欧几里得

辽宁师范大学 梁宗巨

  欧几里得(Euclid,拉丁文为 Euclides Eucleides) 公元前300年前后活跃于古希腊文化中心亚历山大.数学.

  欧几里得以其所著的《几何原本》(Elements,以下简称《原本》)闻名于世,他的名字在20世纪以前一直是几何学的同义词,而对于他的生平,现在知道的却很少.他生活的年代,是根据下列的记载来确定的.雅典柏拉图学园晚期的导师普罗克洛斯(Proclus,约公元412485)450年左右给欧几里得《原本》卷1作注,写了一个《几何学发展概要》,常称为《普罗克洛斯概要》(Proclus's summary),简称《概要》,是研究希腊几何学史的两大重要原始参考资料之一.另一种资料是帕波斯(Pappus)的《数学汇编》(Mathematical collection),下面简称《汇编》.《概要》中指出,欧几里得是托勒密一世(Ptolemy Soter,约公元前367—前282年,前323—前285年在位,托勒密王朝的建立者)时代的人,早年求学于雅典,深知柏拉图的学说.他著《原本》时引用许多柏拉图学派人物如欧多克索斯(Eudoxus)、泰特托斯(Theaetetus,约公元前417—前369)的成果,可能他也是这个学派的成员.《概要》又说阿基米德(Archimedes)的书引用过《原本》的命题,可见他早于阿基米德.也早于埃拉托塞尼(Eratosthenes)

  通过亚里士多德(Aristotle)的著作,也可以核对欧几里得的年代.《原本》中建立公设、公理,显然受到亚里士多德逻辑思想的影响.亚里士多德在《分析前篇》(Prior analytics)中给出“等腰三角形两底角相等”的“证明”,和《原本》卷Ⅰ命题5完全不同,也没有提到欧几里得.可见《原本》的证明是欧几里得后来完成的,他的活动年代应在亚里士多德之后.

  另一方面,欧几里得的天文著作《观测天文学》(Phaenomena)曾引用奥托利科斯(Autolycus of Pitane,约公元前300)《运行的天体》(On moving sphere)的命题.而奥托利科斯是阿塞西劳斯(Arcesilaus,约公元前315—前241年,曾是柏拉图学园的导师)的老师.

  此外,帕波斯在《汇编》(7)中提到阿波罗尼奥斯(Apollo-nius)长期住在亚历山大,和欧几里得的学生在一起.这说明欧几里得在亚历山大教过学.

  综上所述,欧几里得活跃时期应该是公元前 300—前295年前后.

  《概要》还记述了这样一则轶事:托勒密王问欧几里得,除了他的《原本》之外,有没有其他学习几何的捷径.欧几里得回答道:


这句话后来推广为“求知无坦途”,成为传诵千古的箴言.斯托比亚斯(Stobaeus,约公元500)的记载略有差异,他认为是门奈赫莫斯(Menaechmus)对亚历山大王说的话:“在国家里有老百姓走的小路,也有为国王铺设的大道,但在几何里,道路只有一条!”现多数学者取前说.理由是在门奈赫莫斯的时代,几何学尚未形成严整的独立学科.

  斯托比亚斯还记载另一则故事,说一个学生才开始学习第一个命题,就问学了几何学之后将得到些什么.欧几里得说:“给他三个钱币,因为他想在学习中获取实利”.由此可知欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研,不赞成投机取巧的作风,也反对狭隘实用观点.帕波斯特别赞赏欧几里得的谦逊,他从不掠人之美,也没有声称过哪些是自己的独创.而阿波罗尼奥斯则不然,他过分突出自己,明明是欧几里得研究过的工作,他在《圆锥曲线论》中也没有提到欧几里得.

  除《原本》之外,欧几里得还有不少著作,可惜大都失传.几何著作保存下来的有《已知数》(The data)、《图形的分割》(Ondivisions of figures),此外还有光学、天文学和力学等,多已散失.

 

《原本》产生的历史背景

 

  欧几里得《原本》是一部划时代的著作.其伟大的历史意义在于它是用公理方法建立起演绎体系的最早典范.过去所积累下来的数学知识,是零碎的、片断的,可以比作木石、砖瓦.只有借助于逻辑方法,把这些知识组织起来,加以分类、比较,揭露彼此间的内在联系,整理在一个严密的系统之中,才能建成巍峨的大厦.《原本》完成了这一艰巨的任务,对整个数学的发展产生了深远的影响.

  《原本》的出现不是偶然的,在它之前,已有许多希腊学者做了大量的前驱工作.从泰勒斯算起,已有 300多年的历史(见[11).泰勒斯是希腊第一个哲学学派——伊奥尼亚学派的创建者.他力图摆脱宗教,从自然现象中去寻找真理,对一切科学问题不仅回答“怎么样”?还要回答“为什么这样”?他对数学的最大贡献是开始了命题的证明,为建立几何的演绎体系迈出了可贵的第一步.

  接着是毕达哥拉斯学派,用数来解释一切,将数学从具体的事物中抽象出来,建立自己的理论体系.他们发现了勾股定理,不可通约量,并知道五种正多面体的存在,这些后来都成为《原本》的重要内容.这个学派的另一特点是将算术和几何紧密联系起来,为《原本》算术的几何化提供了线索.

