阿波罗尼奥斯

 

辽宁师范大学 梁宗巨

 

  阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga) 约公元前262年生于佩尔格;约公元前190年卒.数学.

  阿波罗尼奥斯是佩尔格(PergaPerge)地方的人.古代黑海与地中海之间的地区,称为安纳托利亚(Anatolia,今属土耳其),其南部有古国潘菲利亚(Pamphylia),佩尔格是它的主要城市.

  阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧几里得的后继者学习,那时是托勒密三世(Ptolemy Euergetes,公元前246—前221年在位)统治时期,到了托勒密四世(Ptolemy Philopator,公元前221—前205在位)时代,他在天文学研究方面已颇有名气.

  后来他到过小亚细亚西岸的帕加马(Pergamum)王国,那里有一个大图书馆、规模仅次于亚历山大图书馆.国王阿塔罗斯一世(Attalus Soter,公元前269—前197年,前241197年在位)除崇尚武功外,还注重文化建设.阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》从第4卷起都是呈递给阿塔罗斯的,后世学者认为就是这位国王.([5]p126[6]p227[4]p595)但存在一个疑点,他在写信给阿塔罗斯时直书其名,而没有在前面加上“国王”的称呼,这是违背当时的礼仪习惯的.可能有两种解释,一是他指的不是国王而是另一个同名的人,二是阿波罗尼奥斯相当放荡不羁,而这位君主确能礼贤下士,不拘小节.

  在帕加马还认识一位欧德莫斯(Eudemus),《圆锥曲线论》的前3卷是寄给他的.在这书的第2卷的前言中,阿波罗尼奥斯说他曾将这一卷通过他儿子交给欧德莫斯,并说如果见到菲洛尼底斯(Philonides)时,请欧德莫斯将书也给他一阅.菲洛尼底斯是阿波罗尼奥斯在以弗所(Ephesus)结识的几何学家,对圆锥曲线论颇感兴趣,阿波罗尼奥斯曾介绍过他和欧德莫斯认识.

  3卷没有留下前言.第4卷的前言是写给阿塔罗斯的,开头说这8卷著作的前3卷是交给欧德莫斯的,现在他已去世,我决定将其余各卷献给你,因为你渴望得到我的著作.

  由此可知阿波罗尼奥斯写此书是在晚年,至少是在儿子成年以后.又知道他到过以弗所.他的主要成就是建立了完美的圆锥曲线论,总结了前人在这方面的工作,再加上自己的研究成果,撰成《圆锥曲线论》(Conics)8大卷,将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.直到17世纪的B.帕斯卡(Pascal)R.笛卡儿(Descartes),才有实质性的推进.欧托基奥斯(Euto-cius of Ascalon,约生于公元480)在注释这部书时说当时的人称他为“大几何学家”.

  阿波罗尼奥斯常和欧几里得、阿基米德合称为亚历山大前期三大数学家.时间约当公元前300年到前200年,这是希腊数学的全盛时期或“黄金时代”.

 

主要著作

 

  《圆锥曲线论》是一部极其重要的著作.在第1卷的前言中,阿波罗尼奥斯向欧德莫斯述说撰写的经过:“几何学家诺克拉底斯(Naucrates)来到亚历山大,鼓励我写出这本书.我赶在他乘船离开之前仓促完成交给他,根本没有仔细推敲.现在才有时间逐卷修订,并分批寄给你”.

  这部书是圆锥曲线的经典著作,写作风格和欧几里得、阿基米德是一脉相承的.先设立若干定义,再由此依次证明各个命题.推理是十分严格的,有些性质在欧几里得《几何原本》中已得到证明,便作为已知来使用,但原文并没有标明出自《原本》何处,译本为了便于参考,将出处补上.(比较[6]pp280335中的希腊原文和英译文.)后人对此颇有微词.阿基米德的传记作者甚至说阿波罗尼奥斯将阿基米德未发表的关于圆锥曲线的成果据为己有.此说出自欧托基奥斯的记载,但他同时说这种看法是不正确的.帕波斯(Pappus)则指责阿波罗尼奥斯采用了许多前人(包括欧几里德)在这方面的工作,而从未归功于这些先驱者.当然,他在前人的基础上作出了巨大的推进,其卓越的贡献也是应该肯定的.

