毕达哥拉斯

辽宁师范大学 梁宗巨

 

  华达哥拉斯(Pythagoras) 约公元前560年生于萨摩斯岛(Samos,小亚细亚西岸);约公元前480年卒于梅塔蓬图姆(Metapontum,今意大利半岛南部塔兰托附近).哲学、数学、天文学、音乐理论.

  毕达哥拉斯与中国孔子(公元前551—前479)同时.他早年曾在锡罗斯岛(Syros,在爱琴海中)向费雷西底(Pherecydes)学习,又曾师事伊奥尼亚学派的安纳西曼德(Anaximander).以后游历埃及、巴比伦等地(一说到过更远的印度),接受古代流传下来的天文、数学知识.回到家乡以后,开始讲学,未见成效.公元前520年左右,为了摆脱波利克拉底(Polycrates)的暴政,和母亲及唯一的一个门徒离开萨摩斯岛,移居西西里岛,最后定居在克罗托内(Crotone,意大利半岛南端).在那里广收门徒,建立一个宗教、政治、学术合一的团体.他的讲学吸引了大量的听众,包括各个阶层的人特别是社会上层的人士.当时妇女是被禁止出席公开会议的,毕达哥拉斯打破这个界限,允许她们听讲.在热心的听众中有房主米洛(Milo)的女儿西雅娜(Theano),绮年玉貌,后来成为他的妻子,还给他写过传记,可惜已失传.

  毕达哥拉斯将信徒们分为两等.一等是普通的听讲者,这是大多数.他们只能听讲,不能发问,更不能参加讨论,高深的知识是不向他


这就是欧洲文字“数学”(拉丁文mathematica、英文mathematics、德文Mathematik等等)一词的来源.

  这个学派的组织是很严密的,带有浓厚的宗教色采.每个成员都要接受长期的训练和考核,遵守很多清规戒律,宣誓永不泄露学派的秘密和学说,在学术上要达到一定的水平.加入组织还要通过一系列的神秘仪式,以求达到“心灵的净化”.他们相信依靠数学可使灵魂升华,与上帝融为一体.数学是教义的组成部分.他们不仅认为万物都包含数,而且万物都是数,宣称上帝用数来统御宇宙.这是毕达哥拉斯学派和其他教派的主要区别.

  学派的成员有共同的哲学信仰和政治理想,训练是严格的,食物是简单的.学派的教义鼓励人们自制、节欲、纯洁、服从.他们起初在大希腊(Magna Graecia,今意大利南部一带)赢得很高的声誉,产生过相当大的政治影响,但却引起敌对派的忌恨.后来受到民主运动风暴的冲击,毕达哥拉斯被迫移居梅塔蓬图姆,终于被暴徒杀害.在克罗托内的活动场所连续遭到破坏,许多门徒逃回希腊本土,在弗利奥斯(Phlius,伯罗奔尼撒半岛东北部)重新建立据点,也有些人到塔兰托去,继续进行数学、哲学研究以及政治活动,直到公元前4世纪中叶.这个学派繁荣兴旺达一个世纪以上.

  毕达哥拉斯本人没有留下什么著作,而学派内部的发明创造是秘而不宣的,外人鲜知其详.不过也有少数通过各种途径流传开来.以后组织渐渐分散,保密的教条被放弃,才出现一些公开讲述这个学派教义的著作.第一本这类的书是学派的晚期成员菲洛劳斯(Philolaus)在公元前370年左右写的,当时柏拉图等人曾看到过,现今只残留片断,其内容偏重哲学,数学的记载不多.此后许多学者开展毕达哥拉斯的研究,他的思想和学说逐渐为人们所知.

 

数的理论

 

  毕达哥拉斯学派将抽象的数作为万物的本原.研究数的目的不是为了实际应用,而是想通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理.他们对数作过深入的研究,并得到很多结果,但常常将数和迷信奇特地结合起来.他们注意到数与音乐和谐之间的关系、数与几何图形的关系、数与天体运行的关系.把整个学习课程分为四大部分:1.数的绝对理论——算术;2.数的应用——音乐;3.静止的量——几何;4.运动的量——天文.合起来叫做“四道”(quadrivium,四条道路,或“四艺”),这名称一直沿用到中世纪.后来又加上文法、修辞、逻辑,合称“七艺”.中国古代有“四术”(诗、书、礼、乐)、“六艺”(礼、乐、射、御、书、数)之说,堪与媲美.