  希波战争以后,雅典成为人文荟萃的中心.雅典的智人(sophist)学派提出几何作图的三大问题:(1)三等分任意角;(2)倍立方——求作一立方体,使其体积等于已知立方体的两倍;(3)化圆为方——求作一正方形,使其面积等于一已知圆.问题的难处,是作图只许用直尺(没有刻度,只能划直线的尺)和圆规.希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出,而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题.这是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步.作图只能用尺规的限制最先是伊诺皮迪斯(Oenopedes,约公元前465)提出的,后来《原本》用公设的形式规定下来,于是成为希腊几何的金科玉律.

  智人学派的安蒂丰(Antiphon)为了解决化圆为方问题,提出颇有价值的“穷竭法”(method of exhaustion),孕育着近代极限论的思想.后来经过欧多克索斯的改进,使其严格化,成为《原本》中的重要证明方法,较有代表性的是卷Ⅻ的命题 2(见[ 2],vol 3p365;[9], p230)

  埃利亚(意大利半岛南端)学派的芝诺(Zeno of Elea)提出四个著名的悖论,迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题.无穷历来是争论的焦点,在《原本》中,欧几里得实际上是回避了这一矛盾.例如卷Ⅸ命题20说:“素数的个数比任意给定的素数都多”,而不用我们现在更简单的说法:素数无穷多.只说直线可任意延长而不是无限延长.

  原子论学派的德谟克利特(Democritus,约公元前410)用原子法得到的结论:锥体体积是同底等高柱体的 1/3,后来也是《原本》中的重要命题.

  柏拉图学派的思想对欧几里得无疑产生过深刻的影响.柏拉图非常重视数学,特别强调数学在训练智力方面的作用,而忽视其实用价值.他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力,因为几何能给人以强烈的直观印象,将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中.

  这个学派的重要人物欧多克索斯创立了比例论,用公理法建立理论,使得比例也适用于不可通约量.《原本》卷Ⅴ比例论大部分采自欧多克索斯的工作.

  柏拉图的门徒亚里士多德是形式逻辑的奠基者,他的逻辑思想为日后将几何整理在严密的体系之中创造了必要的条件.

  到公元前4世纪,希腊几何学已经积累了大量的知识,逻辑理论也渐臻成熟,由来已久的公理化思想更是大势所趋.这时,形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了.

  建筑师没有创造木石砖瓦,但利用现有的材料来建成大厦也是一项不平凡的创造.公理的选择,定义的给出,内容的编排,方法的运用以及命题的严格证明都需要有高度的智慧并要付出巨大的劳动.从事这宏伟工程的并不是个别的学者,在欧几里得之前已有好几个数学家做过这种综合整理工作.其中有希波克拉底(Hippocrates,约公元前460),勒俄(LeoLeon,公元前4世纪),修迪奥斯(Theudius,公元前4世纪)等.但经得起历史风霜考验的,只有欧几里得《原本》一种.在漫长的岁月里,它历尽沧桑而能流传千古,表明它有顽强的生命力.它的公理化思想和方法,将继续照耀着数学前进的道路.

 

《原本》的版本和流传

 

  欧几里得本人的《原本》手稿早已失传,现在看到的各种版本都是根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整理出来的.古希腊的海伦(Heron)、波菲里奥斯(Porphyrius,约公元232304)、帕波斯,辛普利休斯(Simplicius6世纪前半叶)等人都注释过.最重要的是赛翁(Theon of Alexandria,约公元 390)的修订本,对原文作了校勘和补充,这个本子是后来所有流行的希腊文本及译本的基础.赛翁虽生活在亚历山大,但离开欧几里得已有7个世纪,他究竟作了多少补充和修改,在19世纪以前是不清楚的.

  19世纪初,拿破仑称雄欧洲,1808年他在梵蒂冈图书馆找到一些希腊文的手稿,带回巴黎去.其中有两种欧几里得著作的手抄本,以后为 F.佩拉尔(Peyrard 17601822)所得.(见[2],pp4647p103)18141818年,佩拉尔将两种书用希腊文、拉丁文、法文三种文字出版,一种就是《原本》,另一种是《已知数》,通常叫做梵蒂冈本.《原本》的梵蒂冈本和过去的版本不同,过去的版本都声称来自赛翁的版本,而且包含卷Ⅵ命题33(在等圆中,无论是圆心角或圆周角,两角之比等于所对弧之比).赛翁在注释托勒密(Ptolemy)的书时自称他在注《原本》时曾扩充了这个命题并加以证明.而梵蒂冈本没有上述这些内容,可见是赛翁之前的本子,当更接近欧几里得原著.

  9世纪以后,大量的希腊著作被译成阿拉伯文.《原本》的阿拉伯文译本主要有三种:(1)赫贾季(al-Hajjāj ibn Yūsuf9世纪)译;(2)伊沙格(Ishāq ibn Hunain,?—910)译,后来为塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra,约826901)所修订,一般称为伊沙格-塔比本;(3)纳西尔丁(Nasīr ad-Dīn al Tūsī,12011274)译.

  现存最早的拉丁文本是1120年左右由阿德拉德(Adelard ofBath1120左右)从阿拉伯文译过来的.后来杰拉德(Gerard ofCremona,约11141187)又从伊沙格-塔比本译出.1255年左右,坎帕努斯(Campanus of Novara,?—1296)参考数种阿拉伯文本及早期的拉丁文本重新将《原本》译成拉丁文.两百多年之后(1482)以印刷本的形式在威尼斯出版,这是西方最早印刷的数学书.在这之后到19世纪末,《原本》的印刷本用各种文字出了一千版以上.从来没有一本科学书籍象《原本》那样长期成为广大学子传诵的读物.它流传之广,影响之大,仅次于基督教的《圣经》.

