欧多克索斯

 

江苏教育学院 周焕山

 

  欧多克索斯(Eudoxus) 约公元前400年生于尼多斯(Cnidus,今土耳其西南部);约公元前347年卒于尼多斯.数学、天文学、地理学.

  欧多克索斯出生于一个世代行医的家庭,年轻时就读于著名的尼多斯医科学校.卒业后,当过医生赛奥梅顿(Theomedon)的助手.可能在这个时期曾去过意大利和西西里,向阿尔希塔斯(Archytas)学习几何.公元前368年,他随同赛奥梅顿去雅典作为期两个月的访问.赛奥梅顿在皮雷埃夫斯(Piraeus)为他安排了住所,但是求知渴望驱使他每天步行十多公里,往返于皮雷埃夫斯和雅典之间,去“学园”聆听柏拉图等大师们的演讲.他深受激励,增强了研究数学、天文学和哲学的志趣,并和柏拉图本人建立了友谊.返回尼多斯之后,他一边行医,一边研究学问.约公元前365年,他同另一位医生克里西帕斯(Chrysippus)去埃及访问.这一次,他受斯巴达国王的委托向埃及法老递交一封表示亲善的外交书信.他因此得以晋谒法老,并由此得以结交赫里俄波里斯(Heliopolis,太阳神庙所在地)的一些高僧.由于东道国的好客和朋友的资助,他在埃及旅居了约十五个月之久.他在那里观测了希腊人看不到的南天星座,以及尼罗河的起落.他虚心地向僧侣们学习天文历算知识,仔细研究埃及历法,并考察了当地的风土民俗和神话传说,但他表示不相信占星、算命可以预知人的一生命运.

  自埃及返回小亚细亚以后,欧多克索斯在基齐库斯(Cyzicus,今马尔马拉海南岸)创办了一所学校.他在那里培养了许多学生,声誉日隆,还应邀访问了卡里亚(Caria)的君主马索洛斯(Mausolus).他的第一本著作《现象》(Phaenomena)就是在基齐库斯发表的.

  在公元前360年到前350年之间,欧多克索斯曾带领一些学生迁往雅典,和柏拉图学园建立了更为密切的联系,他们很可能加入了柏拉图学园.后来尼多斯发生重大的政治变革,人民推翻了独裁政权,建立了民主政体.欧多克索斯应邀回归故国,为尼多斯人起草了必要的法典,并获得极高的荣誉.此后他在尼多斯定居下来,继续从事教学和科学研究,并坚持天文观测,直至逝世.

  欧多克索斯是古希腊时代成就卓著的数学家和天文学家.他对数学的最大的功绩是创立了关于比例的一个新理论.根据亚里士多德(Aristoteles)著作中的有关记述和后来评注家对欧几里得(Euclid)《几何原本》(Elements)的分析,可以断定《几何原本》卷Ⅴ和卷Ⅻ主要来自欧多克索斯的工作.毕达哥拉斯(Pytha-goras)学派也建立过比例论,但只适用于可公度量.设AB两个量可公度,A是公度的m倍,B是公度的n倍,那么AB=mn是一个数.这时,AB叫做“可比的”.如果两个比ABCD相等,就构成了比例式AB=CD.最初他们认为所有的量都是可公度的,因此任何两个量都可比。但后来发现有些量是不可公度的.比例论的建立就发生了困难.彻底摆脱这一困难的是欧多克索斯.可惜他的著作已失传,他的贡献只能从别人的工作中去了解.

  他首先引入“量”的概念,将“量”和“数”区别开来.用现代的术语来说,他的“量”指的是“连续量”,如长度、面积、重量等,而“数”是“离散的”,仅限于有理数。其次改变“比”的定义:“比”是同类量之间的大小关系.如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量,则说这两个量有一个“比”.这个定义含蓄地把零排除在可比量之外;并且它实质上相当于所谓“阿基米德公理”(阿基米德本人将此公理归功于欧多克索斯.不过在现存文献中正式作为公理形式提出的,则以阿基米德为最早)