  《圆锥曲线论》的出现,立刻引起人们的重视,被公认为这方面的权威著作.帕波斯曾给它增加了许多引理,塞里纳斯(Serenus4世纪)及许帕提娅(Hypatia)都作过注解.欧托基奥斯校订注释前4卷希腊文本.9世纪时,君士坦丁堡(东罗马帝国都城)兴起学习希腊文化的热潮,欧托基奥斯的4卷本被转写成安色尔字体(uncial,手稿常用的一种大字体)并保存下来,不过有些地方已被窜改.

  4卷最早由叙利亚人希姆斯(Hilāl ibn Abī Hilāl alHimsī,卒于883884)译成阿拉伯文.第57卷由塔比伊本库拉 (Thābit ibn Qurra,约公元826901)从另外的版本译成阿拉伯文.纳西尔丁(Nasīr ad-Dīn al-Tūsi12011274)17卷的修订本(1248)现有两种抄本藏于英国牛津大学博德利(Bodleian)图书馆,一种是1301年的抄本,一种是1626年第57卷的抄本.

  14卷的拉丁文译本于1537年由JB.门努斯(Menus)在威尼斯出版.而较标准的拉丁文译本由F.科曼迪诺(Commandino15091575)译出,于1566年在博洛尼亚出版.其中包括帕波斯的引理和欧托基奥斯的评注,还加上许多解释以便于研读.第57卷最早的拉丁译本的译者是A.埃凯伦西斯(Echellensis)GA.博雷利(Borelli16081679)1661年出版于佛罗伦萨,是从983年阿拉伯文抄本译出的.天文学家E.哈雷(Halley16561743)参考了各种版本,重新校订了第17卷拉丁文本及第14卷希腊文本,1710年在牛津出版.

  目前权威的第14卷希腊文、拉丁文对照评注本是JL.海伯格(Heiberg18541928)的“Apollonii Pergaei quae Graeceexstant cum commentariis antiquis(《佩尔格的阿波罗尼奥斯的现存希腊文著作,包括古代注释》)2卷,18911893在莱比锡出版.阿拉伯文本只有第5卷的一部分正式出版。并附L.尼克斯(Nix)的德译文(1889,莱比锡).现代语的译本有PV.埃克(Eecke)的法文译本“Les coniques d'Apollonius de Perge(《佩尔格的阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论》),前4卷根据希腊文本,后3卷是根据哈雷的拉丁文本,1923年出版于布鲁日(Bruges)1963年重印于巴黎.TL.希思(Heath18611940)编订的英译本“Apollonius of PergaTreatise of conic sections(《佩尔格的阿波罗尼奥斯,圆锥曲线论》)1896年剑桥大学出版社出版,1961年重印.此书实际是意译本或改编本.另一种英译本为C.托利弗(Taliaferro)所译(1939),载于《西方名著丛书》(Great booksof the western world1952,不列颠百科全书出版社)11卷中,但只有13卷.

  除了《圆锥曲线论》外,阿波罗尼奥斯还有好几种著作,为后世的学者(特别是帕波斯)所提及.列举如下:

  1.《截取线段成定比》(On the cutting-off of a ratio)

  2.《截取面积等于已知面积》(On the cutting-off of an area)

  3.《论接触》(On contactsTangencies)

  4.《平面轨迹》(Plane loci)

  5.《倾斜》(VergingsInclinations)

  6.《十二面体与二十面体对比》(Comparison of the dodecahedron with the icosahedron)

  此外还有《无序无理量》(Unordered Irrationals)、《取火镜》(On the burning-mirror)、圆周率计算以及天文学方面的著述等.