  15世纪以后,学者们的注意力转向希腊文本,B.赞贝蒂(Zamberti,约生于1473)第一次直接从赛翁的希腊文本译成拉丁文,1505年在威尼斯出版.

  目前权威的版本是JL.海伯格(Heiberg18541928,丹麦人) H.门格(Menge)校订注释的“Euclidis opera omnia(《欧几里得全集》,18831916出版),是希腊文与拉丁文对照本.最早完整的英译本(1570)的译者是H.比林斯利(Billingsley,?—1606).现在最流行的标准英译本是 TL.希思(Heath18611940,英国人)译注的“The thirteen books of EuclidsElements(《欧几里得几何原本13卷》,1908初版,1925再版,1956修订版),这书译自上述的海伯格本,附有一篇长达150多页的导言,实际是欧几里得研究的历史总结,又对每章每节都作了详细的注释.对其他文字的版本,包括意、德、法、荷、英、西、瑞典、丹麦以及现代希腊等语种,此书导言均有所评论.

  中国最早的汉译本是1607(明万历35年丁未)意大利传教士利玛窦(Matteo Ricci 15521610)和徐光启(15621633)合译出版的.这是中国近代翻译西方数学书籍的开始,从此打开了中西学术交流的大门.所根据的底本是德国人C.克拉维乌斯(Clavius15371612)校订增补的拉丁文本“Euclidis Elementorum Libri XV(《欧几里得原本 15卷》, 1574初版,以后再版多次).徐、利译本只译了前6卷,定名为《几何原本》,“几何”这个名称就是这样来的.

  有的学者认为元代(13世纪)《原本》已经传入中国,根据是元代王士点、商企翁《元秘书监志》卷7“回回书籍”条有《兀忽列的四擘算法段数十五部》的书目,其中兀忽列的应是Euclid的音译.([15]p139[16])但也有可能仍是阿拉伯文本,只是译出书名而已.后说似更可信.

  克拉维乌斯本是增补本,和原著有很大出入.原著只有13卷,卷XIVXV是后人添加上去的.卷XIV一般认为出自许普西克勒斯(Hypsicles,约公元前180)之手,而卷XV6世纪初大马士革乌斯(Damascius,叙利亚人)所著.(见[12],p119182)

  利玛窦、徐光启共同译完前6卷之后,徐光启“意方锐,欲竟之”,利玛窦不同意,说:“止,请先传此,使同志者习之,果以为用也,而后徐计其余.”三年之后,利玛窦去世,留下校订的手稿.徐光启据此将前6卷旧稿再一次加以修改,重新刊刻传世.他对未能完成全部的翻译而感遗憾,在《题<几何原本>再校本》中感叹道:“续成大业,未知何日,未知何人,书以俟焉.”

  整整250年之后,到1857年,后9卷才由英国人伟烈亚力(Alexander Wylie 18151887)和李善兰(18111882)共同译出.但所根据的底本已不是克拉维乌斯的拉丁文本而是另一种英文版本.伟烈亚力在序中只提到底本是从希腊文译成英文的本子,按照英译本的流传情况,可能性最大的是I.巴罗(Barrow16301677,牛顿的老师)15卷英译本,他在1655年将希腊文本译成拉丁文,1660年又译成英文.

  李、伟译本(通称‘清译本”)至今已有100多年,现已不易看到,况且又是文言文,名词术语和现代有很大差异,这更增了研读的困难,因此重新翻译是十分必要的.

  徐、利前6卷的译本(通称“明译本”)在“原本”之前加上“几何”二字,称译本为《几何原本》.清译本的后9卷沿用这个名称一直到现在.这“几何”二字是怎样来的?目前有三种说法:(1)几何是拉丁文geometria字头geo的音译.此说颇为流行,源出于艾约瑟(Joseph Edkins18251905,英国人)的猜想,记在日本中村正直(18321891)为某书所写的序中.(2)在汉语里,“几何”原是多少、若干的意思,而《原本》实际包括了当时的全部数学,故几何是“mathematica(数学)或“magnitude(大小)的意译.(3)《原本》前6卷讲几何,卷Ⅶ—Ⅹ是数论,但全用几何方式来叙述,其余各章也讲几何,所以基本上是一部几何书.内容和中国传统的算学很不相同.为了区别起见,应创新词来表达.几何二字既和“geometria”的字头音近,又反映了数量大小的关系,采用这两个字可以音、意兼顾.这也许更接近徐、利二氏的原意.

 

《原本》内容简介

 

  明、清译本因为是修订增补本,和现行的希思英译本有相当大的出入,下面以希思本为主,兼顾明、清译本,作一简要的介绍.

  1首先给出23个定义.如1.点是没有部分的(A point isthat which has no part) 2.线只有长而没有宽(A line is breadthless length),等等.还有平面、直角、垂直、锐角、钝角、平行线等定义.前7个定义实际上只是几何形象的直观描述,后面的推理完全没有用到.

  明译本(即克拉维乌斯增补本)在原文的基础上加入很多说明,将23个定义拆成“界说三十六则”.一开头还对“界说”加以界说:“凡造论,先当分别解说论中所用名目,故曰界说.”下面指出几何研究的对象:“凡论几何,先从一点始,自点引之为线,线展为面,面积为体,是名三度.”可见在明译本中,几何(几何学)研究的是由点、线、面、体构成的图形,和数学研究的对象不同,两者有广狭之分.但在别的地方,几何就是“大小”、“多少”的意思,即通常所说的“量”,和“数”是有区别的.如卷Ⅴ第2界:“若小几何能度大者,则大为小之几倍”,现可译为“当一个较大的量能被较小的量量尽时,较大的量叫做较小量的倍量(multiple)”.