  根据现代的比例论,如果ABCD四个量成比例:A/B=C/D,两边分别乘以分数 m/n,得到(mA)/(nB)=(mC)/(nD)

  mAnB,立即可以推出mCnD

  mA=nB,立即可以推出mC=nD

  mAnB,立即可以推出 mCnD

  欧多克索斯比例论的关键,是将这一性质作为比例的定义,即

  设有ABCD四个量,将ACBD分别乘以相同的倍数,如果

 

  就说两个比ABCD相等,四个量可构成比例式AB=CD

  从这一定义出发,可以推出有关比例的若干命题,而不必考虑这些量是否可公度.这在希腊数学史上是一个大突破.不难看出,当两个量ab不可公度时,可按 m/na/bm/n a/b,把全体有理数划分成两个不相交的集合LU,使得L的每一元素都小于U的每一元素,并以此定义无理数a/b.这令人想起了“戴德金分割”.事实上,19世纪的无理数理论是欧多克索斯思想的继承和发展.不过欧多克索斯理论是建筑在几何量的基础之上的,因而回避了把无理数作为数来处理.尽管如此,欧多克索斯的这些定义无疑给不可公度比提供了逻辑基础.为了防止在处理这些量时出错,他进一步建立了以明确公理为依据的演绎体系,从而大大推进了几何学的发展.从他之后,几何学成了希腊数学的主流.

  欧多克索斯对数学的第二个贡献是建立了严谨的穷竭法,并用它证明了一些重要的求积定理.穷竭法起源于安蒂丰(Anti-phon),后来希波克拉底(Hippocrates)也使用过,但只是到了欧多克索斯手里,穷竭法才真正成为一种合格的几何方法.穷竭法的逻辑依据,是欧多克索斯由上述定义4推得的下述结果:“设给定两个不相等的量,如果从其中较大的量减去比它的一半大的量,再从所余的量减去比这余量的一半大的量,继续重复这一过程,必有某个余量将小于给定的较小的量”.这个结果,现在被称为欧多克索斯原理.阿基米德曾明确地指出,“棱锥体积是同底同高的棱柱体积的三分之一”和“圆锥体积是同底同高的圆柱体积的三分之一”这两个定理是欧多克索斯首先予以证明的.不过前一个结论曾先由德谟克利特(Democritus)未加证明地提出过.欧多克索斯的穷竭法可看做是微积分的第一步,但没有明确地用极限概念,也回避了“无穷小”概念.

  此外,欧多克索斯还研究过“中末比”(后人称黄金分割)和“倍立方”等著名的数学问题.根据欧德莫斯(Eudemus)在《几何学史》中的记载,他在研究中末比时应用了分析法.他在这方面的工作痕迹,可用《几何原本》卷命题5来说明.命题5是一个关于中末比的定理.一些古代手稿表明,命题5原先是根据比例的一般性质用分析法予以证明的.这一证法很可能出自欧多克索斯之手.他在解倍立方问题时,象阿尔希塔斯一样,曾应用机械来解几何问题,为此遭到主张把作图工具严格限制为直尺和圆规的柏拉图的批评.埃拉托斯特尼(Eratosthenes)曾经在一本书中引述过欧多克索斯的解法,可惜的是这段记述失传了.