  毕达哥拉斯发现一根拉紧的弦弹出一个音调,比方说是do,那么



成等差数列,那么原来这三个数就叫做调和数列.这就是调和数列名称的起源.同样,取原长的3/4,弹出的音是fa.总的来说,如果两弦紧张的程度(张力)相同,长度为简单的整数比时,奏出来就是和谐悦耳的乐音.这原理对管乐(笛、箫之类)也是适用的,不过情况较为复杂,因为声波的波长并不严格地正比于管长,还和管的粗细有关.

  根据“简单整数比”的原理,这个学派创造了一套音乐理论,1234这头四个自然数,按433221的比构成几个主要的音调,而这四个数的和是10.于是他们认为10是一个完美的数,称之为“四数组”(tetractys),用来表示,作为神圣的象征,10同时成为宣誓时的誓词.后来斯皮尤西波斯(Speusippus,柏拉图的外甥,公元前347—前339年是柏拉图学园的领导人)指出10包含点、线、面、体各种类型的数:1是点,2是线,3是三角形,4是四面体.这更增加了10的神秘性.这是他们的信条“一切事物都按数来安排”的又一例证.

  他们认为偶数是阴性的,奇数是阳性的.偶数可以分为相等的两部分,而奇数只能分成不相等的两部分.按照这个定义,1既不是奇数也不是偶数.5是第一个阴性数2与第一个阳性数3之和,所以是结婚的象征.

  毕达哥拉斯特别厌恶17这个数,它正好在1618之间.而16 18是仅有的两个数(自然数),它同时等于一个矩形(包括正方形)的面积与周长.边长是4的正方形面积与周长都是16,边长是36的矩形面积与周长都是18.容易证明不可能有别的自然数具有这种性质.事实上,设矩形的两边是xy,解不定方程

 

  x只可能取346,对应的y643xy只可能是1618

  晚期的希腊学者如尼科马霍斯(Nicomachus of Gerasa)等对这一类数的神秘主义仍然很迷恋,在他的《算术入门》(Introduc-tio Arithmetica)一书中大力宣扬数的神秘性和神圣性.他虽然后于毕达哥拉斯好几个世纪,但他的思想和学说却比较全面地反映毕达哥拉斯学派的本来面目.更晚的伊安布利霍斯(Iamblichus,约250330)也是如此,将数说得玄妙莫测,他们被后人称为新毕达哥拉斯学派.

  在欧几里得的《几何原本》(Elements)中,卷Ⅶ,Ⅷ,Ⅸ讲的是数论,毕达哥拉斯的理论有许多在这里得到了反映.不过完全摈弃了神秘的色彩,所有的论断都给出了严格的证明.

 

完全数与亲和数

 

  如果一个数等于除它本身以外的全部因子之和,这个数叫做完全数.例如

6=12328=124+714

  628就是完全数.完全数的发现,是毕达哥拉斯学派卓越贡献之一.尼科马霍斯给出四个完全数6284968128,并指出一般规律:若1222++2n=P是素数,那么2nP就是完全数.这在欧几里得《几何原本》中已有证明(卷Ⅸ命题36).道理很简单,因为2nP能被下列各数整除:

12,…,2nP2P,…,2n-1P

   除此以外,不能被任何小于它本身的数整除,而这些除数(因子)之和为

12+…+2nP2P++2n-1P=PP(2n-1)=2nP

  证明中用到等比数列的求和公式

1+222+…+ 2n-1=2n-1

  这公式曾在毕达哥拉斯学派的著作中出现.据此推测毕达哥拉斯本人可能已经知道完全数的这一性质:如果2n-1是素数,那么2n-1(2n-1)就是完全数.尼科马霍斯提到的4个完全数是6=2(22-1)28=22(23-1)496=24(25-1)8128=26(27-1)

  2n-1类型的数,17世纪时M.梅森(Mersenne15881648)曾详加研究.由毕达哥拉斯开创的完全数研究,至今还有很多问题没有解决.