  定义之后,是5个公设,头3个是作图的规定,第4个是“凡直角都相等”.这几个都是显而易见的,没有引起什么争论,第5个就很复杂:“若一直线与两直线相交,所构成的同旁内角小于二直角,那么,把这两直线延长,一定在那两内角的一侧相交”.这就是后来引起许多纠纷的“欧几里得平行公设”或简称第5公设.

  公设后面,还有5条公理,如1.等于同量的量彼此相等;5.整体大于部分;等等.以后各卷不再列其他公理.在《原本》中,公设(postulate)主要是关于几何的基本规定,而公理(axiom)是关于量的基本规定.将两者分开是从亚里士多德开始的,现代数学则一律称为公理.

  由于平行公设不象其他公理那么简单明了,人们自然会怀疑,欧几里得把它列为公设,不是它不可能证明,而是没有找到证明.这实在是这部千古不朽巨著的白璧微瑕.从《原本》的产生到19世纪初,许多学者投入无穷无尽的精力,力图洗刷这唯一的“污点”,最后导致非欧几何的建立.

  这一卷在公理之后给出48个命题.前4个是:

  1.在已知线段上作一等边三角形.

  2.以已知点为端点,作一线段与已知线段相等.

  3.已知大小二线段,求在大线段上截取一线段与小线段相等.

  4.两三角形两边与夹角对应相等,则这两三角形相等.

  这里两三角形“相等”,指的是“全等”,但在这一卷命题35以后,相等又有另外的含义,它可以指面积相等.现在已把图形全等(congruent)与等积(equiarealequivalent)区分开来,而在《原本》中是用同一个字眼(equal)来表示的.不过欧几里得从来没有把面积看作一个数来运算,面积相等是“拼补相等”.

  命题5颇有趣:等腰三角形两底角相等,两底角的外角也相等.

  现在通常是用引顶角平分线来证明的,但作角的平分线是命题9,这里还不能用,只能用前4个命题以及公设、公理来证.

  证法是延长ABDACE[公设2],在AD上任取一点B',在AE上截取ACAB'[命题3],连接BCBC'[公设1].接着证△ABC≌△ABC'[命题4],故知BCBC',∠BBC=∠CCB,又BB'=CC',于是△BBC≌△BCC.由此就不难推出命题的结论.

 

  中世纪时,欧洲数学水平很低,学生初读《原本》,学到命题5,觉得线和角很多,一时很难领会,因此这个命题被戏称为“驴桥”(pons asinorumasses bridge,意思是“笨蛋的难关”)

  后面的命题包括三角形、垂直、平行、直线形(面积)相等等关系.

  命题44:用已知线段为一边,作一个平行四边形,使它等于已知三角形,且有一个角等于已知角.

  AB是已知线段,S是已知三角形,α是已知角.

 

  延长AB,作∠EBC=α,根据43命题,可作一个EBCD=S.过A FAEB ED的延长线于 F,连FB并延长之,交DC的延长线于G(因∠EDC与∠DEB互补,但∠EFB<∠DEB,故∠EDC+∠EFB小于二直角,按平行公设,FBDC延线必相交),过GGNBC EBFA的延长线于 MN.因AM=EC=S,故AM即为所求.

  欧几里得的术语是“将平行四边形AM贴合到线段AB上去”.普罗克洛斯评注《原本》时指出,“面积的贴合”(application of areas)是古希腊几何学的一种重要方法,它是毕达哥拉斯学派发现的.(见[2],volIp343)

  如果已知角α是直角,则所求的平行四边形是矩形,矩形另一边未知,设为x.命题化为解一次方程ax=S的问题,或用几何作图进行除法S÷a运算的问题.

  命题47就是有名的勾股定理:“在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形.”这里相等仍然是指拼补相等,不牵涉到长度、数的关系.本卷最后一个命题(命题48)是勾股定理的逆定理.

  卷Ⅱ包括14个命题,用几何的形式叙述代数的问题,即所谓“几何代数学”(geometrical algebra).一个数(或量)用一条线段来表示,两数的积说成两条线段所构成的矩形,数的平方根说成等于这个数的正方形的一边.

  命题1:设有两线段,其中之一被截成若干部分,则此两线段所构成的矩形等于各个部分与未截线段所构成的矩形之和.

 

  相当于恒等式

a(bc+d +)=abacad+…

  命题4:将一线段任意分为两部分,在整个线段上的正方形等于在部分线段上的两个正方形加上这两部分线段所构成的矩形的二倍.相当于(ab)2=a22ab+b2

  命题5是值得注意的,它相当于二次方程的解法.今用现代术语、符号解释如下:

  C是线段AB的中点,D是另一任意点,则ADDB所构成的矩形加上CD上的正方形等于CB上的正方形.

  证明]完成□CEFB,连对角线EB,作DGCEEBH,过H KMAB,作 AKKM.因AL=CM CH=HFDB=HD,故ADDB所构成的矩形=AH=ALCH=CM+HF,同加上CD(=LH)上的正方形□LG,即得命题的结论.

  1756年,R.西姆森(Simson16871768)注释《原本》的英译本时指出,将本命题(记为Ⅱ5)稍加改变,即相当于二次方程的解法.