 

圆锥曲线论的前驱工作

 

  在阿波罗尼奥斯之前,圆锥曲线的研究已有一百多年的历史.它是由倍立方问题引起的.所谓“倍立方”,就是求作一立方体,使其体积为一已知立方体的2倍.希波克拉底(Hippocrates ofChios)首先指出它可以归结为求线段a2a之间的两个等比中项.设xy是这两个中项,ax= xy=y2a,则x2=ayy2=2axxy=2a2,于是得x3=2a3.如果a是已知立方体的边,那么x就是所求立方体的边.前面几个二次方程在解析几何中是抛物线与等轴双曲线,由此导致这两种曲线的发现.这发现一般归功于门奈赫莫斯(Menaechmus,约公元前350),普罗克洛斯(Proclus)推测他是用两条圆锥曲线的交点来解决倍立方问题的.

  他又用平面去截圆锥面,得到三种截线.圆锥面是直角三角形围绕一个不动的直角边旋转所产生的.不动的直角边叫做轴,斜边叫做母线,通过轴的平面与圆锥面相交而成的三角形叫做轴三角形.轴三角形的顶角有锐角、直角、钝角的三种情形.门奈赫莫斯用垂直于一条母线的平面去截圆锥面,所得到的截线当轴三角形的顶角是直角时叫做“直角圆锥截线”(section of the right-angled cone),现称抛物线;当顶角是钝角时叫做“钝角圆锥截线”(section of the obtuse-angled cone),现称双曲线;当顶角是锐角时叫做“锐角圆锥截线”(section of the acute-angled cone),现称椭圆.这些名称为欧几里得、阿基米德所沿用,直到阿波罗尼奥斯,才证明一个平面和一个圆锥面相交,也可以得到这三种曲线.

  圆锥曲线发现后,进展很快,研究的成果足以使阿里斯泰奥斯(Aristaeus,约公元前340)写出5卷本《立体轨迹》(Solid loci),也就是圆锥曲线论这名称的来源可能是把圆锥曲线看作一种轨迹,而它可以通过用平面截取立体(圆锥面)得到.

  不久又出现欧几里得4卷本的《圆锥曲线》(Conics),更有系统地阐述了若干锥线的性质.可惜此书连同阿里斯泰奥斯的书均已失传,只能从帕波斯的著作中得知其大概.帕波斯认为阿波罗尼奥斯是以这4卷为基础,再加上4卷才完成其8卷的巨著的.

  欧几里得对圆锥曲线的认识并不限于门奈赫莫斯的三种截法(截面垂直于一母线),他在《现象》一书中曾指出:用平面去截正圆柱或正圆锥,只要平面不平行于底,其截线就是“锐角圆锥截线”(椭圆),其形状似盾牌.阿基米德在《劈锥曲面与回转椭圆体》(On conoids and spheroids)中更进一步证明任何一个椭圆都可以看成是一个圆锥面的截线,这个圆锥面顶点的选择有很大的任意性(命题78).由此可知,在阿波罗尼奥斯之前,并非不知道这三种曲线也可以用别的方法获得,但仍采用门奈赫莫斯的定义,理由可能是处理某些问题时更加简单方便.

  阿基米德对圆锥曲线以及由圆锥曲线产生的回转体作了深入的研究,如求面积、体积、重心、浮力等等.到此为止,圆锥曲线的理论已经积累了大量的资料.正象欧几里得将初等几何问题整理成一个严密的体系那样,将圆锥曲线问题也整理出来已经有了足够的条件,这关键性的一步,是由阿波罗尼奥斯来完成的.

 

《圆锥曲线论》内容简介

 

  1卷的序言是给欧德莫斯的信,简单说明了写书的经过和全书的主要内容.全书共8卷,前4卷是基础部分.第1卷给出三种截线的一般定义和主要性质,他说这些内容“比其他作家写的更全面也更一般”.