  欧多克索斯在天文学方面最有影响的工作,在于把球面几何用于天文研究,提出一个以地球为中心的同心球理论.这种理论起源于早期的毕达哥拉斯学派,而为柏拉图所继承.按照柏拉图的说法,整个宇宙以及其中的一切天体都是球形的,因为球形是一切形状中最完美的.位于宇宙中心的是地球,宇宙的轴通过地球中心,一切都按从东向西的方向绕轴作匀速圆周运动.然而事实上,行星的运动速度时快时慢,时而静止,甚至逆行.对此,柏拉图认为这只是一种表面现象,可以用匀速圆周运动的结合来解释.他在《蒂迈欧》(Timaeus)篇中说,太阳、月亮和五颗行星除了每日象恒星一样从东向西运转一周以外,它们同时还在和天球赤道平面成一倾角的另一平面内做独立的圆周运动,这两种运动的合成,就使行星在空间的路线被扭曲成螺旋形了.欧多克索斯发展了柏拉图的观点,在《论速度》(On speeds)一书中提出了自己的同心球理论.他认为所有恒星共处于半径最大的一个球面上,此球每日环绕通过地心的轴线自东向西旋转一周.其他天体的运动,则由多个同心球的匀速转动结合而成.太阳、月亮各三个,五颗行星各四个,连同恒星的一个,共计27个同心球.这27个球经过适当组合以后,就可解释人们观测到的天象.例如,金星的运动由这样四个同心球确定:第一个球作类似恒星的运动,每日一周;第二个球沿黄道十二宫运行,方向和第一球相反,每年一周.第三、四两个球用以说明金星速度的变化.它们的周期都等于金星和太阳的会合周期,即570天,但运动的方向彼此相反.它们的旋转轴和黄道圈的轴所成角度,系根据观测数据来推算.如果暂不考虑第一、二两球,仅考虑第三、四两球运动的合成,就形成一种球面双纽线(如图所示),形如古代的“马镣”,故欧多克索斯称它为“马镣线”.如果结合第二个球沿黄道的运行,则在图上DA之间,金星将沿黄道运行,在O点的速度达最大值,随启减速,在AB段近于停滞,B点处速度为0.从BC,金星发生逆行,O点处逆速度最大,C点处速度为0CD段近于停滞,并逐渐恢复向东运行.再加上第一个球的昼夜运行,四个同心球的结合,就对金星的视运动作出了一种比较接近的解释.当然,同心球理论纯粹是一种几何模型,由于它建立在地心说的错误假设上,因而无法与实际天象真正吻合.不久就有批评指出,行星亮度的变化说明它到地球的距离也是变化的.但是,欧多克索斯工作的真正意义在于理论方面,他的同心球模型是建立数学化的天文理论的第一次尝试,也是显示了天才的独创性的一次尝试.

 

  欧多克索斯在天文学上的另一项引人注目的工作,是对星象的长期不懈的观测,并在《现象》一书中记述了他的观测结果.书中不仅象地图一样描述了主要星座的空中位置,而且记载了一些星座在地平线起、落的情况,为改革历法准备了必要的资料.欧多克索斯后来曾对此书作过全面修订,并以《镜象》为名重新发表.在此基础上,他编制了一本新型的天文历书,即所谓《八年轮历》(Oktaeteris).这本历书及其后的一些仿效本,在希腊人居住地域得到广泛流传.公元前46年,罗马凯撒(Caesar)大帝颁布的儒略历,又把欧多克索斯的历法思想传遍欧洲.影响所及,直至现代.

  欧多克索斯还精确地测算了行星运行的周期.下面是他对行星的黄道周期和会合周期的测算结果同现代结果的对比表:

 

  可见,除去火星的会合周期因某种原因有明显差错之外,其余数据都和现代结果相当接近.这在当时很原始的观测条件下是难能可贵的.这类观测结果也为他设计同心球几何模型准备了所需要的数据.

  欧多克索斯写过一部七卷的《地球巡礼》,总结了他在地理学方面的考察研究结果.根据现存的约一百件残片,可以推知原著的概貌.欧多克索斯从遥远的亚洲说起,系统地记叙了当时希腊人所能知道的世界的每个部分.并加上政治、历史、人种等方面的详情介绍,还利用希腊神话进行渲染.书中第二卷写埃及,第四卷写包括色雷斯(Thrace)在内的爱琴海沿岸地区,第六卷写希腊半岛及北非,第七卷写意大利,包括一篇关于毕达哥拉斯学派的习俗的附记.文笔生动,堪与米利都的地理学家赫卡泰乌斯(Hecataeus,公元前65世纪)的杰作《环游世界》(Ges periodos)相媲美.

  瑞士希腊史家F.拉瑟尔(Lasserre)称欧多克索斯是“和柏拉图同时代的最杰出的数学家,他由于对三门学科:几何学、天文学和地理学的贡献而闻名于世”.他一生的著述很多,除以上三门外,还涉及医学、法律、哲学等多个领域,可惜都没有流传下来.