著作,而帕波斯的书大致完成于戴克里先(Diocletian)统治时期(284305),由此界定海伦的年代在公元前150—到公元250年之间,这上、下限距离仍然很大.

  (3)维特鲁维厄斯(MVitruvius Pollio,公元前1世纪上半期—约公元前25)是罗马有名的建筑学家,以10卷的《建筑学》著称于世.在这书的第7卷中列举了12位机械师,如阿尔希塔斯(Archytas,公元前375)、阿基米德(Archimedes,公元前287—前212)、蒂西比奥斯、菲隆(Phiton of Byzantium)等,还有一些不甚知名的,但没有列海伦.较合理的解释是他在维特鲁维厄斯之后.又两人使用的器械相异之处甚多,如维特鲁维厄斯的路程计(hodometer)是走—罗马里就有一块小石子落在盒子里,而海伦的仪器是用指针指示全程.可见前者没有看到海伦的设计.据此可以将海伦的年代定在公元后.

  (4)LJM.科卢梅拉(Columella,约公元2379)是农业、天文学家.他所用的计算公式甚至实际数值很多和海伦是一致的.包括弓形面积的近似公式(b是底,h是高)

 

自然可以推想他们是同时代的人.

  (5)和托勒密(Ptolemy,约公元100—约170)比较,应将海伦放在托勒密之前.普罗克洛斯(Proclus,公元410485)曾指出:托勒密认为用古人的水钟来测量太阳的视直径是不可靠的.所谓水钟应当就是海伦描述的那一种.因此海伦应早于托勒密.但TL.希思(Heath)比较了两人的著作后得出相反的结论,说海伦在后,而且比帕波斯早不了多少,也就是应为3世纪的人.而W.施密特(Schmidt)却将活动年代定在公元50年前后.

  (6)最有说服力的是根据一次月食来确定年代.海伦的重要著作《测量仪器》(On the Dioptra)描述一种“照准仪”(dioptradiopter)的工具,其功能类似现代的经纬仪,用作测量及天文观测.他特别指出可以测量可望不可即的物体的高和距离.在这本书里,海伦利用可在两地同时看到同一次月食的道理,推出两地的地方时差,从而算出两地的距离.他选定亚历山大和罗马这两个地方作为试点,某一年在春分前10天发生一次月食,在亚历山大开始于夜里“五更”(fifth watch).数学史家O.诺伊格鲍尔(Neugebauer1899)断定这次月食发生在公元62年,而且在500年间没有类似的月食.日月食的推算是可靠的,因此将海伦的活跃年代定在公元62年前后也是可信的.诺伊格鲍尔的论断发表于1938年,以后的学者大多数以此为准.

  (7)还有一种说法值得一提,曾有人认为海伦有两个,老海伦生存于公元前23世纪,是工程师和发明家,而另一个小海伦是78世纪的人.那本载有三角形面积公式的《测量仪器》乃是小海伦所作.理由是公式的推导是那么复杂而有独创性,但却从未为老海伦以后的古代学者所引用.此说出自M.玛力(Marie1883),也为M.沙勒(Chasles17931880)所提倡.但因为没有足够的证据证实另一个数学家海伦的存在,此说已渐被人们放弃.不过在公元900年左右确实还有一个海伦(Hero ofConstantinople),主要贡献是测量学和机械而不是三角形面积公式.

  综上所述,以公元62年前后为海伦活动的年代是合适的.

 

主要著作

 

  海伦留下的著作列举如下:

  2.《测量仪器》(On the dioptra)1814年文图里(Venturi)校订出版意大利文版.1858年才由AJH.樊尚(Vincent)出版希腊文本.

  3.《气体力学》(Pneumatica),最先由F.科曼迪诺(Comm-andino15091575)译成拉丁文出版(1575),希腊文本则由泰夫诺(Thévenot)校订出版(1693)

  4.《自动机建造技术》(On the art of constructing automata)或《自动舞台》(The automaton-theatre),最初由B.巴尔迪(Ba-ldi)译成意大利文出版(1589),希腊文本收入《海伦全集》(Her-onis Operavol.Ⅰ,1899)中.

