阿基米德

 

辽宁师范大学 梁宗巨

 

  阿基米德(Archimedes) 公元前287年生于西西里岛(Sicilia,今属意大利)的叙拉古(Sracusa,—译锡拉库萨);公元前212年卒于叙拉古.数学、力学、天文学.

  和其他的古希腊数学家相比,阿基米德的生卒年是比较确实的.J.策策斯(Tzetzes,约1110—约1180)在《史书》(Book of histories)中记载:“智者阿基米德是叙拉古人,著名的机械制造师,终生研究几何,活到75岁”.阿基米德之死,T.李维(Livius 公元前59—公元17)策斯等历史学家作了不同的描述,但一致同意他是在叙拉古陷落(公元前212)时被罗马兵所杀的.倒推回去,应生于公元前287年.

  阿基米德是叙拉古统治者海厄罗王(Hiero Ⅱ,约公元前308—前216年,约公元前270—前216年在位)的亲戚,和王子吉伦(Gelon,后继承王位)友善.父亲菲迪亚斯(Phidias)是天文学家.

  阿基米德早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习,对欧几里得数学进一步的发展作出了一定的贡献.在那里结识许多同行好友,如科农(Conon of Samos,公元前245年前后)、多西修斯(Dositheus,公元前225年前后)以及埃拉托塞尼(Eratosthenes)等等.回到叙拉古以后仍然和他们保持密切的联系,因此阿基米德也算是亚历山大学派的成员,他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的.后人对阿基米德给以极高的评价.数学史家ET.贝尔(Bell18831960)说:任何一张列出有史以来三个最伟大的数学家的名单中,必定会包括阿基米德,另外两个通常是牛顿和高斯.不过以他们的丰功伟绩和所处的时代背景来对比,拿他们的影响当代和后世的深邃久远来比较,还应首推阿基米德.普林尼(Pliny,公元 2379)甚至称阿基米德为“数学之神”这些过分的赞扬,反映了后世对阿基米德的崇敬.

  赫拉克利德(Heraclides)曾写过阿基米德的传记,欧托基奥斯(Eutocius of Ascalon,约生于公元480)止一次提到这件事,可惜传记已失传.阿基米德的生平事迹,散见于各种古代的文献中.

 

金冠

 

  维特鲁维厄斯(Marcus Vitruvius Pollio,公元前1世纪上半叶—约公元前25)罗马有名的建筑学家,以传世的10卷《建筑学》(De Architectura Libri X)称.这书第Ⅸ卷记述了一段传诵千古的逸事.叙拉古的海厄罗王的政治威望及权势日益提高,为了报答诸神的德泽,他决定建造一个华贵的神龛,内装一个纯金的王冠,作为谢恩的奉献物

  金匠如期完成了任务,理应得到奖赏.这时有人告密说金匠偷去一部分金子,以等重的银子掺入.国王甚为愤怒,但又无法判断是否确有其事.便请素称多能的阿基米德来鉴定一下,他也一时想不出好办法来.正在苦闷之际,他到公共浴室去洗澡,当浸入装满水的浴盆去的时候,水漫溢到盆外,而身体顿觉减轻.于是豁然开朗,悟到不同质料的物体,虽然重量相同,但因体积不同,排去的水必不相等.根据这一道理,不仅可以判断王冠是否掺有杂质,而且知道偷去黄金的份量.这一发现非同小可,阿基米德高兴得跳了起来,赤身奔回家中准备实验,口中不断大呼“尤里卡!尤里卡!”(Eureka,意思是“我找到了”.)

  这问题可解释如下:设王冠重W,其中金与银分别重W1W2,而W=W1W2分别取重为WW1的纯金放入水中,设排去水的重各的银放入水中,设排去水的重量各为F2y,于是WW2=F2y

  

  由此推得F(W1W2)=F1W1+F2W2,即

 

  用实验可求出FF1F2,即可算出银与金之比值.如F=F1,说明没有掺银.实际情况是两者不等,从而揭穿了金匠的劣行.

  经过仔细实验和反复思考,将经验上升为理论,他终于发现了流体静力学的基本原理——阿基米德原理:物体在流体中减轻的重量,等于排去流体的重量.后来总结在他的名著《论浮体》(Floating bodies)中成为第7命题.

 

豪言壮语

 

  帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collections)

  记载,阿基米德建立了杠杆定律(若两物体与支点的距离反比于其重量,则杠杆平衡)之后,解决了“用给定的力去移动任何给定的重物”的问题,曾发出豪言壮语:“给我一个立足点,我就可以移动地球!”

  

  普卢塔克(Plutarch,约公元46119年以后)的《马塞勒斯传》(Marcellus)中有更详细的描写.阿基米德对海厄罗王说:任何重物都可以用一个给定的力来移动.“如果另外有一个地球,就可以站在那上面移动这一个”.海厄罗王大为诧异,想考验一下这惊人的论断是否可靠,要求他用事实来证明.阿基米德从国王的船队中选定一艘有三根桅杆的货船,这种船通常要用很多人花很大力气才拖得动它.阿基米德安装了一组滑轮,自己站在远处,手握绳子的一端,轻而易举将船平稳地拉过来,好象它在海上行驶一样.

  按普罗克洛斯(Proclus)的说法,这艘船是海厄罗王特地为托勒密王(Ptolemy)建造的,下水时几乎动员了所有的叙拉古人.而阿基米德凭着他发明的机械,使国王自己一个人就把它拖动.国王佩服得五体投地,当即宣布:“从现在起,阿基米德说的话我们都要相信”.

   辛普利休斯(Simplicius6世纪上半叶)在注释亚里士多德的《物理学》(Physica)时,说阿基米德发明了一种“神力器”(cha-ristion)

  

  德宣称要用“神力器”去移动地球.