  已知线段AB=a,求其上一点D,使ADDB所构成的矩形等于已知□b2(b为边的正方形).设DB=x,列成方程得(a-x)x=b2x2-ax+b2=0.由Ⅱ5ADDB所构成的AH=CF-LG,利用勾股定理(147),作一个正方形等于二正方形的差是轻而易举的,现□CF,□b2已知,作两者之差即得□LG,由此得CDx.具体的作法是:取AB中点C,作CEAB,在CE上取O点,使OC=b,以O为心,CB为半径作弧交ABDD',则 D就是所求的点,由于对

  5的另一种形式是恒等式

 


用的恒等式.

  若令 a=(2n+1)2b=1,代入上式化简为

(2n+1)2(2n2+2n)2=(2n22n+1)2

可得由毕达哥拉斯求出的勾股数组(用正整数表示直角三角形的三边)2n12n22n2n22n1

  与此相仿,命题6相当于求解另一种类型的方程x2ax-b2=0

   命题11:分已知线段为两部分,使它与一小线段所构成的矩形等于另一小线段上的正方形.相当于解方程x2ax-a2=0.这就是将线段分成“中末比”,后来叫做“黄金分割”的著名问题.后面卷Ⅳ命题10“作一等腰三角形,使底角是顶角的两倍”,也就是作出36°及72°角,从而能作出正5边形和正10边形.卷Ⅵ命题30:“截已知线段成中末比”,都是同一问题的不同表现形式.卷命题9再次提出正10边形、正6边形与中末比的关系,可见欧里几得很重视这个分割.

  命题1213是三角学中的余弦定理:

c2=a2b2-2abcos C

  不过也是用几何的语言来叙述的,没有出现三角函数.

  卷Ⅲ有37个命题,讨论圆、弦、切线、圆周角、圆内接四边形及有关圆的图形等.

 

  较引人注目的是命题16:过直径AB端点A的垂线AD必在圆外,半圆周ACBAD之间不可能再插入其他直线,半圆周ACBAB之间的角比任何锐角都大,剩下的角(AD间的角)比任何锐角都小.

  AD间的角究竟算不算角?在历史上有很大争论.在普罗克洛斯的评注中称它为“牛角”(hornlike angle),这绰号在欧几里得以前早已有,在《原本》中没有使用,也没有说它的值是零.若作一系列切于A点的圆,似乎圆越小,“牛角”越大,但命题的结论并非如此.如果说它的值是零,角边应处处重合,而图形不是这样.这些疑问按现在曲线交角的定义已经解决,“牛角”的值是零.

  卷Ⅳ有16个命题,包括圆内接与外切三角形、正方形的研究,圆内接正多边形(5边、10边、15)的作图.

  最后一题是正15边形的作图.普罗克洛斯认为和天文学有关,因为在埃拉托塞尼(Eratosthenes,约公元前276—前195)之前,希腊天文家认为黄赤交角(黄道与天球赤道交角)24°,即圆周角360°的 1/15.后来埃拉托塞尼测出是180°的11/83,约23°5120″.

  卷Ⅴ是比例论.后世的评论家认为这是《原本》的最高的成就.毕达哥拉斯学派过去虽然也建立了比例论,不过只适用于可公度量.如果AB两个量可公度,即存在两个正整数mn使


AB无法相比.这样就很难建立关于一切量的比例理论.摆脱这一困境的是欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus,公元前4世纪),他用公理法重新建立了比例论,使它适用于所有可公度与不可公度的量.可惜他的著作已全部失传,好在还有相当一部分保存在《原本》中,如卷Ⅴ就主要取材于欧多克索斯的工作,当然也有欧几里得本人的加工整理,有的还散见于卷Ⅻ,Ⅵ,Ⅹ,之中.

  卷Ⅴ首先给18个定义.定义3:比是两个同类量之间的大小关系.定义4:如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量,则说这两个量有一个“比”(ratio).这样就突破了毕达哥拉斯认为只有可公度量才可以比的限制.实际上,如果承认了“阿基米德公理”或“欧多克索斯公理”(在卷Ⅹ命题1正式使用):“两个有限的同类量,任一个加大适当的倍数后就能大于另一个”,任何两个有限量都有比,不必考虑可否公度.尽管不承认这个“比”是数,仍然不妨碍以此为起点建立适用于一切量的比例论.

  现在已经有严格建立的实数理论和完整的比例论,如果AB=CD,则有

AnB=mCnD

  (mn是任意正整数),从而

  mAnB可推出mCnD

  mAnB可推出mCnD

  mA=nB可推出mA=nB

  这是比例的基本性质.《原本》巧妙地利用这一性质来作比例的定义,即

  定义4:设有ABCD4个量, ACBD分别乘以同样的倍数mn,如果

 

  则说两个比ABCD相等,即4个量可构成比例AB=CD

  这定义是整个理论的基础,由此推出25个有关比例的命题.

  近代实数理论中的“戴德金分割”实际上受这比例定义的启发.

  

  

m1An1B

m2An2B


于是全体有理数构成一个“戴德金分割”.如果mA=nB,说明


  看出来,分划的思想和上述比例定义是一脉相承的.尽管两者的思想很接近,但欧几里得始终不把AB和数联系起来考虑,因而从来没有出现ABCD相加或相乘的情况.这是时代的局限性,无理数理论的产生,足足拖延了两千多年.

  卷Ⅵ把卷Ⅴ已建立的理论用到平面图形上去,共33个命题.处理相似直线形中的各种成比例的线段等.其中命题2730颇重要.

