△神奇的“割圆术” 

三国时代魏国人刘徽是著名的数学家,他自幼熟读《九章算术》,后来又进行了更深入的钻研,对书中的问题有了透彻的了解。在钻研过程中,他发现该书中有一些错误,而且有些题目的解法过于简单,有些答案则是近似的估计,一些很巧妙的解法却没有给出理论根据,这些都给进一步的学习与研究带来了一定的困难,于是,刘徽决定对《九章算术》进行校对和注释。经过艰苦的劳动,他终于完成了这一工作,从理论上完善了中国古代的数学体系。从此以后,《九章算术》才成为比较规范的数学教科书。

如何计算圆的面积,是各国数学家共同关心的问题。刘徽在校注《九章算术》时,创立了一种新的数学方法——“割圆术”来进行有关圆的计算。《九章算术》中已有圆面积的计算公式,但没有说明是怎么来的,刘徽为此苦苦思索,有一次他看见石匠在加工石料,石匠把一块方石砍去四角,就变成八角形的石头,再去掉八个角又变成了十六角形,这样一凿一斧地干下去,一块方形石料就被加工成一根光滑的圆柱了。刘徽因此得到启发:原来圆与直线是可以相互转化的。他认为一个圆的内接正多边形的边数越多,其周长就会越接近于圆的周长。同时,通过求圆内接正多边形的边长和圆的直径之比,可以越来越精确地求得圆周率(即圆周与直径之比),这就是所谓“割圆术”。“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣。”这句话简明扼要地概括了刘徽割圆术的实质。同时,刘徽在这里还用了“极限”这个数学概念,今天我们知道“极限”是高等数学的基础。后来,祖冲之和他的儿子祖恒,利用割圆术,得出了3.1415926<π<3.1415927 。没有前人这样艰苦的努力,我们现在就不可能精确地计算出圆的面积和周长,一切与圆有关的计算无疑也要大打折扣了。

刘徽的另一项重要贡献是关于几何测量方面的。茫茫大海中耸立着一座孤岛。如何知道小岛有多高有多远。最笨的法子是准备一只小船,船上带着足够长的绳子,用绳子的长度量出小岛的距离。这样费时费力不说,小岛的高度也不能用绳子测量。刘徽的办法是:在岸边垂直地立起两根一样长的杆子EF和GH,使他们与小岛AB位于同一方向上,然后分别在与两杆顶E、G与岛尖A成一直线的地面C和D点作记号,量出CF、DH、HF以及杆EF的长度,即可知道岛高AB和岛心到第一根杆子的水平距离BF,刘徽的公式是:

 

学过几何的朋友可以试着证明一下这两个公式。

这一方法被刘徽写进了《海岛算经》。刘徽和祖冲之一样是中国古代数学家最优秀的代表之一,他们的工作引起了海内外众多学者的注意。刘徽、祖冲之和其他魏晋南北朝时期重要数学家的著作,后来被辑入《算经十书》。其中刘徽的《九章算术注》和《海岛算经》被翻译成多国文字,向世界展示中华民族灿烂的古代文明。