  上述几种记载内容大致相同.阿基米德真的能移动地球吗?不妨作一个简单的计算.那时他并不知道地球有多重,现在知道地球质量是6×1027克.假想用杠杆来举起地球,加60公斤(6×104)的力,那么力臂应该是重臂的 6×1027÷6×102=1023倍.要举起地球1/10000毫米,力臂的一端应走过1013公里以上.每天24小时以短跑的速度走过这个距离,至少要3000万年!换句话说,即使略去杠杆本身的重量不计,阿基米德用尽毕生的力量,也休想移动地球分毫.不过这位伟大的古代力学家,只因为不知道地球的大小,以致作出错误的判断,这是可以谅解的.

 

叙拉古保卫战

 

  在阿基米德的一生中,最悲壮、最惊心动魄的一幕是他以古稀之龄,投身于反侵略战争,最后为国捐躯.

  迦太基(Carthage)是古代腓尼基(Phoenicia)人建立的国家.以现今非洲北部的突尼斯为中心,领土东到西西里岛,西达西班牙和摩洛哥.由于商业和殖民利害的冲突,从公元前264年起到前146年为止,前后三次和罗马人进行了猛烈的大搏斗,延续120年之久.罗马人称迦太基人为腓尼(Poeni),转为布匿(Punic),故史称布匿战争.第二次布匿战争发生于公元前218—前201年,叙拉古和迦太基缔结同盟,因此成为罗马的仇敌.公元前214年,罗马名将马塞勒斯(Marcus Claudius Marcellus,约公元前268—前208)率领大军围攻叙拉古.在这危急存亡之秋,阿基米德便献出自己一切杰出的科学技术为祖国效劳.

  详细记述这次保卫战的主要有三种书:波利比奥斯(Polybius,约公元前200—前118)的《通史》(Historiae,共 40),李维的《罗马史》及普卢塔克的《马塞勒斯传》(Vita Marcelli).此外策策斯、卢西恩(Lucian,约公元120180年以后)等也有所论述.

  马塞勒斯从陆上及海上袭击叙拉古.阿基米德用他发明的起重机之类的器械将靠近墙根的船只抓起来,再狠狠地摔下去,有的被撞得粉碎,有的沉入海底.马塞勒斯也不甘示弱,他用85层橹船(quinquereme),每两艘联锁在一起,架起一种叫“萨姆布卡”(sambuca)武器,准备攻城.可是叙拉古人未等敌船靠近,就用强大的机械将巨大石块抛出,形同暴雨,打得“萨姆布卡”七零八落.同时万弩齐发,罗马兵死伤无数.吓得目瞪口呆的马塞勒斯下令退兵.在陆上,罗马兵也没有占到便宜.多次进攻,均未得逞.

  有一种传说是阿基米德用巨大的火镜(burningmirror)反射阳光来焚烧敌船,这大概是夸张的说法,最早见于卢西恩(Lucian)的记载.不过当时阿基米德已经发现抛物面反射镜能够聚焦的性质.有的书说成将燃烧的火球弹射出去使敌船着火,这也许比较可信.

  无论如何,罗马兵已成惊弓之鸟,简直是“风声鹤唳,草木皆兵”,只要看到一根绳子或一块木头从城里扔出来,立刻抱头鼠窜,大呼:“阿基米德的机器又瞄准我们了”.

  罗马人在一次军事会议上,决定夜间偷袭,他们以为飞弹只能在远距离起作用,黑夜可以避开城上的视线,一旦接近城墙,飞弹就无能为力了.谁知阿基米德早有防备,制造了一种叫“蝎子”的弩炮,专门对付近处的敌人.罗马兵又一次吃了大亏.

  马塞勒斯嘲笑他自己的工程师和工兵说:“我们还能同这个懂几何的‘百手巨人’(Briareus)下去吗?他轻松地稳坐在海边,把我们的船只像掷钱游戏(pitch and toss)似的抛来抛去,船队被搞得一塌糊涂,还射出那么多的飞弹,比神话里的百手妖怪还厉害”.(《马塞勒斯传》,见[7]p29)

  后来罗马军放弃正面进攻,改用长期围困的策略.叙拉古终于因粮食耗尽,被叛徒出卖,公元前212年,在一个庆祝阿泰密斯(Artemis)神,75岁的阿基米德也光荣牺牲了.

 

为国捐躯

 

  叙拉古陷落时,马塞勒斯虽然发布了许多禁令,仍然阻挡不住士兵的劫掠.出于对阿基米德的敬佩,他下令不准伤害这位贤者,

  但阿基米德还是被愚蠢的罗马兵杀害了.关于他的死,几种记载颇有出入.

  ()最早的说法出自李维.在兵荒马乱之中,侵略军大肆杀戮,阿基米德正在沙上画图,一个罗马兵将他刺死,根本不知道他是谁.

  这里所说的“沙”,是指沙盘(sand board),在平板上铺上细沙,用来计算、画图和写字.也就是“算盘”(abacus).李维的原文是pulvis(拉丁文,沙盘或沙上铺的细沙),后来罗马历史学家瓦勒里乌斯(Valerius Maximus,活跃于公元20年前后)提到这件事,误以为是在沙地上画图,把pulvis写成terra(土地),于是许多书就以讹传讹.

  许多数学史书都转载一幅镶嵌的图案画(例如见[11],p135),表现了阿基米德之死.它是在意大利赫库兰尼姆(Herculaneum)发现的,原为波拿巴(Jérme Bonaparte 17841860)的传家宝,后为威斯巴登(Wiesbaden)FE.沙贝尔(Schabell)所有,1924年由F.温特尔(Winter)将它发表出来.一般认为这件工艺品是艺术家根据古代一幅画来制作的.画面是一位老人,坐在小桌子后面,两手似在护着放在桌上的长方形沙盘,横眉冷对站在旁边的握剑士兵,他显然是命令老人跟他走.较多的学者认为它较真实地重现了当时的情景.