  和完全数有关的还有亲和数.毕达哥拉斯发现,284这个数除它本身外的所有因子之和等于220,而220除它本身外的所有因子之和又等于284,即

  220=1+2+471+142

  284=1+24510+11+20224455110

  这一对数叫做亲和数,象征着友谊.当别人问及“朋友是什么”时,毕达哥拉斯回答说:“是另一个我(Alter ego)”,可用亲和数来表示.

  两千多年之后,Pde费马(Fermat16011665)才找到第二对亲和数17296 184161750年,L.欧拉(Euler17071783)写出62对亲和数(包括以前知道的).现在已经知道上千对亲和数.

 

 

  毕达哥拉斯很注意形与数的结合,许多论断既是数的关系,也是形的关系.他把算术中的单位叫做“没有位置的点”,而几何中的点叫做“有位置的单位”.

 

  形数(figurate num-ber)是形与数的结合物.用点子排成图1所示图形.每一个图的点数叫做三角数,第1个三角数是1,第2个三角数是1+2=3,第3个三角数是123=6,…,第n个三角数是

 

  毕达哥拉斯大概已经知道这个公式,后来出现在尼科马霍斯的书中.同样( 2)的点数14916,…,n2,…叫做平方数.平方数可以看作从1起连续奇数之和,如图3所示:

13+5+79+11=62

  一般地说,作出平方数n2的图形之后,再镶上一个曲尺形的边,点数是2n+1,就得到下一个平方数.即

n2(2n1)=(n+1)2

 

  曲尺形叫做磬折形(gnomon),这字的原意是指一根直立的杆,观测日影的位置以定时刻,也就是日晷.后来和水平尺连起来,构成一个画直角的工具,同时也可以测日影.在中国叫做“矩”,它的用处很大,现今仍然是木工不可或缺的器具.在欧几里得《几何原本》中,磬折形的意义有所推广,它指在平行四边形的一个角上截去一个相似的平行四边形后所剩下的图形,如图4的阴影部分.后来再进一步推广.

 

  类似地,可用点子排出五角数(5),六角数(6)等等.

 

  五角数是15122235,…

  六角数是16152845,…

  知道五角数(或六角数)的某一项,用镶边的办法可以得下一项.这一点从图形看得很清楚.所镶的边,仍然叫做gnomon,当然意义是推广了的.

  这一类数列现在可归入高阶等差数列的范围.毕达哥拉斯本人及其学派开展了研究,但究竟深入到什么程度,很难确知.

 

勾股定理

 

  传统的说法,一致认为勾股定理是毕达哥拉斯发现的,因此西方叫做毕达哥拉斯定理,这几乎是家喻户晓的.还传说他为了庆祝这伟大的胜利,宰了一头牛来祭神.这传说不大可信,因为他们的教义是极力反对以动物特别是牛作牺牲的,有的作者还肯定他们是素食主义者.

  经过仔细的研究,现在有充分的证据表明巴比伦人在汉穆拉比(Hammurabi,约公元前1700)时代已经知道这一定理.特别是O.诺伊格鲍尔(Neugebauer)等人1945年诠释了巴比伦泥板“普林顿322”,更肯定了这一结论.那上面列有15组“毕达哥拉斯数”(即满足x2y2=z2的整数),最大的一组斜边是18541,一个直角边是12709.令人惊讶的是时间竟早了一千多年!毕达哥拉斯本人曾到过巴比伦,很可能从那里学来.不过从他们欣喜若狂的情况来看,也不排除重新发现的可能性,或者是找到了证明的方法.

  对于勾股定理,现在至少有三种不同的理解,当然表达方式也不同:

  1.在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形.