  序言之后给出8个定义.以前用直角三角形绕直角边的回转来定义圆锥,只得到正圆锥.阿波罗尼奥斯改变了产生圆锥的办法:

  给定一个圆及圆所在平面外一点V,连接V与圆周上的一点,并向两端延长成一直线.今这直线沿着圆周移动,最后回到出发点,这直线就描绘出圆锥曲面的两支.这两支分别位于点V的两侧,可向两侧任意伸展.固定点V叫做圆锥面的顶点,给定的圆叫做底.点V与圆心O的联线叫做轴,如果轴VO垂直于底,这圆锥叫做正圆锥(right cone),如轴不垂直于底,则叫做斜圆锥(scalene cone).此外还定义了直径、共轭直径、截线的轴等.

  定义之后给出60个命题.下面取出最有代表性的命题13来分析一下,即可窥见阿波罗尼奥斯推理思想的一斑.

 

  设有斜圆锥ABC,任作一平面,与圆锥的底平面相交于GF(GF位于底圆之外),与圆锥面交于曲线EDL.作底圆的直径BCGF(即过圆心作直线垂直于GF)并延长之交GFG.通过直径BC及顶点A的平面与圆锥相交而成的△ABC轴三角形.ED是轴三角形与曲线的交点,EDG均在轴三角形平面上,又在截平面上,故EDG是轴三角形平面与截平面的交线.

  在圆锥截线上任取一点L,作MLGF,交EDM.过MPRBC,则PRML所确定的平面与底平面平行①一平面上的两相交直线分别与另一平面上的两相交直线平行,则此二平面平行.
,因此与圆锥面的交线是一圆
(图中未画出)PLR是此圆周上三点,且PR是直径,而MLPR.设EM=xML=y,则

  y2=PM·MR (1)

  在轴三角形平面内作AKEGBC的延长线于K,因△EPM∽△ABK,故

  

   又△MRD∽△ACK,故

  

  (2)(3)两式左右相乘,

  

   圆锥及截平面给定后,ED即已确定,记ED=2a,则

MD2ax

  

    

  EEHEG,使EH=p.连接HD,作MNEH平行且相等,交HDX,作XOEH.在△EHD中,

  

  代入(5)

y2=EO·x

  此式表明,EOEM构成的矩形面积等于ML上的正方形.

  在欧几里得几何中,常见这样的作图题:以EM为一边作一个矩形,“贴合”(application)EH上去,使其面积等于一个已知正方形.所谓“贴合”,就是矩形的一条边与EH重合,其长度可以小于、等于或大于EH

  更一般的提法是求作平行四边形,贴合到已知线段上去,使其满足某种条件(如有一个角等于已知角,或与某平行四边形相似等),且面积等于某已知图形(参见欧几里得《几何原本》卷Ⅰ命题44,卷Ⅵ命题2729)

  此处以EM为一边,贴合到EH上,使其面积等于ML上的正方形.所求矩形EOXM的一边EOEH,这种情形叫做“不足”(falling short代“锐角圆锥截线”而成为一类圆锥曲线的名称.这就是“椭圆”(ellipseellipse,德Ellipse,意ellisse,西ellpse,俄зллипсис)一词的来源.对于双曲线的情形,矩形的一边EOEH,这时叫“过剩”hyperbole,德Hyperbel,意ipèrbole,西hipérbola,俄эллнпсис).而“抛物线”(parabola,法parabole,德parabel,意paràdola,西parábola,俄гипербола)的字源就是

  这些名称最先为阿波罗尼奥斯所创用,一直沿用到现在.抛物线之名出自命题11,双曲线出自命题12,椭圆出自命题13

  本例贴合到EH上的矩形的边是不足的,阿波罗尼奥斯称所得的截线为椭圆、如建立一个坐标系,问题就看得更清楚.以E为坐标原点,EDG为横轴,过E作平行于ML的直线为纵轴.这样就得到笛卡儿斜角坐标系.MLPR,但一般不垂直ED,故为斜角坐标.xyL点的横、纵坐标,恒满足(5),即

  

  在解析几何中这正是椭圆的方程.