  ()策策斯的记载是,他俯身去画一些机械图,一个罗马人走过来拖他去当俘虏.阿基米德全神贯注在作图,没有注意是谁,口中说:“喂!站远一点,离开我的图.”那人继续拽他,他转过头来,看清是一个罗马兵时,立即喊道:“给我一样器械(指他发明的武器)!”士兵吓了一跳,马上杀了他,虚弱的老人就这样倒下了.

  ()普卢塔克还给出下面几种说法.阿基米德独自聚精会神去思考要解决的问题,目不转睛地看他的图,丝毫没有注意到城池已破.一个罗马兵突然出现在他的面前,命令他到马塞勒斯那里去,遭到阿基米德的严词拒绝,他表示除非解答了问题并给出了证明,否则是不会去的.这激怒了罗马兵,于是丧生在刀剑之下.

  ()另一种说法是罗马兵不由分说,要立刻刺死他,阿基米德看了他一眼,请求他等一会儿,不要让一道只研究了一半而尚未解决的问题遗留给后人.但是士兵不懂这些,终于动了手.

  ()还有一种说法是阿基米德带了许多数学仪器去见马塞勒斯,如日晷、球以及测量太阳的工具等,那些士兵不知这些闪闪发光的东西是什么宝物,于是便谋财害命.

  不管具体的情节如何,这位旷世的大科学家,为了拯救自己的祖国,曾竭尽心智,力挽狂澜,给侵略者以沉重的打击,最后献出生命,这是无可怀疑的事实.

  阿基米德之死,马塞勒斯甚为悲痛,除严肃处理这个士兵外,还寻找阿基米德的亲属,给予抚恤并表示敬意,又给阿基米德立墓,聊表景仰之忱.在碑上刻着球内切于圆柱的图形,以资纪念.因阿基米德发现球的体积及表面积,都是外切圆柱体体积及表面积的 2/3.他生前曾流露过要刻此图形在墓上的愿望.

  后来事过境迁,叙拉古人竟不知珍惜这非凡的纪念物.100多年之后(公元前75),罗马著名的政治家和作家西塞罗(Mar-cus Tullius Cicero,公元前106—前43)在西西里担任财务官,有心去凭吊这座伟人的墓.然而当地居民竟否认它的存在.众人借助镰刀辟开小径,发现一座高出杂树不多的小圆柱,上面刻着的球和圆柱图案赫然在目,这久已被遗忘的寂寂孤坟终于被找到了.墓志铭仍依稀可见,大约有一半已被风雨腐蚀.又两千年过去了,随着时光的流逝,这座墓也消失得无影无踪.现在有一个人工凿砌的石窟,宽约十余米,内壁长满青苔,被说成是阿基米德之墓,但却无任何能证明其真实性的标志,而且“发现真正墓地”的消息时有所闻,令人难辨真伪.

主要著作

 

  阿基米德留下的数学著作不下10种,多数为希腊文手稿,也有的是13世纪以后从希腊文译成拉丁文的手稿.有J L.海伯格(Heiberg)校订的:Archimedis opera omnia cum commen-tariis Eutocii(《阿基米德全集,包括欧托基奥斯(Eutocius of Ascalan,约生于公元 480)的注释》,19101915,莱比锡出版),这是标准的本子:译成现代语的常见的有三种:TL.希思(Heath)英译注释本:The works of Archimedes with the method of Archimedes(《阿基米德全集,包括阿基米德方法》,1912,纽约出版) PV.埃克(Eecke)法译本: Les oeuvres complètes d'Archimède(《阿基米德全集》,1921,巴黎出版)EJ.迪克斯特惠斯(Dijksterhuis)Archimedes[《阿基米德全集》,原文为荷兰语,19381944C.迪克舒恩.(Dikshoorn)英译本,1956,哥本哈根出版]

  著作的体例,深受欧几里得《几何原本》的影响,先设立若干定义和假设,再依次证明各个命题.各篇独立成章,虽然不象《原本》那样浑然一体,但所言均有根据,论证也是严格的.现按海伯格本的顺序(为希思本所沿用)列举如下:

  1.《论球与圆柱》(On the sphere and cylinder)

  2.《圆的度量》(Measurement of a circle)

  3.《劈锥曲面与回转椭圆体》(On conoids and spheroids)

  4.《论螺线》(On spirals)

  5.《平面图形的平衡或其重心》(On the equilibrium of planes or the centres of gravity of planes)

  6.《数沙器》(The sand-reckoner)

  7.《抛物线图形求积法》(Quadrature of the parabola)

  8.《论浮体》(On floating bodies)

  9.《引理集》(Book of lemmas)

  10.《群牛问题》(The cattle-problem)

  以上并不是写作先后的顺序,如按时间来排,大致是:5(1)75(2)143826.另外,在本世纪初还发现阿基米德的一封信,这信非常重要,它记录了阿基米德研究问题的独特思考方法,后来以《阿基米德方法》(The method of Archimedes,简称《方法》)的标题发表出来.

 

《方法》的发现及其内容

 

  1906年,哥本哈根大学古典哲学教授JL.海伯格(Heiberg18541928)在土耳其君士坦丁堡(现称伊斯坦布尔)仔细观看一部擦去旧字写上新字的羊皮纸书,旧的字迹幸好没有擦干净可以判定是10世纪时写上去的.擦掉之后,大约在13世纪时写上一大堆东正教的祈祷文和礼拜仪式,作为中世纪的宗教文献保存了下来.旧的字迹隐约可辨,海伯格惊喜地发现这是阿基米德的著作,因为在别处见过.于是用摄影等技术使旧字迹重现,1908年再一次去进行工作,经过不懈的努力,终于使 185页的文字(除少数完全看不清者外)重见天日.其中包活《论球与圆柱》及《圆的度量》、《平面图形的平衡或其重心》的一部分.还有《论浮体》的相当一部分,过去一直认为希腊文本已失传,只有莫贝克(William of Moerbeke,约12301286)的拉丁文译本存下来,现在居然得到希腊文原本,虽然也还不是全部.更令人兴奋的是有一封阿基米德写给埃拉托塞尼(Eratosthenes)的信,还是初次看到.这是本世纪数学史料的重大发现.