  命题27:设C是线段AB中点,在AC上作ACDE [原文的说法是将平行四边形贴合(apply)AB],又在AB的部分线段KB上作KBFGAD,延长FGCDP,交AEH,求证AGAD

 

  KFADCM,故对角线BGBD重合. KM=CF=AP,两端同加上CG,即知AG=磬折形PCBMLGCM=AD.本题给出求极大极小的一种途径.和代数方法比较:

 

2次方程有实根的充要条件是判别式非负,即

 

这正是命题的结论.x=bS取最大值.

  

是矩形,它的周长是常数2a.于是推出有相同周长的矩形中,以正方形面积最大的结论.

  命题29相当于某种类型的2次方程解法:作ADFC贴合到AB上,使其等于已知面积S,且AC边超出AB的部分BC上的BEFC与已知P相似.

 

  作法是取AB中点G,在GB上作GBMKP,另作QR,使其面积等于GMS之和(根据Ⅵ,25),延长KMNKGH,使KN=LRKH=LQ,完成KHFN,连对角线KF,完成BEFC ADFC.因为BN=HB=DG,又HN=QR=GMS,故知磬折形GHFNMB=S=HC+BN=HCDG=DC.故DC即为所求.


本命题就是这2次方程的几何解法.

 

个词,命题27所作的平行四边形未占满整个线段,这叫做“不足”


罗尼奥斯用到圆锥曲线上,希腊文“不足”转化成 ellipes(椭圆),“过剩”转化为 hyperbola(双曲线),“贴合”变成parabola(抛物线)

  卷Ⅶ,Ⅷ,Ⅸ是数论,分别有392736个命题,讨论正整数的性质与分类.数被看作是线段,两数的乘积叫做平面(plane)或平面数(定义16),这两个数叫做平面的边.三个数的乘积叫做立体(solid)或立体数(定义17),这三个数叫做立体的边.

  这一卷许多内容和卷Ⅴ相同,欧几里得为什么不把卷Ⅴ的结论直接搬过来用,而非要重新论证一遍不可?这大概是他不把数看作普通的量,因为卷Ⅴ中讨论的量包括可公度和不可公度量,而这一卷只牵涉到有理数.也可能他认为数论可以建立在较简单的基础上,所以单独处理.

  卷首共给出22个定义.定义20:如果第1数之为第2数的某个倍数或某个部分,与第3数之为第4数的某个倍数或某个部分相同,则这4个数成比例.这定义完全回到毕达哥拉斯学派可公度量的比例论上去.

  定义22:一个数等于它自身的部分(即真因子)之和,这数叫做完全数.

  命题12就是“欧几里得辗转相除法”(Euclidean algorithm)的出处.两数辗转相除,最后得到最大公约数,如最大公约数是1,则两数互素.命题420是数的比例问题,命题2132是关于素数的问题.

  命题30:某素数能整除两数之积,则此素数至少能整除两数之一.这在数论中是很重要的.

  命题31:任何合数必被某一素数整除.在证明中提出“任何正整数集必有最小数”(现在叫做良序性)的假定.

  命题3339讨论最小公倍数.

  卷Ⅷ讲连比例(实际就是等比数列),平面数、立体数的性质.

  卷Ⅸ有几个命题是值得注意的.命题14:如果某一数是被某些素数所整除的数中之最小者,则这一数不能被这些素数以外的任何素数整除.这就是算术基本定理:合数的素因子分解是唯一的.

  命题20:素数的个数比任意给定的素数都多.证明是用反证法,设 A B C是给定的素数,则 ABC+ 1者是素数或者含有异于ABC的素因子,两者都可以推出有多于ABC的素数存在.

  命题35导出等比数列的求和公式,在形式上和现在常见的不同.

  a1a2a3,…,anan+1是等比数列,命题结论是

 

  如将数列改写为aarar2,…,arn-1arn,前n项和记作Sn,上式即化为常见的形式

 

  接着命题36证明了数论中一个有名的定理:若2n-1是素数,则(2n-1)2n-1是完全数.

  事实上,设等比数列1222,…,2n-1的和P=1+2+22++2n-1=2n-1是素数,则2n-1P被下列各数整除:12,…,2n-1P2P,…,2n-2P且不被任何其他小于它自身的数整除,而这些因子的和正好等于2n-1P

  12++2n-1+P+2P+…+2n-2P

  =PP(2n-1-1)=(2n-1)2n-1

  现在形如2n-1(n是素数)的素数叫做“梅森素数”,因M.梅森(Mersenne15881648)曾深入研究而得名.有一个梅森素数就相应有一个完全数.前4个完全数6284968128已为希腊人所知.

  卷Ⅹ是篇幅最大的一卷,约占全书的1/4,和其他各卷不很相称.包含115个命题,有的版本是117个命题(如清译本).主要讨论无理量

  2次或4次不尽根,这只是无理量的极小一部分,欧几里得使用“有理”、“无理”的术语,和现代的意义不同.“有理”的原文是


的”(rational).如果给定一个叫做有理的线段A,若另一线段BA有公度,就说B是“线段可公度有理量”.用现代的术语来说,就是设A是有理量(线段)m是任意有理数,则mA是“线段可公度有理量”.但


“正方形可公度”(commensurable in square)是《原本》的特殊用语.“线段可公度有理量”显然都是“正方形可公度有理量”,但反过来,“正

种情形特别叫做“仅正方形可公度有理量”.不管那一种情形,都叫有


  本卷将无理量分为13大类,各给专门的名称.当时没有符号,叙述起来相当困难.用现代的眼光看,这种分类没有多少用处,甚至可以说是“作茧自缚”,它没有推进无理量的发展.