  用类似的方法可以得到另外两种截线.如果截平面和底圆相交,而且和圆锥面的另一支(位于顶点A的另一侧)也相交,便得到双曲线,其方程为

  

  如截平面平行于一条母线,则与底圆相交,但只与圆锥的一支相交,这时得到抛物线,方程为

  

  方程中的p在图中是线段EH,叫做矩形的“竖直边”(erect side)

  

ctum).式(6)(7)(8)表明,椭圆、双曲线、抛物线上任一点的纵坐标的平方分别小于、大于、等于正焦弦乘以横坐标.

  这几个方程是圆锥曲线的基本性质.阿波罗尼奥斯在这一卷中用语言来表述并证明了这些性质,以后就利用它推导出其他性质而不必再依赖于圆锥曲面.他没有创用符号,更没有使用方程,但其中实际上含有深刻的坐标制思想.完全可以相信笛卡儿的坐标制得自阿波罗尼奥斯的启发.另一个来源则可能是天文和地理用经纬度来表示点的位置,这在希腊也早已不是新鲜的事.

  本卷后面的命题很多牵涉到直径、共轭直径及切线等问题,这些概念和现今解析几何中的概念是一致的.对于椭圆来说,任一组平行的弦,必为某一条通过椭圆中心O的直线AB所平分(2),这直线叫做椭圆的直径.而在这一组弦中通过中心的那一条CDAB互为共轭直径.CD也平分任一条平行于AB的弦.双曲线的情况稍有不同,任两条共轭直径一条与双曲线相交,另一条则不相交.抛物线的直径必平行于其对称轴,它没有共轭直径.

 

  在图1中,阿波罗尼奥斯实际是用斜角坐标去划刻圆锥截线的性质,EDG是横坐标轴,过E且平行于ML的直线是纵坐标轴①他当然没有使用坐标的名称
.可以证明
ED是椭圆的直径,它平分与ML平行的任
原意是“有序”、“规则”)方向.在图2中如以直径AB为横坐标轴,则与CD平行的方向就叫纵坐标方向.

  命题17证明了这样的性质:通过直径AB的端点A作直线平行于纵坐标方向,则这直线必落在椭圆之外.不然的话,若有一段AE落在椭圆内,则这是一根弦,必被AB平分,这是不可能的.因命题10已证明延长弦的两端,必超出椭圆外.

  和椭圆相交于一点,又完全落在椭圆外的直线现在叫做切线.不过当时没有切线的名称,只用“与曲线‘接触’(touch)的直线”来表达.阿波罗尼奥斯对切线的理解和欧几里得是一样的,或者说他的观点来自欧几里得.在《几何原本》卷Ⅰ题16中证明了过直径端点且垂直于直径的直线必完全落在圆外,且此直线与圆周之间不可能再插入其他直线.阿波罗尼奥斯将它移植到圆锥曲线来.阿基米德与此不同,他对切线的看法带有运动学的观点.

  本卷有相当多的命题是牵涉到切线的.如命题33给出抛物线切线的一个性质.

  抛物线的任一组平行的弦必被某一条直线AB所平分(3),这AB叫做抛物线的直径.它一定平行于抛物线的对称轴VX.设EF是被AB平分于D的弦,延长ABT,使TA=AD.过A作平行于纵坐标方向DE的直线AC,则AC是抛物线的切线,联结TFTF也是抛物线的切线.

 

  上述性质已为阿基米德(或更早的阿里斯泰奥斯及欧几里得)所知,他在《方法》中用到过.