  《方法》包括15个命题.一开头是写给埃拉托塞尼的信用来说明本篇的主要内容,相当于序言.下面,以命题1为例,阐明阿基米德的思想方法.为了便于了解,暂用现代的术语和符号来推导.

 

  D是抛物线弧ABC的弦AC的中点,过D作直线平行于抛物线的轴OY,交抛物线于B.要证明的是抛物弓形ABCD的面积等于△ABC面积的 4/3

  当时已经知道过B的切线平行于AC,即B是弓形的顶点(ABC弧上与AC距离最远的点).命题结论的另一种说法是:

  抛物弓形的面积,是等底等高的三角形的4/3

  用解析几何来分析,设抛物线方程是

  y=ax2 (1)

  AC的横坐标分别是x1x2,则AC的方程是

  y=ax1xax2x-ax1x2 (2)

  C点的切线CF的方程是

  

  延长DBCFE,不难证明,BED的中点.事实上,将DB

  

  坐标,依次是

 

  由此知BDE中点.

  AFOY,交CFF.延长CBAFK,则KFA的中点.再取KH=KC,过AC上任意点MMQOY,交CKP,交CFQ,交抛物线于N.将M的横坐标x2分别代入(2)(1)(3)得到MNQ的纵坐标

ym=ax1x0+ax2x0-ax1x2

 

  于是有

 

  上面推出的几个性质,有的前人已证明,有的阿基米德在别处已证明,在这里是作为已知条件来使用的.例如:1)D且平行于轴的直线必过弓形的顶点B,且BED中点,在欧几里得以及阿里斯泰奥斯(Aristaeus,约公元前340)的圆锥曲线论中已证明,在阿基米德的《抛物线图形求积法》命题 12中也讨论过;2)MQMN=ACAM是同一篇论文的命题5

  下面才是阿基米德巧妙的根据力学原理去探索真理的方法.

  假想各线段都是有重量的,而且重量和长度成正比.又HP是一根以K为支点的杠杆.因为MQMN=HKKP,如果将MN放在H点,就可以和位于杠杆另一端的MQ平衡,PMQ的重心.这关系对于任意的M都成立.弓形可以看作由许多这样的MN线段所组成,而△AFC由许多的MQ线段所组成.如果将所有的MN(也就是整个弓形)都放在H(H为重心),就可以和△AFC平衡.弓形的重量可以看作完全集中在H点,而△AFC的重量也可以看作集中在它的重心上,这重心位于中线KC上,与K的距离是KC(=KH)1/3,故弓形重量(即面积)是△AFC重量(即面积)1/3.又△AFC=4ABC,故知弓形ABCD的面积是△ABC4/3

  阿基米德特别声明以上的推导不能算是证明,只是一种直观的试探或猜测问题结论的方法.以后还要在别的地方用几何方法(通常是用归谬法)去严格证明它.

  《方法》的中心思想,是要计算一个未知量(图形的面积、体积等),先将它分成许许多多的微小量(如将面分成线段,将体积分成薄片等),再用另一组微小量来和它比较.通常是建立一个杠杆,找一个合适的支点,使前后两组微小量取得平衡.再将后一组微小量集合起来,它的总体应该是较易计算的.于是通过比较,即可求出未知量来.这实质上就是积分法的基本思想.阿基米德的睿智,业已伸展到17世纪中叶的无穷小分析领域里去了!因此,称他为近代积分学的先驱,毫不为过.当然,和积分法还有相当大的差距.表现在:1)没有说明微小量(或元素)是有限的还是无穷多,这在古希腊时代是不可能解决的问题;2)没有极限的思想,现代的积分,是一个极限值而不是一个简单的和;3)就事论事,没有形成抽象的概念及一般的法则.

  尽管如此,阿基米德运用这种富有启发性的方法,获得大量的辉煌成果,为后人开辟了一个广阔的领域.本篇后面的命题都是用类似的方法取得的.

  命题2.球体积是以此球的大圆为底、以球的半径为高的锥体体积的4倍.以球的大圆为底、球的直径为高的圆柱的体积是球体积的3/2倍.

  这在《论球与圆柱》中是命题34及其推论.也就是刻在墓碑上的那个著名的论断.

  此外还有旋转椭圆体体积,旋转抛物线体体积及重心,半球的重心,以及相当复杂的圆锥体与球的交截体(两种立体相交的公共部分)等问题.在今天,只有用积分法才能解决,而阿基米德独辟蹊径,创立新法,取得正确的结果,使后人惊叹不已.

 

各篇著作的主要内容

 

  ()《论球与圆柱》

  这是他的得意杰作,包括许多重大成就.序言是阿基米德给多西修斯(Dositheus)的信,后者是科农的学生和朋友.阿基米德的著作,过去一向是通过科农转给亚历山大的学者的.科农去世后,改由多西修斯代办.在《抛物线图形求积法》的序言中,阿基米德已经说明了这一点:“惊悉科农去世,我十分悲痛,这不仅仅因为失去一位好友,而且失去一位令人钦佩的数学家.你是他的朋友,而且精通几何,转交论文的任务,现在请你代劳”.以后好几篇著作都是先寄给多西修斯的.

  在《论球与圆柱》的序言中,首先指出本篇的主要内容和成就,接着给出6个定义.阿基米德在这里将“定义”说成“公理”.按其性质来说应该是定义,后来欧托基奥斯在注中说明这一点.

  下面给5个假定,相当于公理.例如

  1.在端点相同的所有线(包括曲线、直线)中,以直线为最短.