  这就是欧几里得《几何原本》卷Ⅰ命题47.注意这里讲的纯粹是几何图形之间的关系,完全不牵涉到数的问题.所谓相等,是指拼补相等,即将两个正方形剖分为若干块,可以拼凑成斜边上的大正方形.

  2.直角三角形直角边上的两个正方形面积之和,等于斜边上正方形的面积

  图形的面积是一个数,定理指出两个数的和等于第三个数.应注意欧几里得从来没有把面积看作一个数来加以运算.

  3.直角三角形斜边长度的平方,等于两个直角边长度平方之和.

  长度是数,数的平方还是数,定理讲的是数与数之间的关系.并不考虑数的平方的几何意义.

  这三种提法的意义是不同的,第一种不妨称为“形的勾股定理”,后两种称为“数的勾股定理”.毕达哥拉斯当时怎样理解这个定理?根据他对于数的认识,似乎应该是第一种.这个学派虽然发现了不可通约量,但拒绝承认无理数是数.就拿最简单的等腰直角三角形来说,设直角边是1,如果数的勾股定理成立,斜边长度的平方应该是2,于是出现什么数的平方是2的问题.也就是要回答“斜边的长度是多少?”当他们进一步了解到任何数(他们所知道的有理数)都不是斜边的长时,必定会大惑不解.因此很难说他们已经建立了数的勾股定理.至于他们怎样发现这个定理,又怎样去证明它,后人倒作了一些合乎情理的推测.

  这个学派曾研究过铺地砖的问题.像图7那样用等腰直角三角形来铺地是常见的.不难看出,△ABC的直角边上的两个正方形合起来正好是斜边上的正方形.受此启发,自然会推想对于非等腰的直角三角形这关系也能成立.

 

  任给△ABC(8),各边为 a b c.以ab为边完成□CD,它由4个全等的△和C边上的□III拼成.如果将△移动一下位置,立刻看出□CD也可以由4个△和ab上的两个□I,□II拼成图9.从而得到

III=I+II

  毕达哥拉斯的证法也许和这个类似.

   

  勾股定理大概是所有数学定理中证法最多的,有人已收集到367种之多.

  毕达哥拉斯还发现用三个整数表示直角三角形边长的一种公式,也就是不定方程

  x2+y2=z2 (1)

  的一组解:2n12n22n分别是二直角边,2n22n1是斜边.满足(1)的正整数,现在叫做毕达哥拉斯数或勾股数组.上面这一组解并不是(1)的全部解,只限于斜边与一个直角边的差是1的那一种解.它很容易从前面提到的连续奇数和是平方数这一关系推出.讨论形数时已知

135+…+(2k-1)(2k1)=(k1)2

  如果左端最后一个奇数恰好是某一个奇数2n1的平方(25=5249=72)

  2k+1=(2n1)2 (2)

  那么左端就是两个平方数k2(2n1)2之和,又由(2)k=2n22n,于是有

(2n22n)2+(2n+1)2=(2n22n1)2

  毕达哥拉斯通过这一关系得出他的结果,是顺理成章的.

  晚期的希腊代数学家丢番图(Diophantus)虽然已经知道(1)的一般解法,但未明显地表述出来.直到7世纪初,(1)的完整解答2mnm2-n2m2+n2(mn)才由印度的婆罗摩笈多(Brahmagupta)明确地给出.

 

正多面体

 

  这个学派在几何方面还发现了5种正多面体.关于这一点,有几种不同的说法,一种说毕达哥拉斯本人原先只知道4种:四面体、六面体、八面体、二十面体.另一方面,他主张一切物质都由土、水、气、火四大元素构成.土是固体、水是液体、气是气体、火是比气体更稀薄的东西.他把这四大元素和四种正多面体联系起来,说土生于正六面体,水生于正二十面体,气生于正八面体,火生于正四面体.后来发现还有正十二面体,但没有第五种元素,只好同整个宇宙对应.