  还有一些命题(4150)相当于坐标变换,将一组共轭直径换成另一组,用以描绘圆锥曲线,相当于将一个斜角坐标系变换成另一个斜角坐标系,证明基本性质不变.如变成互相垂直的共轭直径,就相当从斜角坐标变换成直角坐标.

  这一卷最后还有好几个作图题,要求作出满足某些条件的圆锥曲线.

  2卷用很大的篇幅来讨论双曲线的渐近线.命题1给出定义并证明其存在.这是阿波罗尼奥斯的独创,前人没有论述过“渐近线”他引入的.命题14证明如果将双曲线和渐近线无限延长,可使两者的距离任意小.命题17证明共轭的双曲线具有相同的渐近线.还有一些命题给出直径、切线、渐近线之间的种种关系.

  2卷第4453命题是一些作图题.包括求作有心圆锥曲线的中心,求作圆锥曲线的对称轴、直径,从曲线外一点向曲线作切线,还有作满足某种条件的切线等.

  3卷前面有若干个命题是关于面积和比例的.指出由各种线段如直径、对称轴、弦、渐近线、切线等所构成的三角形、四边形、矩形等之间的相等、和、差、比例的关系.

 

  命题45以后的几个命题颇值得注意,这是椭圆与双曲线的焦点性质.但没有给出焦点的专门名称,把焦点说成是“由贴合产生的点”.

  焦点F′,F的位置由下式确定:

 

  其中A′,A是对称轴与曲线交点,p是正焦弦.如用ab表示椭圆的半长轴与半短轴,或双曲线的半实轴与半虚轴,在笛卡儿直角坐标系中椭圆与双曲线的标准方程是

  

a2-c2=b2(椭圆的情形)

c2-a2=b2(双曲线的情形)

  位置和解析几何是一致的.

  命题48证明了著名的焦点切线性质:在P点的切线TT,与两焦点半径 FP FP交成等角.即∠FPT=FPT(4),或∠FPT=FPT(5)

  奇怪的是,全书竟没有提到抛物线的焦点,更没有焦点准线统一定义:一动点到一定点(焦点)的距离与到定直线(准线)的距离之比是常数e,则动点轨迹是圆锥曲线.e1时是椭圆,e=1时是抛物线,e1时是双曲线.书中也没有出现离心率的概念.

  这是一个谜,可能有两种解释.一是在帕波斯(4世纪)之前,希腊人并不知道抛物线有焦点,当然也不知道焦点准线定义.这是数学史家M.康托尔的看法.([11]pp339344)帕波斯认为欧几里得已知焦点准线定义,这只是他的推测,当时欧几里得的《圆锥曲线》已经失传.很难想象这样重要的性质阿波罗尼奥斯既已知道但又不把它收入其巨著中.另一种解释是他在别的已失传的著作中作了专门的论述,无需在此重复.这两种解释都存在一些疑问.

  近年来出版了狄俄克利斯(Diocles,约公元前190180年前后)《取火镜》,对这问题有了进一步的认识.根据图默的考证,狄俄克利斯和阿波罗尼奥斯约略同时,后者可能看到《取火镜》,他认为别人既已详细讨论过,就不必写在自己的书中了.

  《取火镜》一开头就说明本书的缘起:天文学家芝诺多罗斯(Zenodorus,约公元前180)提出这样的问题,什么样的镜面对着太阳,能使反射的光线集中到一点而引起燃烧?这问题实际已由多西修斯(Dositheus,公元前225年前后)解决,答案是“直角圆锥截线”的回转面。本书的目的就是要给出理论的证明.至于前人是否已有证明,书中没有明确.传说阿基米德曾用取火镜烧毁敌船,虽是夸大的说法,但他已知道取火镜这一事实是可信的.

  至于焦点(focus)这一术语,最早是由J.开普勒(Kepler)1604年创用的.

  3卷还有几个命题是所谓“34条直线的轨迹”问题.