  2.在以相同的平面曲线为边界的曲面中,以平面的面积为最小.

  特别重要的第5个公理,这就是后来以阿基米德的名字命名的公理:如果两条线段或两个面、两个立体不相等,就可以在两者之差的上面,加上它的本身,一次一次加上去,使得每一个预先给定的同类量都被超过.在现代分析学中常用的说法是:对于任意二正实数 ab,必存在自然数n,使得nab

  从这些定义和公理出发,推导出上卷44个,下卷9个命题.多次使用阿基米德公理及反证法(归谬法),如要证A=B,则证明ABAB均导致矛盾.以下面的命题为例来说明.

  阿基米德引用了欧几里得《几何原本》Ⅻ,2的证法(穷竭法)建立了命题6:只要边数足够多,圆外切正多边形的面积C与内接正多边形的面积1之差可以任意小.不同之处是欧几里得默认了阿基米德公理,而阿基米德在本篇中是明确地作为公理提出来的.在这基础上,证明了:

  命题14.正圆锥体的侧面积等于以底面半径与母线的比例中项为半径的圆的面积.

 

  设正圆锥的底面为A,半径为r,母线为lrl的比例中项为 R(R2=rl),则此正圆锥的侧面积S=πR2

  R为半径作圆B,其面积为πR2,现要证明S=B=πR2.用反证法,设SB.根据命题6,可作B的外切正多边形Cn(同时表示其面积,下同)与内接正边形In,使得

 

  又作底面A的相同边数的外切正多边形Dn,其周长记作Pn.以Dn为底,

  

  DnCn是相似的,其比等于对应线段平方之比,

 

  由此知Cn=Ln,代入上面的不等式有

 

  这是不合理的,因为圆锥侧面积S小于其外切棱锥侧面积Ln,而圆B大于其内接多边形面积In.同理可证SB也是不合理的,故S=B=πR2.现在常用的形式是S=πrl

  下面较著名的命题还有命题33.球面积等于它的大圆面积的4倍.

  命题34.球体积等于以它的大圆为底、它的半径为高的圆锥体积的4倍.推论:以球的大圆为底、球直径为高的圆柱的体积与表面积分别是球的体积与表面积的3/2.这命题在《方法》中已提出,此处用反证法加以证明.

  命题3544研究了球缺、球冠及球心角体(球扇形)的表面积及体积.

  下卷9个命题主要讨论球缺,好几个是作图题.命题2给出球缺的体积.命题4在历史上占有特殊的地位.它要求用平面将一个球截成两部分,使这两部分体积之比等于给定的比.

  设球半径为r,所分成的两个球缺的高各为h2r-h,公共底的半

  可改写为

  

 

  x=2r-ha=3r,又将右端的常数写成bc2,上式简写成x2(a-x)=bc2

  此问题的解相当于用几何方法去解这个3次方程.阿基米德说他将在后面给出分析与综合的解法,但现存本未见,大概已失传.后来欧托基奥斯(5世纪时)找到一些残页,是用多利安方言(阿基米德惯用的方言)写的手稿,上有这问题的解法,他认为是属于阿基米德的.解法的要点是求两条圆锥曲线的交点.一条是抛物线

 

  另一条是双曲线(a-x)y=ab.残页还讨论了方程可解的条件,这

时,还比较了狄俄尼索多罗(Dionysodo-rus,公元前3世纪—公元前2世纪,居住在小亚细亚地区)以及狄俄克利斯(Diocles,约公元前190)对此问题的解法.

  ()《圆的度量》,其中只有3个命题.

  命题1.圆的面积等于一个以其周长及半径作两个直角边的直角三角形的面积.

  更简单的说法是:圆面积等于半径乘半周长.这正是中国《九章算术》的说法:“半周长半径相乘得积步”.或刘徽(公元263)注的说法:“半周乘半径为圆幂”.

  但在古希腊,自从毕达哥拉斯学派发现不可公度量以后,每一条线段是否都有长度就成了问题.因此在几何学家的著作中,极力避免两条线段长相乘的说法,宁愿说成由两线段构成的矩形或三角形的面积.

 

  证明仍用穷竭法.圆半径为r,周长为C,面积为S.以Cr为两直角边作直角三角形,设面积为K.现证明S=K.用反证法,假定SK,作边数足够多的内接正多边形In,使其面积In与圆面积S之差

S-InS-K

  于是有

InK

  这是不合理的,因为In的边心距dr,而In的周长小于C,故In应<K.同理作外切正多边形,可证SK也导致矛盾,从而有S=K

  命题2.圆面积与外切正方形面积之比为1114

  命题应该放在命题3的后面,也许是后人抄错了或阿基米德别有用意.

  

  这就是有名的阿基米德圆周率的出处.欧几里得在《原本》中讨论了很多圆的性质,但却完全没有提到圆周率的值及圆面积、圆周长的计算法.阿基米德弥补了这一不足,并在科学上首次创用上、下界来确定一个量的近似值,还提供了误差的估计。

  他在推导中使用了一个不等式

 

  分数的渐近分数.它具有这样的特性,以265/153为例,在一切分母

  的性质.阿基米德是怎样得到这些分数的?这引起后人的极大兴趣.仅从17世纪以来,就至少有十几种不同的推测.较多的意见认为是利用了不等式

 

  左右各平方,便可证其成立.试推演如下:

  

  取右端

 

  

  于是有 

  本命题主要的推导思想如下:设O是圆心,OA是半径,作

AOB=30°,

  A作切线ABOBB.则

 

 


  两式左右相加得

 

  作∠AOB的平分线OC,则

  

  左端分母与右端分子交换,再由前面的不等式,有

 

  或

 

  由上面的不等式立刻推出圆外切正6边形、正12边形的周长与直径比值的上界.同样,计算内接正多边形的边长,可以确定比值的下界.再利用比例关系及勾股定理,重复上述手续,一直算到96边形,最后得到

  一切分母不大于71的分数中它是最接近π的.比它更接近π的分数有

①见梁宗巨,祖冲之密率的优越性,《辽宁师范大学学报》增刊(数学史专辑),1986,p.6.