  吕斯托夫(Riüstow1853),韦歇(Wescher1867)等人校订出版.

  6.几何学方面的著作有《定义》(Definitiones),《几何》(Ge-ometria),《测量》(Geodaesia),《测体积学》(Stereometrica)等.

  此外还有若干关于机械发明的著作.海伦的特点是多才多艺,善于博采众长.在著作中大量援引前人的成果,如经常提到阿基米德、狄俄尼索多罗(Dionysodorus,约公元前23世纪)、欧多克索斯(Eudoxus)、柏拉图(Plato,约公元前427—约前347)、埃拉托塞尼(Eratosthenes,约公元前274—前194)等.在论证中并不十分讲究传统的严格性,而是大胆地使某些经验性的近似公式.特别注重数学的实际应用,他发明的各种精巧器械,比理论上的成就更为人们所推崇.

 

《度量论》内容简介

 

  全书共3卷,卷Ⅰ讨论平面图形的面积,卷Ⅱ是立体图形的体积,卷Ⅲ讨论将图形分成比例部分.卷Ⅰ在序言中简要描述了几何学发展的过程,它起源于面积的度量,以后扩充到立体.欧多克索斯最先证明圆柱的体积等于同底等高的锥体的3倍,而阿基米德最先证明球面积是此球的大圆的4倍,是外切圆柱面积的2/3.他们都是度量理论的先驱者.

  接着给出一般三角形面积的计算法.设已知△ABC的三边abc,求面积有两法:第一法是先算出高,底乘高之半即面积;第二法是用“海伦公式”.

 

  1法的根据就是欧几里得《几何原本》卷Ⅱ命题1213,相当于余弦定律:

 

  C是锐角时,c2a2+b2,公式右端取-号,∠C是钝角时,c2a2b2,公式右端取+号.于是

 


  

  《度量论》卷Ⅰ第5、第6题给出的例是abc等于141513111320.两例的高h都是12,面积是整数.但有的例高不是整数.如在另一本书《几何》中,三边等于846,从而CD=


  fraction)即分子是1的分数,使人大惑不解.其实在希腊早已有一般


ξ,δ分别表示100604,连起来就是164,分子4写在下面,和现在的习惯恰好相反.当时是没有分数线的.下面接着将“单分数”开方,求出



  

       

  已知三边求三角形面积的第2种算法是用公式

 

  其中abc是三边,s是半周长,△是面积.这是有名的“海伦公式”.在卷Ⅰ的第8命题中给出几何证明如下:

 

  作内切圆DEFO是圆心,半径r=OD=OE=OF.联OABC,及各切点DEF.则

 

  三式相加得sr=△,其中s=(a+b+c)/2.延长CBH,使HB=AF,易知HC=s

  BLBCLOOC,二者交于L,则BOCL 4点共圆,于是∠BLC与∠BOC互补,但∠FOA也与∠BOC互补,故∠BLC=FOA

BLC∽△FOA

      

  由此得

      

 

  于是 (HC·OD)2=HC·HB·BD·DC

  左端是(sr)2=2,右端4条线段分别等于ss-as-bs-c,即相当于公式(1).原文全用文字叙述,没有写成这样整齐的公式,只指出各线段的作法,如HB等于半周长减去BC等.

  在证明这公式之前,先给一个例子,说明具体的算法.

  设三边为789.相加取其半,得1212减去7,余5,同样,1284129312乘以560,再乘4240,再乘以3,得720.求720的平方根,即为所求面积.

  720没有有理平方根,这时要用近似算法,步骤如下:最接近720


  原文没有继续演算下去,现推算如下:

 

  

  

  海伦明确地使用这一公式,但没有给出证明.我们可以猜想他是这样推导的:

  不妨设第1近似值a1是过剩的,

 

             

  

  

  难证明a2a1更接近真值.事实上a2也是过剩的立.

  a1是不足的,由公式(2)定义的a2同样是过剩的,而且也一样


过第n位数字的半个单位,则a2的误差不超过第2n-1位数字的1/8.换句话说,使用(2)式一次,近似值的准确位数大约加倍,因此这一公式常称为“平方根倍位法”.