  在平面上给定3(4)固定的直线,一动点与一直线的距离的平方正比于与另外两条直线距离之积,求动点的轨迹(若为4条直线,则动点与其中两条直线距离之积,正比于与另外两条直线距离之积).所谓距离,或者是垂直距离,或者量距离的直线与固定直线交于一定的角度.

  用解析几何方法很容易看出轨迹是圆锥曲线.以3直线为例,设直线方程为

AixBiy+Ci=0(i=123)

  又量距离的直线分别与固定直线交于θi(i=123)角,于是根据点与直线距离的公式,有

 

  这是关于xy2次方程,因此必为圆锥曲线.

  阿波罗尼奥斯用综合几何去处理这一问题,认为这是自己的得意杰作,他在全书的序言中特别提到:

  “第3卷包含许多出色的定理,……其中最优美的是我新发现的.我注意到欧几里得并没有解决‘34直线的轨迹’问题,仅仅是碰到某些特例,而且也没有成功.因为没有我发现的定理,要彻底综合解决是不可能的”.

  几百年后,帕波斯介绍这一问题时将它进一步推广于4条以上的直线.他认为阿波罗尼奥斯仍未完全解决这一问题,并且对他过份夸耀自己的成就,而鄙薄前人劳动的颇欠谦逊的态度表示遗憾.

  又过了一千多年,笛卡儿(1637)用代数方法去研究“34直线轨迹”,这是促使他去创立解析几何的动机之一.他在《几何学》(La géométrie)([13])中从这一问题入手去阐发他的坐标几何思想.

  4卷除了继续第3卷讨论圆锥曲线的极点与极线的调和性质之外,还用很大的篇幅去探讨圆锥曲线交点的个数.证明了两圆锥曲线相交至多有4个交点.

  5卷的内容十分新颖,着重讨论极大极小问题.考虑从某一点到圆锥曲线的最大和最小距离.用现代的术语来说,最大最小线段都在法线的方向上.当时没有法线的名称,只是证明了:设O是一固定点,P是曲线上一点,若OP是最大或最小距离,则通过P且垂直于OP的直线必为曲线的切线.进一步研究法线的数目,设在椭圆的长轴上取一点HH可向椭圆作4条法线(6),包括长轴本身.现将点的位置向着纵坐标的方向向上(或向下)移动,到达某一点G2(G1)处,法线仍然是4条,但过了G2(G1),法线突然变成只有2条.这种分界点的集合构成一个封闭的图形,在图形内部的点可向椭圆作4条法线,在图形外部的点一般可以作两条法线.

  用现代微积分可以证明这图形就是椭圆的渐屈线或法包线,即法线

  =(a2-b2)2/3.抛物线的渐屈线具有这样的方程y=kx3/2,称为半立方抛物线.阿波罗尼奥斯并没有引入这一类曲线,只限于对每一点H,确定相应的分界点G1G2

 

  6卷没有什么重要的内容,前一部分讲述全等的及相似的圆锥曲线,还有圆锥曲线弓形.后一部分是一些作图题,如从一个正圆锥如何截取一条曲线与已知圆锥曲线相等.

  7卷是关于共轭直径的论述,如:命题12.椭圆两个共轭直径上的正方形之和等于两个对称轴上的正方形之和.命题13.双曲线两个共轭直径上的正方形之差等于两个对称轴上的正方形之差.命题31.椭圆或双曲线的两条共轭直径所构成的平行四边形(以其交角为内角)等于两条对称轴所构成的矩形.

  8卷已失传,从第7卷的序言中,可以看出它大概是第7卷的继续或补充.哈雷根据帕波斯所提供的线索,进行了卓有成效的复原.