  另一种意见认为毕达哥拉斯早就知道正十二面体,还有正四面体和正六面体.理由是正十二面体的每一个面都是正五边形,而这个学派对正五边形的作图法深有所知,并且用五角星来作他们秘密组织的徽章或联络的标志,称之为“健康”.有一则故事说这个组织的一个成员流落异乡,贫病交迫,无力酬谢房主的款待,临终前要求房主在门前画一个五角星.若干年后,有同派的人看到这个标志,询问事情的经过,厚报房主而去.

  1885年,在意大利帕多瓦(Padua)附近的欧加内丘陵(ColliEuganei)发现用皂石制造的正十二面体,是公元前500年以前的遗物,源出于意大利西北部的伊特拉斯坎(Etruscan).此外,在别处也发现类似的正十二面体,不下二十六个.可以推想当时毕达哥拉斯学派的人见过这种东西,以后便作为数学研究的对象.

  不管是正五边形或是正十二面体,都和希帕索斯(Hippasus.约公元前470年,是梅塔蓬图姆地方的人)这个人物有关.他原先是学派的成员,后来被开除或被投入大海中淹死,也有的说是船只出事沉没,因而丧生.关于原因,至少有三种传说:1.是政治问题,他违反教规,参与反贵族的民主运动;2.自夸发现了正十二面体或不可通约量;3.泄漏了这些秘密.

 

不可通约量

 

  不可通约量或无理量的发现,也许是这个学派最重大的贡献,但却和他们的信条相抵触.他们认为万物都可以用数来表示,所谓数,就是自然数与分数.除此以外,他们不认识也不承认有别的数.无理量的发现表明有些量不能用数来表示.这对他们的信条是一个致命的打击.他们惶恐不安,妄图用保密的办法来掩盖这一事实,但实际只能是掩耳盗铃.

  他们通过什么途径取得这一项成就?众说纷纭.归结起来,有下列这几种可能:

  1.用辗转相截的方法求正方形的边与对角线的公度,发现公度根本不存在.

  如图10所示,BC是正方形的一边,AC是对角线,现求两者的公度.先在 AC上截取 DC=BC,作 DEAC ABE,易知AD=DE=EBAC截去DC后剩下的一段ADAEAB=BC.下一步应该在BC上截取等于AD的线段,但AB=BC,故也可以在AB上截取.截取EB=AD之后,剩下的AE,正好是以AD为边的正方形的对角线.于是情况又和开始时一样,以下的步骤只是重复上述的手续,这种重复永远不会完结.因此不可能存在公度.即ACAB不可通约.

  2.用同样的方法求正五边形的一边与对角线的公度,或者将一个线段分为中末比之后,求大、小两部分线段的公度,最后证明公度不存在.

  正五边形的五条对角线构成一个五角星形,它的中心形成一个小正五边形(11).容易证明 AB=AD=ECAE=DC=FG.现在求一边AB与对角线AC的公度.先在AC上截取AD=AB,剩下一小段DCEC=AB,下一步应该用DCAE去截ADAD截去AE后剩下的ED是小正五边形的一边,而FG=AE是对角线.接着应该是用ED去截AEFG.于是又重复上述求正五边形的一边与对角线的公度的手续.而且永远这样重复下去,所以不存在公度.

         

  中末比的情形与此类似,不再复述.

  3.建立了算术(等差)中项、几何(等比)中项、调和中项的概念之后,很自然会提出“两个最小的数12的等比中项是什么”的问题.后来证明不存在这样的数.

  4.用几何方法证明了勾股定理之后,他们相信“数的勾股定理”也一定成立.于是便有“单位正方形的对角线等于多少”的问题.结果出现了不可克服的矛盾.

  34这两个问题都是要找出一个数来,使得它的平方等于2.设


方才能是偶数,故n是偶数.令n=2k,则n2=4k2=2m2,或2k2=m2


在一个数(分数),它的平方等于2

  这个“奇偶证法”有时叫做“欧几里得证法”,实际最早见于亚里士多德(Aristotle)的著作中,后来成为欧几里得《几何原本》卷X命题117,这是后人添加上去的.许多标准的版本都将它删去,只放在附录中.