  (2)写成

  还有一种形式是

 

  被开方数N改写成它的近似值(a1)加上误差b,而右端就是a2

  这一类公式源远流长,中国古代叫做“不加借算”,印度,阿拉伯国家也在使用,甚至可上溯到公元前一千多年的巴比伦.的证明,海伦在《测量仪器》中的第30题再一次给出.但根据阿拉伯数学比鲁尼(Abū’l Raihān alBīrūni9731050以后)的记载,这公式是阿基米德发现的,这一点已得到公认.不过海伦公式的名称已为世界各国所习用,很难再改过来.

  印度婆罗摩笈多(Brahmagupta,约598665以后)628年给出四边形面积

 

  (abcd是四边长,s是半周长,实际只适用于圆内接四边形),若其中一边d=0,则成三角形,公式相应变成(1)(见[9].)

  我国秦九韶(12021261)在《数书九章》(1247)中也独立给出与(1)等价的公式.

  本卷从第17题开始,给出正多边形面积的计算法,边数从312

  后面的面积也都是近似值,除了正568边形较好之外,其余的近似值相当粗糙.

  

  如将系数展开成连分数,可得渐近分数


  

  101112边形的面积,近似分数的选择都不佳.正n边形面积记作Sn,列举如下:

 



(0.03275)都大.

  101112边形的选择同样也是不好的.由此可知海伦在多边形计算方面顶多是因袭了前人(猜想是希帕霍斯)相当粗略的弦表,而没有在理论上加以改进.

  《度量论》卷Ⅱ讨论立体图形体积.如描述一种“小祭坛(li-ttle altar)”,在现在立体几何中属于“拟柱体”(prismatoid),上下底是长方形,不必相似,但对应边平行.在日常生活中很常见,如煤场的煤堆,盐滩上的盐坨,铁路旁的碎石堆等,可名为“长方台” 设上底的长、宽为a',b',下底的长、宽为ab,高为h,书中给出体积

 

  这是正确的.更简单的形式是

 

  其余的公式多为前人所知.

  卷Ⅲ讨论将图形分割成已知比,基本上采自阿基米德的工作.

 

其他工作

 

  《测量仪器》是海伦另一本代表作.其中描述一种仪器,功能类似现代的经纬仪.接着介绍如何使用这种仪器去解决各种测量问题.如(1)挖一个隧道,从山的两侧开始,找准方向,使隧道准确会合;(2)确定两点之间高度的差;(3)测量可望而不可即的两点间的距离;(4)测沟渠的深;还有各种高度和距离的测量问题,包括利用同时看到同一次月食,算出罗马和亚历山大之间的距离.本书最后叙述如何用齿轮的结构,用一个给定的力去移动给定的重物.

   海伦还有各式各样的发明.最有名的是“汽转球”(aeolipile),这



原意是“门”)合成,可直译为“风神之球”或“风神之门”.主要的结构是一个封闭的容器(如球或圆柱),安装在中空的旋转轴上,球的两侧(在与轴垂直的平面上)各装一个或几个喷射弯管,蒸汽由轴的孔道进入球内,经弯管喷出,因反作用力使球旋转.常被称为世界上第一个蒸汽机.不过当时的生产力低下,没有用作实际机械动力,只被看作一种高级玩具,或用于显示“神力”的装置.如信徒们在祭坛上烧纸,容器内放出的蒸汽驱动神殿的门自动开启,使信徒们大吃一惊。

  他还创造一种虹吸管,一种“自动售货机”,即“投入一枚硬币即自行开动”(penny-in-the-slot)的机器,灭火器,水风琴,水钟等等,简直多不胜数。他还写过《反射光学》(catoptrica),发展了欧几里得的几何光学,但同时也接受了传统的错误观点:视觉的产生是因为眼睛发出了某种射线被物体反射回来.

  总之,海伦有很多创造发明,给后人极大的启发,在世界技术史上占有崇高的地位.数学方面,虽然对纯理论没有重大的推进,论证有时是欠严格的,但善于运用已有知识去解决实际问题.