  《圆锥曲线论》是一部经典巨著,它可以说代表了希腊几何的最高水平.自此以后,希腊几何便没有实质性的进步.直到17世纪的笛卡儿和帕斯卡,圆锥曲线的理论才有所突破.以后便向着两个方向发展,一是笛卡儿的解析几何,二是射影几何,两者几乎同时出现.这两大领域的思想和基本原理,都可以在阿波罗尼奥斯的工作中找到萌芽.

  和阿基米德比较,阿波罗尼奥斯注意图形的几何性质,而阿基米德侧重数值计算,这使他成为微积分的先驱.

  《圆锥曲线论》的篇幅很大,第17卷就有387个独立命题,完全用文字来表达,没有使用符号和公式.命题的叙述相当冗长,言辞有时是含混的,在希腊的著作中,这是较难读的一种.

 

其他著作

 

  1.帕波斯提到阿波罗尼奥斯除了《圆锥曲线论》之外,还有6种著作,但只有《截取线段成定比》完整地保存下来,而且只是阿拉伯文本.哈雷将它译成拉丁文,于1706年出版.书共两卷,讨论下述问题:

  设有两直线,平行或相交,在其上各有一点AB,现从某一点O作直线与此二直线交于MN二点,使AMBN等于已知比.

  全书围绕这一问题考虑了各种可能情形。它导致一个二次方程.问题的解就相当于给出这二次方程的几何解法.

  2.《截取面积等于已知面积》和前一问题相仿,不同之处是要求AMBN构成的矩形与已知面积相等,即AM·BN为已知数.

  3.《论接触》提出一个有名的作图题:设有3个图形,可以是点、直线或圆,求作一圆通过所给的点(如果3个图形中包含点的话)并与所给直线或圆相切.共有10种可能情形:(1)点,点,点;(2)点,点,线;(3)点,线,线;……(9)线,圆,圆;(10)圆,圆,圆.最著名的是最后一种情形:求作一圆与3已知圆相切,常称为“阿波罗尼奥斯问题”.其解法已失传,详见[5],p184

  4.《平面轨迹》讨论能用直尺圆规作出的轨迹,即直线与圆.圆锥曲线在希腊时代叫做“立体轨迹” (solid loci),而其他曲线(如螺线、蚌线、蔓叶线等)叫做“线性轨迹”(linear loci).本篇讨论的问题隐含反演的思想.

  下篇证明了一个轨迹问题:与两点的距离之比等于常数(1)的动点轨迹是一圆.后人称它为“阿波罗尼奥斯圆”.

  5.《倾斜》是某一类作图题.例如要求作一线段,使它或它的延长线通过一定点,而两端点落在二直线或圆周上.

  6.欧几里得《几何原本》原文只有13卷,第14卷是后人添加上去的,作者是许普西克勒斯(Hypsicles,约公元前180).他在序中提到阿波罗尼奥斯曾写过《正十二面体与正二十面体的对比》,指出这两种正多面体如内接于相等的球内,那么两者面积之比就等于体积之比.

  阿波罗尼奥斯还作过圆周率的计算,但结果已失传,可能还设计过一种以“万”(myriad)为基础的记数法.

 

天文学说

 

  阿波尼奥斯对天文学也有深入的研究.他推算过月球到地球的距离,因此有ε的绰号(这希腊字母形似月亮)

  在哥白尼(16世纪)之前,西方天文学一直奉行托勒密(2世纪)的地球中心说.其要旨是一切天体都围绕地球旋转.行星的轨道,并不单纯是一个以地球为中心的圆,而是沿着一个叫做“本轮”(epicycle)的小圆旋转,本轮的中心又沿着一个叫“均轮”(deferent)的大圆旋转,均轮的中心才是地球.这种“本轮、均轮”说最早为赫拉克利德(Heraclides of Pontus,约公元前390—前339年以后)所倡导,不过只限于解释水星、金星(内行星)的运行.阿波罗尼奥斯推广用于一切行星,并作了详细的数学论证.最后由托勒密集其大成,构造了盛行一千多年的地心说体系.