  这一卷命题1非常重要:给定大小两个量,从大量中减去它的一大半,再从剩下的量中减去它的一大半,这手续重复下去,可使所余的量小于所给的小量.

  这是极限论的雏形,也是“穷竭法”的理论基础,和后面各卷有密切关系.在证明中实际默认了阿基米德公理.

  有的版本最后还有命题117,证明正方形一边与对角线不可公度,有时叫做“欧几里得奇偶数证法”,经考证这是后人搀入的,所以后来的校订注释者只将它放入附录中.

  卷Ⅺ是立体几何,讲空间中的平面、直线、垂直、平行、相交等关系,还有多面角、平行六面体、棱锥、棱柱、圆锥、圆柱、球等问题,共39个命题.

 

  卷Ⅻ是穷竭法(method of exhaustion)的应用.这是希腊人创造的强有力的证明方法,一般认为经欧多克索斯的手而臻于完善,以后被收入《原本》的卷Ⅻ中.

  命题2是相当典型的,从中可以看到穷竭法的基本精神.要证明的是:圆与圆之比等于其直径平方之比.

  作圆内接□AC,外切□EF,因□EF=2AC,又□EF大于圆,故□AC包含圆而积的一半以上.取中点 M,完成AMB,因AMB=2AMB,又AMB大于弓形AMB,故△AMB包含弓形AMB一半以上.□AC的每一边都加上这样的△,就得到内接正8边形,它包含□AC以及圆与□AC之差的一半以上.同理作正16边形,它包含正8边形及圆与正8边形之差的一半以上.重复这个手续,每次边数加倍,根据卷Ⅹ命题1,可得到一个边数足够多的内接正多边形,与圆面积之差小于任给的小量.

  现有圆面积S1S2,直径各为d1d2,要证明

  

 

  设等式不成立而有

 

  S3是大于或小于S2的某一面积.不妨设S3S2,作S2的边数足够多的内接正多边形P2,使得S2-P2S2-S3,即S3P2S2.在S1内作与 P2相似的内接正多边形P1,根据卷Ⅻ第1命题,

 

  于是有

P1P2=S1S3

  或

P1S1=P2S3

  S1P1,故S3P2,与前面不等式P2S3矛盾.同理可证若S3S2也一样产生矛盾.

  下面用类似的方法证明了“锥体体积等于同底等高的柱体的1/3(命题710),“球体积的比等于直径立方的比”(命题 18)等.全卷共18个命题.

  是最后一卷,共18个命题.前一部分研究了中末比的若干性质,最后6个命题讨论5种球内接正多面体的作图法.

 

《原本》的一些存在问题

 

  ()公理化结构是近代数学的主要特征.而《原本》是完成公理化结构的最早典范,它产生于两千多年前,这是难能可贵的.不过用现代的标准去衡量,也还有不少缺点.首先,一个公理系统都有若干原始概念或称不定义概念.点、线、面就属于这一类.而在《原本》中一一给出定义,这些定义的本身就是含混不清的.例如卷Ⅰ的定义4:“直线是这样的线,在它上面的点都是高低相同地放置着的”就很费解,而且这定义在以后的证明中完全没有用到.其次是公理系统不完备,没有运动、顺序、连续性等公理,所以许多证明不得不借助于直观.此外,有的公理不是独立的,即可以由别的公理推出(如第4公设“凡直角都相等”).这些缺陷直到1899D.希尔伯特(Hilbert)的《几何基础》(Grundlagen der Geometrie)([14])出版才得到了补救.尽管如此,毕竟瑕不掩瑜,《原本》开创了数学公理化的正确道路,对整个数学发展的影响超过了历史上任何其他著作.

  ()全书的组织安排也是可以改进的.如卷Ⅴ已建立了一般量的比例论,而且在卷Ⅵ中已用之于几何,但后面的卷Ⅶ的数论却没有用它.这几卷数论基本上是毕达哥拉斯学派的成果,在理论水平上远逊于卷Ⅴ.其实卷Ⅱ已提出几何代数学,接下去讲数论是顺理成章的.

  卷Ⅹ份量过于庞大,而且大部分和前后没有联系,现在证明其用处甚微.整个《原本》并不企图将当时已有的几何知识纳入其中(例如三角形三个高交于一点这样普通的定理也未收入),只是精选最基本的命题作为《原本》的内容.本着这种精神,卷Ⅹ应大大压缩.

  ()有的书指出,《原本》的证明常常是以偏概全的,即对一般性定理只给出特例的证明,或者只用了某些具体数据而忽略了普遍性,这种情况的确比比皆是.不过批评者可能不了解欧几里得的用意.《原本》当时是作为教科书或讲义来使用的,如果一个问题有若干种情形,证明了其中一种之后,其余的留给学生自证,这在今天也是司空见惯的.以卷Ⅰ命题7为例,从线段AB的两端分别作一直线交于一点C,则在同一侧不可能再有交于另一点D的两线段ADBD,使得AC=ADBC=BD.证明是用反证法,设D点落在△ABC之外,由此推出矛盾.而D点落在△ABC内的情形就没有讨论.后世有的注释者如克拉维乌斯认为不够全面,把所有可能情形都增补上去(见明译本),包括D点落在ACBC的延长线上以及△ADB完全被包含在△ABC之中等等.希思译本保留了原书的面貌,只在注释中加以说明.

  还有一种以偏概全的情形是只用某个具体的数字来证明一般性的结论.如卷Ⅸ命题20:素数的个数比任意给定的素数都多.证明时只给定ABC三个素数,由此推出还有别的素数存在.现在的严格证法无非是将三个改为任意n个,这在方法上并没有什么区别.