  毕达哥拉斯学派有一个教规,就是一切发明都归功于学派的领袖,而且对外保密.所以讨论他们的学术成就时,很难将毕达哥拉斯本人和他的学派分开.不过不可通约量的发现,大约是在公元前470年左右,那时毕达哥拉斯已不在世.他们讨论比率与比例,仅限于可公度的量.设一个量是公度的p倍,另一个量是公度的q倍,那么两者的比就是pq


转成拉丁文ratiorationalisratio除了保留“比”的意义外,还有“理由”的意思.rationalisratio派生出来,它的意义应该是“可比的”,但同时又有“有理(合乎情理)的”的含义.前者渐渐被人遗忘,只剩下“有理的”、“合理的”的含义.转成英文rational,法文rationnel等也都已经没有“可比的”的意思.对于不可公度(不可通约)的量,这个学派认为


拉丁文inrationalis,英文irrational

  6世纪时罗马人 A.卡西奥多拉斯(Cassiodorius)首先在现代的意义下使用“有理的”(rationalis)、“无理的”(inrationalis)这两个词,确实认为有一些数是合理的,有一些数是不合理的.他未必想到原来的意义是“可比的”与“不可比的”.

  对几何量建立一般的比例论,它适用于可公度量与不可通约量,这是欧多克索斯(Eudoxus)的功劳.他的理论后来成为《几何原本》第5卷的主要内容.

 

天文学

 

  这个学派在天文方面也有不少独特的见解,有一些是正确的,也有一些是假说或臆断.例如他们认为日、月、五星以及其他天体都呈球形,浮悬在太空中.天体的运行都沿着圆形的轨道,因为圆是最完美的平面图形,而球是最完美的立体.毕达哥拉斯原先认为地球是宇宙的中心,但他的门徒如希塞塔斯(Hicetas,叙拉古地方的人)、菲洛劳斯等人放弃了这一主张,说地球绕着“中心火”(central fire,不是太阳)旋转.在中心火的另一面,还存在一个和地球对称的“对地星”(counter earth,或译“反地球”).而人类永远不能看见对地星与中心火,因为居住人的那一半球总是朝着相反的方向.有人以为他们已经建立了太阳中心说,这是误解.

  他们还认为天体与地球的距离以及运行的周期等等大文数据与和谐的音乐是合拍的,换句话说,天体运动就是在演奏音乐.有的信徒还牵强附会地说这种音乐只有毕达哥拉斯能够听到,一般人是听不到的.17世纪时天文学家J.开普勒(Kepler)将这一思想大加发挥,说太空的运动是一部乐曲,它为智力思维所理解,而不为听觉所感知.有趣的是,1979年竟有人用现代电子技术将开普勒的天文数据译成音乐,弹奏出来,幻想居然变成了现实.

 

 

  毕达哥拉斯和他建立的学派是不可分割的,它是继伊奥尼亚学派之后,古希腊第二个重要的学派.它存在的时间达两个世纪之久,影响之大,远远超过前一个学派.

  近代数学特点之一是它的高度抽象性.人类最初认识数是从具体的事物开始的,3头牛、5棵树是容易理解的,但从这些实际的事物中抽象出纯粹的数35,却经历了漫长的岁月.这是人类认识上的一次巨大的飞跃,这一飞跃首先应归功于毕达哥拉斯学派.他们承认并强调数学的对象是抽象的思维,和实际的事物有所区别.他们将抽象的数与形结合起来,进行了一系列的探讨,使数学逐渐成为一门独立的学科.同时又给它披上一层神秘的外衣,使人莫测高深.

  在数学中引入逻辑因素,对命题加以证明,一般认为是从伊奥尼亚学派开始的,但毕达哥拉斯学派在这一方面作了重大的推进.他们的工作可以说是欧几里得公理化体系的前驱.

  这个学派延续的时间很长,因此早期和晚期的思想和学说并不完全相同.他们所取得的成果,在当时的确是最先进的,然而由于保密,没有立刻在广大群众中产生应有的影响.等到局外人得知这些成果时,他们已经被别的学派超过了.不过他们的历史功绩,是不可磨灭的.