  分母都大于71,除了最后一个外,都不是连分数的渐近分数.

  ()《劈锥曲面与回转椭圆体》

  32个命题,研究椭圆的面积以及回转圆锥曲线体被平面截取部分的体积等.证明的方法是穷竭法,十分接近今天的积分法思想.当时还没有“抛物线”(parabola)等名称,早期的希腊数学家如门奈赫莫斯(Menaechmus,公元前4世纪),用平面去截三种不同的直圆锥面,产生三种圆锥曲线.令平面与直圆锥的母线垂直,当圆锥的顶角(母线所张的最大角度)是直角时,截口叫做“直角圆锥截线”(section of a right-angled cone),现在叫抛物线;当顶角是锐角时,叫“锐角圆锥截线”(section of an acute-angledcone),现叫椭圆;当顶角是钝角时,叫“钝角圆锥截线”(section ofan obtuse-angled cone),现叫双曲线.欧几里得和阿基米德一直沿用这些旧名称,为简单起见,改用今名.

  本篇一开头先给出两个引理,以备后面证明之用.第1个是等差数列求和公式,写成不等式

2(a2a3a++na)n2a

2[a2a3a+…+(n-1)a]

  如用求和公式,左端是n(n+1)a,右端是(n-1)na,不等式成立是明显的.

  2个是自然数平方和公式,先证明

  (n1)(na)2+a(a2a3a+…+na)

  =3[a2+(2a)2+(3a)2++(na)2]

  由此可知

  a2(2a)2+(3a)2+…+(na)2

 

  写成不等式

3Sn-1a2n3a23Sna2

  下面以一个较简单的命题来阐明阿基米德的证题思想.为了便于理解,改用现代的术语和符号.

  命题21.回转抛物体被垂直于轴的平面所截取的部分的体积等于同底等高的圆锥体的3/2

 

  抛物线AOB(不妨设方程为y=x2)绕其轴OC回转,产生回转抛物体.求被垂直于OC的平面ACB所截取的部分的体积V.将OC用分点OC1C2,…,Cn-1Cn(=C)分成n等分,过这些分点作垂直于OC的平面将所求的体积分成n个小薄片.每一个小薄片介于一个内接圆柱与一个外接圆柱之间.例如E1H2A1F2回转后就产生C1C2间的小薄片的内接与外接圆柱.又每一个外接圆柱与紧接着上面的一个内接圆柱(A0F1E1H2回转产生的圆柱)相等.


=In.这是根据前面引理得出的不等式.现证明V=V*,否则,如VV*

Sn-InV-V*

  这是不合理的,因SnVInV*.同理可证VV*也导致矛盾,故

  其余各命题虽然都比这复杂,但基本思路是差不多的.除了没有取极限这一步骤之外,基本思想和现代积分是一致的.

  ()《论螺线》

  28个命题,前10个是关于圆及切线的各种比例关系的.命题11重新证明了自然数平方和的不等式,这在《劈锥曲面与回转椭圆体》中是作为引理提出的:

 

  接着给出螺线(现在称为“阿基米德螺线”)的定义.

 

  一条射线绕其固定端点匀速旋转,同时有一动点从端点出发沿射线匀速运动,那么这动点就描绘出一条平面螺线(spiral).射线开始时的位置叫做始线(OA),固定端点叫做原点(O).旋转一圈所产生的螺线与始线所包围的面积叫做“第1面积”(first area)

  现在在解析几何中螺线的极坐标方程是r=aθ,旋转一圈后动点到达A点,OA=2πa,以OA为半径的圆叫做“第1圆”.

  命题21以后的几个命题探讨螺线所围的面积,命题24证明了“第1面积”S等于“第1圆”面积的1/3,即

 

  螺线的内接与外接扇形.例如第3等分的内接扇形是ON2P3,外接扇形是OM2N3.设全部外接扇形面积的总和是Cn,内接扇形面积的总和是In,则CnSIn又根据自然数平方和的不等式,并注意到弓形面积公,有

 

  可以任意小.

  应用前面多次用过的反证法,可证S=S*.否则,如SS*,则可使

Cn-InS-S*

  这是不合理的,因外接扇形面积总和>S,而InS*.同样SS*也是不合理的.于是得到

 

  命题1320研究了螺线的切线,给出作图方法及种种性质.没有发现阿基米德有微分法的思想(那怕是粗浅的),那么他是怎样得到切线的作法的?这有趣而且带有关键性的问题引起后人的注意.有些学者认为是运用了运动学的原理.射线作匀角速运动,而动点在射线上作匀速运动,两个速度按平行四边形法则所得到的合速度方向就是切线方向.如果这推测正确的话,那么这就是古代属于微分法的罕见的例子.

  ()《平面图形的平衡或其重心》

  分两卷,卷Ⅰ先给出7个公理,都是显而易见之理.例如1.等重的物体放在相等的距离上(各在杠杆一端,与支点等距),则处于平衡状态;等重的物体放在不相等的距离上则不平衡,向距离远的一端倾斜.

  2.放在一定距离上的重物处于平衡状态时,若在其中的一个重物上加一点重量,则失去平衡,要向加重量的一端倾斜.

  5.相似图形的重心,也处在相似的位置上.

  从这些公理出发,导出了著名的杠杆定律:

  命题67.若两重物平衡,则所处的距离(与支点的距离)与重量成反比.

  证明是分可公度量与不可公度量两种情形来讨论的.下面的8个命题找出平行四边形、三角形以及梯形的重心.