 

《原本》对我国数学的影响

 

  中国传统数学最明显的特点是以算为中心.虽然也有逻辑证明,但却没有形成一个严密的公理化演绎体系,这也许是最大的弱点.明末《原本》传入,应该是切中时弊,正好弥补中算之不足.可是实际情况并不理想.

  徐光启本人对《原本》十分推崇,也有深刻的理解.他认为学习此书可使人“心思细密”.在译本卷首的《几何原本杂议》中

  说:“人具上资而意理疏莽,即上资无用;人具中材而心思缜密,即中材有用;能通几何之学,缜密甚矣,故率天下之人而归于实用者,是或其所由之道也.”在他的大力倡导下,确实也发挥一定的作用,可惜言者谆谆,听者藐藐,要在群众中推广,仍然有很大的困难,他在《杂议》中继续写道:“而习者盖寡,窃意百年之后,必人人习之.”他只好把希望寄托于未来.

  明末我国正处在数学发展的低潮,《原本》虽已译出,学术界是否看到它的优点,大有疑问.事实上,明清两代几乎没有人对《原本》的公理化方法及逻辑演绎体系作过专门的研究.康熙以后,清统治者实行闭关锁国、盲目排外的政策.知识分子丧失了思想、言论自由,为了逃避现实,转向古籍的整理和研究,以后形成以考据为中心的乾嘉学派.徐光启之后,数学界的代表人物是梅文鼎(16331721),他会通中西数学,对发扬中国传统数学及传播西方数学均有贡献,然而却没有认识到公理方法的重要性.他认为西方的几何学,无非就是中国的勾股数学,没有什么新鲜的东西.他在《几何通解》中写道:“几何不言勾股,然其理并勾股也.故其最难通者,以勾股释之则明.……信古《九章》之义,包举无方.”又在《勾股举隅》中说:“勾股之用,于是乎神.言测量至西术详矣.究不能外勾股以立算,故三角即勾股之变通,八线乃勾股之立成也.”类似的说法还有多处.他见到的只是几何的一些命题,至于真正的精髓——公理体系及逻辑结构,竟熟视无睹.梅文鼎这种“古已有之”的观点,也是妄自尊大和保守思想的反映.由于他当时的威望,确实产生了一些消极的影响.

 

其他著作

 

  欧几里得还有好几种著作,可惜流传下来的不多.

  ()《已知数》(The data)是除了《原本》以外唯一保存下来的希腊文 纯粹几何著作,包含94个命题,后来被收入帕波斯的《分析荟萃》(Treasury of Analysis)中.内容和《原本》卷Ⅰ—Ⅵ相仿,但问题的提法不同.例如开头所给出的定义,是解释何谓“已知的”.定义1:面积、线段、角叫做已知的,如果可以作出和它们相等的同类量.定义5:一个圆叫做已知的,如果它的半径已知.等等.

  全篇的中心内容是指出图形内的某些元素若为已知,则另外的元素也是已知的(即可以确定).如命题84:若两条线段以一定的夹角构成一个已知面积,又两线段的差已知,则两线段即为已知.这相当解联立方程

yx=a

xy=b2

  2次方程

x2ax-b2=0

  ()《图形的分割》(On divisions of figures)是另一本几何著作,但不是希腊文本.现有的两种存本都来自阿拉伯文本.第一种的拉丁文本由J.迪伊(Dee15271608)发现并于 1570年出版,这种版本不甚完整.另一种为F.韦普克(Woepcke18261864)在巴黎所发现,于1851年出版,现有英译校订本(3).此书的中心思想是作直线将已知图形分为相等的部分、成比例的部分或分成满足某种条件的图形.共36个命题.如命题1:作平行于底边的直线将三角形分成相等的两部分.命题4:作平行于上下底的直线将梯形分为相等的两部分.命题29:作二平行弦将已知圆分成给定的比例.

  ()下面几种几何著作已失传.《纠错集》(Pseudaria,或Book of fallacies)目的在指出初学几何者常见的错误,引导他们走上正确的道路,普罗克洛斯曾提到此书.《推论集》(Porisms)是一部较高级的几何学,在帕波斯的《分析荟萃》中有较详细的描述.“Porism”这个词有双重意义,一是普通的推论(corollary),二是指某些与定理不同的命题,定理一般要求证明某个结论,而“porism”是要找出某种事物而不仅仅证明它成立或存在.如要根据给定条件找出圆心等.按帕波斯的说法,欧几里得曾写了四卷的《圆锥曲线》(Conics),它是后来阿波罗尼奥斯8大卷《圆锥曲线论》的基础.另一本失传的著作《曲面轨迹》(Surface loci)是讨论轨迹的问题.

  ()几本应用数学著作.《观测天文学》(Phaenomena)是一本几何天文学,最先使用地平圈(Horizon),子午圈(meridian)等术语,参考了奥托利科斯的工作及不知名作者的球面几何学.《光学》(Optics)是希腊文的第一本透视学,从12个假设(公设)出发推出61个命题.假设1是“人看到物体,是光线从眼睛出发射到所看的物体上去”.这是从柏拉图以来的传统观点.命题6是“处于平行位置,大小相同但距离不同的物体,在眼中看到的大小并不与远近成比例”.这相当于证明了当α<β<π/2

 

  此外,欧几里得还写过音乐和力学的书.看来他是很博学的,不象人们通常认为的那样,欧几里得的贡献只是初等几何.不过经过两千多年的历史考验,影响最大的仍然是《原本》.