  210个命题集中研究了抛物弓形和它的一部分的重心.方法是作一系列的内接三角形,逐步去逼近所讨论的图形.

  ()《数沙器》

  这是阿基米德遗留下来的唯一的算术著作,也可能是最后的一种.那时海厄罗王已去世(公元前216),他的儿子吉伦(Gel-on)继承王位,阿基米德也已年逾古稀.这篇文章是递交给吉伦王的.

  文章首先表明写作的目的,是要纠正有些人的错误观点,他们认为世界上的沙子是无穷的,即使不是无穷,也没有一个可以写出来的数超过沙子的数.阿基米德指出,任何大的数都可以表示出来.

  全文只有一个定理,实际相当于现今的指数法则

Am·An=Am+n

  他先给出地球、月球、太阳大小的估计,进而计算沙粒的数目.

  1.地球的周长不大于3×106个“斯达地”(stadium,复数stadia).斯

  

  的周长是5.55×105公里,而实际是40000公里.

  2.地球直径大于月球直径,太阳直径大于地球直径.

  3.太阳直径是月球直径的30倍.(实际是400)

  这些估计数字和实际出入很大,不过他自己也说只是一种假定.接着推出

“宇宙”(相当于太阳系)直径<1010斯达地.

  当时希腊用字母表示数字,最大的单位是“万”(10000myri-ad)

  

  表示加大10000倍.

  阿基米德以万为基础,建立新的记数法,使得任何大的数都能表示出来.

  1起到1亿(原文是万万,myriad myriads,按中文的习惯改称为亿)叫做第1(first order)数;以亿(108)为第2级数的单位,从亿(108)到亿亿(108)2叫第2级数;再以亿亿(108)2为单位,直到亿亿亿(108)3叫第3级数;照此类推,直到第1亿级数的最后一

  原文全用语言来叙述,没有创设记数符号,他是否在别的地方使用了符号不得而知.为了叙述简明,这里用P表示亿亿(108)108.从1P叫做第1周期(first period).下面列成表:

  1周期

  1级    从1108

  2级    从108(108)2

  

  

  2周期

  1级   从PP·108

  2级   从P·108P·(108)2

   
  

   

  108周期

  

  

  

  +1位.

   阿基米德算出充满宇宙的沙数不过是1051,即使扩充到“恒星宇宙”,即以太阳到恒星的距离为半径的大球,也只能容纳1063个沙粒,远远小于前面列出的大数.

  现今从理论上推测,可观察到的宇宙半径约为130亿光年,假想整个充满了具有最小可能体积的粒子(如质子),其数也不超过10125.也还不能和上述的大数相比.

  阿基米德的记数方法还可以继续下去,他企图说明任何大的数都可以表示出来,现在目的业已达到.可惜他没有再进一步去改革整个的希腊记数制度.也许那时已进行或临近叙拉古保卫战,致使改革工作功亏一篑.

  ()《抛物线图形求积法》

  在《方法》中、阿基米德利用力学原理,已经得到“抛物弓形面积是同底等高的三角形的4/3”的结论.但他认为这不算证明,在本篇中另外用完全不同于力学的几何方法去严格证明它.基本思想是穷竭法,作一系列的内接三角形去穷竭(逼近)弓形,最后用归谬法完成证明.

 

  全篇24个命题,最后一个命题才是所要的结论,前面的都可以看作是引理.为了避免叙述的冗长,下面用解析几何来说明.

  设抛物线方程为

y2=2x

  在抛物线上任取两点P1(x1y1)P2(x2y2),不妨设y1y2.过P1P2中点MMV‖抛物线的轴OX,交抛物线于VV是抛物弓形P1VP2的顶点,即过V的切线‖于P1P2,ΔP1VP2与弓形同底等高(命题118已证).现要证明弓形面积S是ΔP1VP2面积的4/3

  

  VP1中点M1M1Q1OX交抛物线于Q1,过P2V中点M2

  

  称ΔP1VP21级三角形,面积记作Δ1,ΔP1Q1V及ΔP2VQ2称为2

  

  VQ2Q2P2之上作43级三角形,其面积总和为Δ3,同样可证

 

  这手续可以继续下去,直到作出n级三角形,其面积的总和

  

  由此知

 

  又

  

 

  前面的命题已证明,内接三角形的级数越多,In越大,S-In越小,同时Δn也越小,以至小于任给的正数.

  

  或

 

  这与前面的不等式矛盾.

  

InS

  这也是不合理的,因In是内接三角形面积之和,应有InS.综上所述,

  

  ()《论浮体》

  这是古代第一部流体静力学著作,阿基米德因此而被尊为流体静力学的创始人.20世纪之前,本书只有莫贝克13世纪时的拉丁文译本,1906年,海伯格发现了羊皮纸上的希腊原文,但不完全.现传的本子是两种文字参照编成的.

  卷上命题7给出著名的“阿基米德原理”:重于流体的固体,放在流体中,所减轻的重量等于排去流体的重量.这原理因和他解决王冠问题联系起来而脍炙人口.

  卷下的10个命题相当详细地讨论了正回旋抛物体在流体中的稳定性,研究了不同的高与底的比、具有不同的比重及在流体中处于不同位置时这种立体的性态.在推理中运用了高度的计算技巧.

  ()《引理集》

  只有阿拉伯文译本传下来,是15个初等几何的问题集.也许不是阿基米德的原著而是后人收集整理的,因为在文章中不止一次提到阿基米德的名字.其中提出一种被称为“皮匠刀”(shoe-makers knife)的图形,是三个半圆所包围的部分,两个小半圆外切,又同时内切于大半圆.这图形有许多奇妙的性质,如通过两小圆的外切点C,作CP⊥大圆直径AB(三个圆的直径是重合的)交大圆于P,则“皮匠刀”AGCBPA的面积等于以CP为直径的圆面积.又可以作两个小圆,分别切于CP、大圆及一个小圆,可证这两个小圆相等.设HE是‖于AB的一个小圆的直径,则切点FHA共线,FEB也共线.E是ΔABD的垂心,从ADB作垂线,垂足I必落在大圆周上.又AEHC必过切点G,等等。还有许多其他的性质.

  命题83等分角问题有关.设AB是⊙O的任一弦,延长ABC使BC等于圆的半径.联CO并延长之使交圆于ED.求证

 

  OAOB,只要证明∠AOE=3BOD即可.实际上∠AOE=OAC+OCA=OBA+∠OCA=BOC2OCA=3BOD

  现将问题倒过来考虑.设有∠AOE,求它的三等分角.这就是古希腊的三大作图问题之一的“三等分任意角”问题.从理论上说用直尺和圆规是不可能解决的.受到本命题的启发,只要在直尺上加一个点,就能轻而易举地解决这历史难题.

  在直尺ABC上记上一个点B,使B至尺端C的距离等于半径.现令尺通过A点,B在圆周上移动,当C落在直径的延长线EDC上时,作ABC直线,则∠C就是所求的三等分角.

  当然这已不是欧几里得几何的尺规作图法,因为工具已经改变(即使只加一点!),而且不合作图公法.不过它说明了一个问题,有些初学者只知道三等分角是难题,但不知难在尺规的限制上,如不限于尺规、那真是易如反掌.

  ()《群牛问题》

  阿基米德的论文向来是以命题的形式来表达的,而这篇的体例不同,它是用诗句写成的(原文见[7]p203).标题是给埃拉托塞尼的信.胡尔奇(Hultsch)曾猜想这是阿基米德“显本领”(tour de force)之作,以此向亚历山大的学者们(特别是阿波罗尼奥斯)挑战.但它的真实性颇值得怀疑,“群牛问题”大概很早以前就已存在,阿基米德只是重新研究而已.诗句也未必出自他的手.内容如下:

  太阳神赫利俄斯(Helios)有一大群牛在西西里岛草原上放牧.公牛和母牛各有4种颜色,各种头数之间的关系如下:令Ww分别表示白色公牛、母牛的头数;

  Xx……………黑色……………;

  Yy……………黄色……………;

  Zz……………花色…………….

  要求

  

  个三角形.倒数第2个条件是含混的,原话是“黑色和白色的公牛可以合起来排成一个方形,长与宽是相等的”.有两种可能解释,一是长与宽的数目相等,即

W+X=n2(完全平方数)

  另一是方形的两个边长相等,但由于牛的身长与体宽不一样,方形两个边的数目并不相等,条件成为①①这种解释也很牵强,因为要挤成一个正方形,还需要考虑身长与体宽的比,故右端不是任意两个正整数之积mn而是kn2(k是常数),这样问题并没有化简.

WX=mn

  后一种情形较易解决,称为“较简问题”,而前一种情形称为“完全问题”.

  “较简问题”已由JulFr.武尔姆(Wurm)解决.“完全问题”在1880年为阿姆托尔(Amthor)所解决.即使较简问题,牛的总数也已达到5916837175686头之多!而完全问题导致22次方程

t2-4729494u2=1

  最小解牛的总数是7 766×10206544,位数超过20万!当时阿基米德未必解得出来.

 

其他工作

 

  ()半正多面体(semiregular polyhedron)

  帕波斯在《数学汇编》中记述阿基米德发现了13种半正多面体.各个面是若干个不同类的正多边形,但同一类的都相等.例如12个相等的正5边形和80个相等的三角形构成一个92面体;6个正8边形,8个正6边形,12个正方形构成26面体;26面体又可以由18个正方形和8个正三角形构成.如此等等.

  ()三角形面积公式

  阿拉伯数学家比鲁尼(Abū’l Raihān Muhammad al-Bīrūnī,9731050)记述,阿基米德发现了用边表三角形面积的公式

 

  s是三角形三边abc之和之半,这公式通常归功于海伦(He-ron62年前后),并称为海伦公式.

  ()7边形作图法

  另一个阿拉伯数学家塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra826901)指出,阿基米德发现正7边形的作图法.自然不是尺规作图,可惜方法已失传,

  ()天文学方面

  阿基米德对天文学也深有研究,但著作没有留下来.西塞罗的书记载马塞勒斯攻占叙拉古时,曾获得两座阿基米德制作的天文仪器.一座是天球仪,上刻各个星座,后放置在神庙中.另一座为加卢斯(Gain Sulpicius Gallus,公元前166年为罗马执政官)所有.可称为天象仪(planetarium),借助机械或水力表演日、月、行星的运行,还可以演示日、月食.

  ()阿基米德螺旋泵

  历史学家狄奥多罗斯(Diodorus Siculus,公元前1世纪)记载阿基米德在埃及时,发明一种螺旋水泵,被埃及人广泛使用.

 

结束语

 

  历史上有的数学家勇于开辟新的园地,而缺乏缜密的推理,有的数学家偏重于逻辑证明,而对新领域的开拓却徘徊不前.阿基米德则兼有二者之长,他将惊人的独创与严格的论证融为一体,更善于将计算技巧与逻辑分析结合起来.正确地注意理论与实际的联系,常常通过实践直观地洞察到事物的本质,然后运用逻辑方法使经验上升为理论(如浮力问题),再用理论去指导实际工作(如发明抗敌器械).在严格性方面,实超过了1517世纪的分析学家,他的理论比牛顿、莱布尼茨更加接近柯西、外尔斯特拉斯的ε-δ方法(例如阿基米德公理及穷竭法的使用).只是没有强大的生产需求和适宜的社会环境,未能进一步发展起来.

  这位独步千古的科学家,还具有崇高的爱国热忱,在祖国危亡的紧急关头,献出了自己的一切.他的爱国精神和爱科学的精神同样为万世所景仰.